数列复习

数列复习一般数列（1）数列是按一定次序排列的一列数，定义中的“一列数”是有顺序的，要与数的集合区分开来。数列的通项公式就是定义域为正整数集的函数解析式。（2）并不是每一个数列都有通项公式，而给出了数列的前n项，写出其通项公式又不一定是唯一的解。（3）数列前n项和Sn和通项an之间的关系是：Sn=a1+a2+……+an，其中等差、等比数列（1）如果一个数列从第2项起，后一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列。这个常数叫做等差数列的公差；如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，用q表示(q≠0)。等差数列：an=a1+(n-1)d.(说明d≠0，Sn是关于n的二次函数)。等比数列：an=a1·qn-1(2)等差，等比数列的性质等差等比①an=am+(n-m)d(m,n∈N)①an=ak·qn-k(n,k∈N)②若m+n=p+q,则am+an=ap+aq,(m,n,p,q∈N)，反之未必成立②若m+n=k+l,则am·an=ak·al(m,n,k,l∈N)③am+l-al=am+k-ak=md(其中m,l,k∈N,d为公差)③（其中m,l,k∈N）特殊数列的求和特殊数列的求和常用的方法有以下几种：①直接转化为等差数列或等比数列求和。②运用倒序相加或错位相减的方法。③裂项法④对通项进行分解或组合，将原数列转化成若干个容易求和的数列。（通项展开法）例1．写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：(1)……(2)……(3)0.9,0.99,0.999,0.9999,……(4)1，0，1，0，……解：(1)分子依次为3，4，5，6，……，其规律是后续项等于前项加1，又分子首项为3=1+2，故分子的通项为n+2；分母依次为5，8，11，14，……其规律是后继项等于前项加3，又首项分母为5=3×1+2。故分母的通项为3n+2。因此，数列的通项公式为：。(2)数列的符号规律是(-1)n.若将第1项看作，如不考虑每一项的符号，则分母为3，5，7，9，……，其通项为2n+1；分子为3，5，7，9，……其通项为(n+1)2-1，将以上规律统一起来，数列的通项公式为：.(3)将原数列变形为，因此，数列的通项公式为。(4)数列的奇数项为1，可写成，偶数项为0，可写成，因此数列的通项公式为：。分析：①在有些情况下，数列的变化规律不易发现，如当本题中数列(1)写成……时，其项与项数之间的关系不明确，这时就需把数列变形成(1)的形式后才能较明显地看出项与项数之间的关系。②对于正负号交替的数列，其符号的处理常用(-1)n或(-1)n+1来体现，选取哪一个可由第1项确定。例2．已知数列1，3a,5a2,……,(2n-1)an-1,(a≠0).求此数列前n项的和。解：设Sn=1+3a+5a2+……+(2n-1)·an-1.......①则a·sn=a+3a2+5a3+……+(2n-3)an-1+(2n-1)·an......②由①-②得：(1-a)·Sn=1+2a+2a2+……+2an-1-(2n-1)·an,∴当a≠1时，。当a=1时，Sn=1+3+5+……+(2n-1)=n2.分析：解决数列求和问题，应先观察数列的规律及通项，从而确定具体的求和方法，本题数列的通项an=(2n-1)·an-1，它可以看作由一个等差数列{2n-1}与一个等比数列{an-1}的对应项相乘所得，这类形式的数列求和时常用错位相减法。例3．求数列的前n项的和Sn.解：数列的通项.∴分析：本题采用了裂项法求和。一般地，对于裂项后有明显相消的一类数列，在求和时常用“裂项法”，分式的求和多利用此法。可用待定系数法对通项公式进行拆项，相消时应注意消去项的规律，即消去了哪些项？保留了哪些项？常见的拆项形式有：①；②若{an}为等差数列，公差为d，则；③等等。例4．已知Sn+an=2n+1，其中Sn是{an}的前n项和，求{an}的通项公式。解：设2(an+1-λ)=an-λ2an+1=an+λ由(*)得：λ=2。即：2(an+1-2)=an-2.选代：2(an-2)=an-1-2……2(a2-2)=a1-2∵对于任一n∈N,an-2≠0，∴各式相乘化简得：2n(an+1-2)=a1-2.∵S1+a1=2a1=3,∴,即：（n∈N）.分析：①首先这是一个关于处理an与Sn关系的一类数列综合题，这类问题经常利用Sn-Sn-1=an(n≥2)，消去Sn得{an}的递推式；有时也可以利用这个式子把an代入得Sn的递推式，从而转化为一个递推式问题。②数列中给出递推公式求通项的方法，一般有以下几种：Δ直接迭加或迭乘；如给出an+1-an=1.Δ用待定系数转化成可迭乘的问题，如本题。Δ用构造新数列的方法解决。如本题中2an+1=an+2.可两边同时乘以2n，得2n+1·an+1=2n·an+2n+1.设bn=2n·an,即二式为bn+1=bn+2n+1于是可用迭加解决。Δ归纳猜想并用数学归纳法证明的方法。例5．已知数列{an}是等差数列，且公差d≠0。{an}中的部分项组成的数列,，……，恰为等比数列。且k1=1,k2=5,k3=17.求k1+k2+……+kn。解：由得，q=3。∴=,又∵,则：kn=2·3n-1-1.∴分析：这是一个多数列的问题。且所给的是等比数列与等差数列的相同项问题，我们常从一个入手。去求得另一数列的通项公式。一般地，多数列问题都应注意找到一个数列作为入手点；特别地，当我们处理等差数列与等差数列的相同项问题时，常用整除的想法去解决它。