最优化方法第二章2

2.基本容许解的改进（1）Gauss-Jordan方程组假定12[,,,]mBaaa是（2.21）的一个基。由BNBxNxb得等价方程组11BNIxBNxBb1111111221122211.mmllnnmmllnnmmmmmllmnnmxaxaxaxbxaxaxaxbxaxaxaxb记112[,,,]TmBbbbbb112[,,,],1,2,,TjjjjmjBaaaaajn则（2.28）可写成（2.28）（2.29）（2.29）称为关于基B的Gauss-Jordan方程组（G-J方程组）。典范线性规划的主约束即是一个G-J方程组。G-J方程组的性质：ⅰ）一个基决定唯一的G-J方程组；BBⅱ）若是容许基，则由其G-J方程组可得出关于的基本容许解10Bbxⅲ）在G-J方程组中,基变量的系数向量构成单位矩阵。性质ⅰ）说明求新的基本容许解的过程实质上就是不同基的G-J方程组间的转化过程。这个转化过程很容易实现。设1211[,,,,,,,]klkmBaaaaaa是新基，是用非基向量laBka替换中的得到的矩阵。这时G-J方程组间的转化过程就是要将非基变量lxla的系数向量变为单位向量ke（性质ⅲ）.要实现这个过程，则必须有元素0klakla，称为主元。转化过程显示如下：BB关于基的Gauss-Jordan方程组关于基的Gauss-Jordan方程组ljbljb01klkjkklkjkklklailijiabkaabkaaiaab0kjkijiliilklklabiaabaaa为保证解的改进，替换须满足以下两个条件：第一，容许性条件。即保证B的G-J方程组的右端项非负的条件。BB第二，下降性条件。即保证的基本容许解的目标函的基本容许解的目标函数值的条件。数值小于i）容许性条件由00kkklklbbaa，即主元还必须为正。0001,2,,()ililaikkilklijiilaklbbbaabbaimika，左式恒成立结论是：为保证B的G-J方程组的右端项非负，（2.36）主元kla必须是满足1min0kiilimklilbbaaa的正数。如果主元不存在，则线性规划解无界（定理2.12）。例2.6考虑例2.5中的线性规划关于042[,]Baa的G-J方程组134123214xxxxxx1[1,1]Ta3[2,1]Ta试把和分别引入基，求新的基本容许解。ⅱ）下降性条件新解111,,,0,,,,0,,0,,0,,0TBkkmkNxxbbbbbx。Nx0,lkxb中只有其余分量皆为0。于是，由（2.26）式得lllkzzxzb（2.37）0kb0l由于，所以只要，则0kb0l特别当时，只要，必有zzzzBB结论是：引入判别数为正的变量，将保证的基本的基本容许解的目标函数值。容许解的目标函数值不大于引理2.10定理2.11（单纯形法基本定理）在标准线性规划（2.21）中，假设：12[,,,]mBaaaB10bBbⅰ）是容许基，关于的基本容许解；是非退化的，即lx0lⅱ）非基变量的判别数；10llaBakⅲ），是用公式（2.36）确定的一个行标；laBkaBⅳ）用替换中的，而其余基向量不变，构成。矩阵BB那么，是容许基，且关于的基本容许解的目标函数值小于关于B的基本容许解的目标函数值。定理2.12在标准线性规划（2.21）中，假设：ⅰ）12[,,,]mBaaa是容许基；lx0lⅱ）非基本变量的判别数；ⅲ）10llaBa。那么线性规划（2.21）存在可以使目标函数值任意减小的容许解。（2）单纯形表以上过程都可以清晰地在一张表——单纯形表上进行，称之为表上作业法。12[,,,]mBaaaB假设已知（容许）基，那么关于的信息全部反映在以下两个式子（线性规划的两个关键数学式）中，11(2.43)(2.44)BNTNNIxBNxBbzxz称之为关于基B的增广G-J方程组。增广G-J方程组其实可由线性规划（2.21）的原始数据经初等行变换得到。原有(2.45)0,(2.46)BNTTBBNNBxNxbzcxcx1BTBc(2.45）式左乘即得（2.43）式，（2.43）式再左乘加到（2.46）式上便得（2.44）式。隐去增广G-J方程组中的变量和z的系数向量，将其余数据列成表110TTNIBNBbz（2.51）BB称为关于基的单纯形表。若是最优基，则称为最优表。单纯形表是增广G-J方程组的简单表示。表0TTBNBNbcc称为线性规划的准备表。类似前面的推导，由准备表容易导出单纯形表1111111100.00TTTTBNBNTTTTTBNBNBNbIBNBbccccIBNBbIBNBbcBNccBbz至此，含有标准基的线性规划问题的求解彻底解决。归纳见（3）。例2.7求解例2.5中的线性规划。P64-55（3）典范线性规划的解法考虑典范线性规划11221122min..0,1,2,,.nnnnjcxcxcxstxaxaxabxjn120,,,mtttBaaa是标准容许基。典范线性规划含有标准容许基，它的准备表既是单纯形表，因此单纯形法可以直接启动。算法2.1（单纯形法）P65单纯形法本质上是求解典范线性规划的算法。定理2.13在使用单纯形法（算法2.1）求解典范线性规划时，若各次迭代出的基本容许解皆是非退化的，则算法在有限步终止。推论2.14典范线性规划或者存在最优基本容许解，或者解无界。对于如下形式的线性规划min..0,TcxstAxbx0bu其中。先引入非负变量将其化为典范形式min..,0,TcxstAxIubxu然后就可以启动单纯形法。例2.8求解线性规划P66123412342342341234min23..362364,,,0.xxxxstxxxxxxxxxxxxxx3.初始基本容许解的产生对于标准线性规划min..0,TcxstAxbx（2.54）m12,,,muuu引入个人工变量，求解辅助线性规划——一个典范线性规划min..0,0,TeustIuAxbux（2.55）其中1,1,,1Te。显然（2.55）不可能无解。w0w设（2.55）的最优值为，显然。设最优表对应的G-J方程组为DuAxb（2.56）AxbAxb注意：与等价。（2.54）与（2.55）的关系：若0w，则（2.54）无解；若0w，则由（2.56）可得到（2.54）的一个初始基本容许解。以下讨论在0w下进行。分两种情形：（1）在最优表中人工变量已全部退出基变量（表现为D中不存在基向量）。AxbAxb这时，与等价的中有了标准基，表明（2.54）有了初始基本容许解，这时可以开始求解（2.54）（见下面的4.（1））。即（2）在最优表中至少还有一个人工变量是基变量（表D中有基向量）。现为kku假设第个人工变量仍是基变量，那么它的取值为kb10niiwwu且0kbk。因为，所以。考虑（2.56）的第个方程1nkjjkjaxb（2.58）以下分两种情形：ⅰ）若120kkknaaa，则（2.58）实质上成为00Axb的第k个方程是多余方程，。这表明Axbk从而的第个方程也多余。kku划去第个方程，人工变量将彻底消失。ⅱ）若12,,,kkknaaa至少有一个不为0，不妨设0.klaklaku以为主元在最优表上进行换基运算，人工变量就会从基变量中消失。重复以上步骤，直到人工变量全部从基变量中消失，最终的G-J方程组为DuAxb这时与Axb等价的Axb中也有了标准基，从而（2.54）也有了初始基本容许解，于是可以开始求解（2.54）（见下面的4.（2））。4.标准线性规划的解法按3.求出（2.54）的初始基本容许解之后，接下来求解（2.54），与3.中的（1）、（2）对应，分别为（1）求解线性规划min..0.TcxstAxbx（2）求解线性规划min..0.TcxstAxbx总结：一般来说，解线性规划主要分为两大步：第一步，化标准形（有时不需要）；第二步，启动两阶段单纯形法（当标准形是典范线性规划时，直接进入第二阶段）。例求解线性规划123412312312341234min23..23=1525=202=10,,,0.xxxxstxxxxxxxxxxxxxx例2.9求解线性规划12341341231341234min25..2142422,,,0.xxxxstxxxxxxxxxxxxx例2.10求解线性规划123123123123min23..24449316,,0.xxxstxxxxxxxxx2.4退化的处理在非退化假定下，单纯形法（算法2.1）具有有限终止性（定理2.13）。取消非退化假定，情况会是怎么样？第一，算法2.1可能发生无限循环，求不到最优解；第二，适当修改选主元的规则，则可以保证单纯形法仍具有有限步终止性。1.选主元规则单纯形法的核心是换基运算，而换基运算的首要步骤是选主元。选取主元列标的规则称为进基规则；选取主行标的规则称为退基规则。进基规则和退基规则合称选主元规则。选主元规则有多种多样，常用的进基规则有以下两种：ⅰ）最大正判别数进基规则ⅱ）正判别数最小下标进基规则选取正判别数中最小的下标作为主元的列标。算法2.2和算法2.3就采用这种进基规则。常用的退基规则是最小行标退基规则。在使用公式（2.36）确定主元行标，若最小比值在多行上取得，则从中选取最小的行标作为主元的行标。选取最大判别数的下标作为主元的列标。若同时有多个等值的最大正判别数，则选取其中最小的下标为主元的列标；最大正判别数进基规则与最小行标退基规则合称Dantzig规则。算法2.1采用的就是这种规则。计算实践表明，在各种选主元规则中，Dantzig规则效果较好，在求解同一线性规划问题时，迭代次数相对较少。它的缺点是，在求解退化问题时，算法可能产生无限循环，求不到最优解。2.避免循环的规则这里介绍一种最简单的避免循环的规则—Bland规则。Bland规则设在单纯形法的迭代过程中，当前容许基是12[,,,]mtttBaaa关于B的基容许解不是最优解，则主元列标和行标分别由如下两个规则确定：ⅰ）Bland进基规则采用正判别数最小下标进基规则，即主元列标是1min{|0},jjnlj由此确定la进基。ⅱ）Bland退基规则112[,,,]0TllllmlaBaaaa假定。设1min{0},iilimilbaa又设,0,1,2,,iililbIiaima则主元行标k由式minkiiiIttt是基向量下标确定，由此确定kta退基。换句话说，在所有可能的退基向量中，选取下标最小的向量退基。Bland证明：使用带有Bland规则的单纯形法求解典范线性规划，不会发生基的循环。2.5修正单纯形法修正单纯形法是计算机实现的单纯形法。注意到，包含全部信息的单纯形表110TTNIBNBbzB1B1B中的数据完全由基（实际是）及原始数据决定。可以就有一切。说有举例说明修正单纯形法的概貌。例如求解1211232123123412