高三第二次模拟数学试题(理科3)

北京市宣武区2006-2007学年度第二学期第二次质量检测高三数学（理）2007．5本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。第I卷（选择题共40分）一、选择题（本大题共有8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一个是符合题目要求的）1.如图，阴影部分所表示的集合是（）A.BACIB.BCAIC.BACID.BCAI2.“m=3”是“直线0m3y2mx和直线07my)1m(x3不重合而平行”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.设a，b都是单位向量，且a与b的夹角为60°，且|a＋b|=（）A.2B.3C.2D.34.要完成下列两项调查：①从某社区125户高收入家庭，280户中等收入家庭，95户低收入家庭中选出100户调查社会购买力的某项指标；②从某中学高一年级的12名体育特长生中选出3人调查学习负担情况。应采用的抽样方法是（）A.①用随机抽样法，②用系统抽样法B.①用分层抽样法，②用随机抽样法C.①用系统抽样法，②用分层抽样法D.①、②都用分层抽样法5.定义运算）（）（babbaaba，则函数x21)x(f的图象大致为（）6.已知m，n表示两条直线，α表示一个平面，给出下列四个命题：①n//mnm②//nnmm③n//m//n//m④nm//nm其中正确命题的序号是（）A.①②B.②④C.①④D.②③7.点P（－3，－1）在椭圆1byax2222（ab0）的左准线上，过点P且方向向量为m=（2，5）的光线，经过直线y=2反射后，通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（）A.33B.31C.22D.218.对于任意函数f(x)，Dx，可按如图所示构造一个数列发生器，其工作原理如下：①输入数据Dx0，经过数列发生器输出)x(fx01；②若Dx1，则数列发生器结束工作；若Dx1，则将1x反馈回输入端，再输出)x(fx12，依此类推。现给出1x2)x(f，D=（0，1000）。若输入1x0，则发生器结束工作时，输出数据的总个数为（）A.8B.9C.10D.11第II卷（非选择题共110分）二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）9.二项式4)x2x(的展开式中的常数项为_____________。10.函数)Rx(xcosxsin2xsinxcosy22的最小正周期为_____________，此函数的值域为_____________。11.不等式组1yx2y2x表示的平面区域的面积是_____________，y2xz的最小值是_____________。12.设A为圆1y)1x(22上一动点，PA为圆的切线，且|PA|=1，则P点的轨迹方程为_____________。13.A、B之间有6条网线路并联，它们通过的最大信息量分别为1，1，2，2，3，4，现从中任取三条网线，且使这三条网线通过的最大信息量的和不小于6的取法共有_____________种。14.对于任意的两个实数对（a,b）和（c,d），规定：（a,b）=（c,d），当且仅当a=c，b=d时成立，运算“”为：（a,b）（c,d）=（ac－bd，bc＋ad）运算“”为：（a,b）（c,d）=（a＋c，b＋d）设Rq,p，若（1，2）（p，q）=（5，0），则（1，2）（p，q）=_____________。三、解答题（本大题共6个小题共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.（本题满分13分）在△ABC中，a,b,c分别是角A，B，C的对边，已知)1CtanA(tan3CtanAtan，27b，233SABC。求：（1）ca的值；（2）△ABC中的最大内角。16.（本题满分14分）已知函数x3x)x(f3（1）求函数f(x)在]233[，上的最大值和最小值；（2）过点P（2，－6）作曲线)x(fy的切线，求此切线的方程。17.（本题满分14分）如图，已知正三棱柱111CBAABC的各条棱长都为a，P为BA1上的点。（1）试确定PBPA1的值，使得PC⊥AB；（2）若32PBPA1，求二面角P—AC—B的大小；（3）在（2）的条件下，求1C到平面PAC的距离。18.（本题满分13分）一次考试共有12道选择题，每道选择题都有4个选项，其中有且只有一个是正确的。评分标准规定：“每题只选一个选项，答对得5分，不答或答错得零分”。某考生已确定有8道题的答案是正确的，其余题中：有两道题都可判断两个选项是错误的，有一道题可判断一个选项是错误的，还有一道题因不理解题意只好乱猜。请求该考生：（1）得60分的概率；（2）得多少分的可能性最大？（3）所得分数的数学期望。19.（本题满分13分）双曲线C与椭圆14y8x22有相同的焦点，直线x3y为C的一条渐近线。（1）求双曲线C的方程；（2）过点P（0，4）的直线l交双曲线C于A、B两点，交x轴于Q点（Q点与C的顶点不重合），当QBQAPQ21，且3821时，求Q点的坐标。20.（本题满分13分）已知f(x)是定义在（0，）上的单调递增函数，对于任意的m、n（m、n)0(，）满足)mn(f)n(f)m(f，且a、b（ba0）满足|)2ba(f|2|)b(f||)a(f|。（1）求f(1)；（2）若f(2)=1，解不等式f(x)2；（3）求证：22b3。北京市宣武区2006-2007学年度第二学期第二次质量检测高三数学（理）参考答案2007．5一、选择题（本大题共有8个小题，每小题5分，共40分，在每个小题给出的四个选项中，有且只有一个是符合题目要求的。）1.B2.C3.D4.B5.A6.C7.A8.A二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分。）9.2410.，[22，]11.27，112.2y)1x(2213.1514.（2，0）三、解答题（本大题共6个小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）15.（本题满分13分）解：（1）∵)CtanAtan1()CAtan(CtanAtan∴)CtanAtan1(BtanCtanAtan∵)1CtanA(tan3CtanAtan∴3Btan∵），（0B∴3B…………………………4分∵Bsinac21SABC，且3B，233SABC∴ac=6∵27bBcosac2cab222，∴)Bcos1(ac2)ca()27(22∴4121)ca(2∵0ca∴211ca……………………8分（2）不妨设ca∵211ca6ac，∴274c23a，由余弦定理，得71272324)27()23(ab2cbaCcos22222∴△ABC的最大内角为71arccos……………………13分16.（本题满分14分）解：（1）)1x)(1x(3)1x(3)x('f2当]23,1(x13[x）或，时，0)x('f∴[－3，－1]，[1，23]为函数f(x)的单调增区间当)11(x，时，0)x('f∴[－1，1]为函数f(x)的单调减区间又∵89)23(f2)1(f2)1(f18)3(f，，，∴当3x时，18)x(fmin当x=－1时，2)x(fmax………………7分（2）设切点为Q（0300x3xx，），则所求切线方程为)xx)(1x(3)x3x(y020030由于切线过点P（2，－6）∴)x2)(1x(3)x3x(6020030解得3x0x00或所以切线方程为)2x(246yx3y或即054yx240yx3或……………………14分17.（本题满分14分）解法一：（1）当1PBPA1时，PC⊥AB取AB的中点D'，连结CD'、PD'∵△ABC为正三角形∴CD'⊥AB当P为A1B的中点时，PD'//A1A∵A1A⊥底面ABC，∴PD'⊥底面ABC∴PC⊥AB………………………………5分（2）当32PBPA1时，过P作PD⊥AB于D如图所示，则PD⊥底面ABC过D作DE⊥AC于E，连结PE，则PE⊥AC∴∠DEP为二面角P—AC—B的平面角又∵PD//A1A∴23PABPDABD1∴a52AD∴a53235a260sinADDE又∵53AAPD1，∴PD=a53∴tan∠PED=3DEPD，∴∠PED=60°即二面角P—AC—B的大小为60°……………………10分（3）设C1到面PAC的距离为d，则11ACCPPACcVV∵PD//A1A∴PD//平面A1C∴DE即为P点到平面A1C的距离又a532)a53()a53(DEPDPE2222∴DES31dS311ACCPAC即a53)a21(31d)a532a21(312解得2ad即C1到平面PAC的距离为a21…………………………14分解法二：以A为原点，AB为x轴，过A点与AB垂直的直线为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系A—xyz，如图所示，则B（a，0，0），A1（0，0，a），C（2a，a23，0），设P（x，0，z）（1）由0ABCP，得0)00a()za232ax(，，，，即2ax0a)2ax(，，∴P为A1B的中点即1PBPA1时，PC⊥AB……………………5分（2）当32PBPA1时，由PB32PA1，得（x，0，z－a）)z0xa(32，，即)5a30a52(P5a3za52xz2)az(3x2a2x3，，设平面PAC的一个法向量），，（z'y'x'n则0ACn0APn，即00a232a'z'y'x05a30a52'z'y'x），，（），，（），，（），，（即0'ay23'x2a0'z5a3'xa52取3'x，则2'z3'y，∴），，（233n又平面ABC的一个法向量为），，（100n0∴21142|n||n|nnnncos000∴二面角P—AC—B的大小为180°－120°=60°………………10分（3）设C1到平面PAC的距离为d则2a4|a00233||n||CCn||)CCncos(||CC|d111），，（），，（，即C1到平面PAC的距离为2a……………………14分18.（本题满分13分）解：（1）设“有两道题可判断两个选项是错误的”选对的为事件A，“有一道题可判断一个选项是错误的”选对的为事件B，“有一道题不理解题意”选对的为事件C∴41)C(P31)B(P21)A(P，，所以，得60分的概率为48141312121P……………………3分（2）得40分的概率为48643322121P得45分的概率为4817413221214331212143322121CP12；得50分的概率为41322121C43312121C43322121P1212481741312121；得55分的概率为487433121214132212141312121CP12得45分或50分的可能性最大……………………9分（3）125756048155487)5045(481740486E…………13分19.（本题满分13分）解：（1）设双曲线方程为1byax2222