高考数学圆锥曲线基本概念测试

高考数学圆锥曲线基本概念测试一．考试要求：(1)掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，了解椭圆的参数方程.(2)掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质.(3)掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质.(4)了解圆锥曲线的初步应用.【注意】圆锥曲线是解析几何的重点，也是高中数学的重点内容，高考中主要出现三种类型的试题：①考查圆锥曲线的概念与性质；②求曲线方程和轨迹；③关于直线与圆锥曲线的位置关系的问题.二．基础知识:(一)椭圆及其标准方程1.椭圆的定义：椭圆的定义中，平面内动点与两定点1F、2F的距离的和大于|1F2F|这个条件不可忽视.若这个距离之和小于|1F2F|，则这样的点不存在；若距离之和等于|1F2F|，则动点的轨迹是线段1F2F.2.椭圆的标准方程：（a＞b＞0）12222byax12222bxay3.椭圆的标准方程判别方法：判别焦点在哪个轴只要看分母的大小：如果2x项的分母大于2y项的分母，则椭圆的焦点在x轴上，反之，焦点在y轴上.(二)椭圆的简单几何性质（a＞b＞0）.1．椭圆的几何性质：设椭圆方程12222byax线段1A2A、1B2B分别叫做椭圆的长轴和短轴.它们的长分别等于2a和2b，离心率：ace221bea0＜e＜1.e越接近于1时，椭圆越扁；反之，e越接近于0时，椭圆就越接近于圆.2.椭圆的第二定义⑴定义：M与定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数ace，这个动点的轨迹是椭圆.⑵准线：12222byax（a＞b＞0）的准线方程为cax2.12222bxay准线方程cay2.3.椭圆的焦半径：exaMF1，exaMF2.2a=2b+2c4.椭圆的参数方程椭圆12222byax（a＞b＞0）的参数方程为cossinxayb（θ为参数）.⑴这里参数θ叫做椭圆的离心角.椭圆上点P的离心角θ与直线OP的倾斜角α不同：tantanab；⑵椭圆的参数方程可以由方程12222byax与三角恒等式1sincos22相比较而得到，所以椭圆的参数方程的实质是三角代换.5.椭圆的的内外部点00(,)Pxy在椭圆22221(0)xyabab的内部2200221xyab6.焦点三角形21FPF经常利用余弦定理．．．．、三角形．．．面积公式．．．．将有关线段1PF、2PF、2c，有关角21PFF结合起来，建立1PF+2PF、1PF2PF等关系。面积公式：．．．．．12FPFS2tan2b(三)双曲线及其标准方程1双曲线的定义：平面内与两个定点1F、2F的距离的差的绝对值等于常数2a（小于|1F2F|）的动点M的轨迹叫做双曲线.在这个定义中，要注意条件2a＜|1F2F|，这一条件可以用“三角形的两边之差小于第三边”加以理解.若2a=|1F2F|，则动点的轨迹是两条射线；若2a＞|1F2F|，则无轨迹.若1MF＜2MF时，动点M的轨迹仅为双曲线的一个分支，又若1MF＞2MF时，轨迹为双曲线的另一支.而双曲线是由两个分支组成的，故在定义中应为“差的绝对值”.2.双曲线的标准方程判别方法是：如果2x项的系数是正数，则焦点在x轴上；如果2y项的系数是正数，则焦点在y轴上.对于双曲线，a不一定大于b，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上.(四)双曲线的简单几何性质1.双曲线12222byax实轴长为2a，虚轴长为2b，离心率ace221ba离心率e越大，开口越大.2.双曲线12222byax的渐近线方程为xaby或表示为02222byax.若已知双曲线的渐近线方程是xnmy，即0nymx，那么双曲线的方程具有以下形式：kynxm2222，其中k是一个不为零的常数.3.双曲线的第二定义：平面内到定点（焦点）与到定直线（准线）距离的比是一个大于1的常数（离心率）的点的轨迹叫做双曲线.焦半径公式21|()|aPFexc，22|()|aPFexc.4.双曲线的方程与渐近线方程的关系(1）若双曲线方程为12222byax渐近线方程：22220xyabxaby.(2)若渐近线方程为xaby0byax双曲线可设为2222byax.(3)若双曲线与12222byax有公共渐近线，可设为2222byax（0，焦点在x轴上，0，焦点在y轴上）.（4）双曲线22221(,0)xyabab焦点三角形面积：12FPFS2cot2b，高h2cot2bc。(五)抛物线221122112:;2:222:;2:22ppypxPFxypxPFxppxpyPFyxpyPFy抛物线的内外部点00(,)Pxy在抛物线22(0)ypxp的内部22(0)ypxp.(六)直线与圆锥曲线相交1．弦长公式]4))[(1(1212212122xxxxkxxkAB]4)[()11(11212212122yyyykyyk抛物线y2=2px(p0)的焦点弦（1）AB＝x1+x2+p;（2）y1y2=－p2，x1x2=42p;过椭圆12222byax（ab0）左焦点的焦点弦为AB，则)(221xxeaAB，2求轨迹的常用方法：（1）直接法：直接通过建立x、y之间的关系，构成F(x,y)＝0；（2）待定系数法：（3）代入法（4）定义法：（5）参数法：3．圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。在椭圆12222byax中，以00(,)Pxy为中点的弦所在直线的斜率k=－0202yaxb；在双曲线22221xyab中，以00(,)Pxy为中点的弦所在直线的斜率k=0202yaxb；在抛物线22(0)ypxp中，以00(,)Pxy为中点的弦所在直线的斜率k=0py。特别提醒：（1）务必别忘了检验0！(2)简便的检验方法：如右图双曲线中点在渐近线和曲线上或它们之间的空隙区域，符合条件的方程都是增解；其它区域内的点为中点的弦的方程都符合题意4．椭圆、双曲线的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）为22ba，焦准距（焦点到相应准线的距离）为2bc，抛物线的通径为2p，焦准距为p；