高考数学普通高等学校招生全国统一考试104

A'B'AB高考数学普通高等学校招生全国统一考试104本试卷分第Ｉ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ｉ卷１至２页。第Ⅱ卷３至４页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第Ｉ卷注意事项：１．答题前，考生在答题卡上务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考号填写清楚，并贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。２．每小题选出答案后，用２Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。３．本卷共１２小题，每小题５分，共６０分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。参考公式如果事件Ａ、Ｂ互斥，那么球的表面积公式()()()PABPAPB24SR如果事件Ａ、Ｂ相互独立，那么其中R表示球的半径(.)().()PABPAPB球的体积公式343VR如果事件Ａ在一次试验中发生的概率是Ｐ，那么其中R表示球的半径n次独立重复试验中恰好发生k次的概率是()(1)kknknnPkCPP一．选择题（1）已知向量a＝（4，2），向量b＝（x，3），且a//b,则x＝()（A）9(B)6(C)5(D)3（2）已知集合2{|3},|log1MxxNxx，则MN()（A）（B）|03xx（C）|13xx（D）|23xx（3）函数sin2cos2yxx的最小正周期是()（A）2（B）4（C）4（D）2（4）如果函数()yfx的图像与函数32yx的图像关于坐标原点对称，则()yfx的表达式为()（A）23yx（B）23yx（C）23yx（D）23yx（5）已知ABC的顶点B、C在椭圆2213xy上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则ABC的周长是()（A）23（B）6（C）43（D）12（6）已知等差数列na中，247,15aa，则前10项的和10S＝()（A）100(B)210(C)380(D)400（7）如图，平面平面，,,ABAB与两平面、所成的角分别为4和6。过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为'A、',B若AB=12,则''AB()（A）4（B）6（C）8（D）9（8）已知函数()ln1(0)fxxx，则()fx的反函数为()（A）1()xyexR（B）1()xyexR（C）1(1)xyex（D）1(1)xyex（9）已知双曲线22221xyab的一条渐近线方程为43yx，则双曲线的离心率为()（A）53（B）43（C）54（D）32（10）若(sin)3cos2,fxx则(cos)fx()（A）3cos2x（B）3sin2x（C）3cos2x（D）3sin2x（11）过点（－1，0）作抛物线21yxx的切线，则其中一条切线为()（A）220xy（B）330xy（C）10xy（D）10xy（12）5名志愿者分到3所学校支教，每个学校至少去一名志愿者，则不同的分派方法共有()（A）150种(B)180种(C)200种(D)280种第Ⅱ卷二．填空题：本大题共４小题，每小题４分，共１６分，把答案填在横线上。（13）在4101()xx的展开式中常数项是＿＿＿＿＿。（用数字作答）（14）圆1o是以R为半径的球O的小圆，若圆1o的面积1S和球O的表面积S的比为1:2:9SS，则圆心1o到球心O的距离与球半径的比1:OOR＿＿＿＿＿。（15）过点(1,2)的直线l将圆22(2)4xy分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l的斜率____.k（16）一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如下图）。为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在[2500,3000)（元）月收入段应抽出＿＿＿＿＿人。三．解答题：本大题共６小题，共７４分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（17）（本小题满分１２分）0.0005300035000.00030.0004200015000.00020.0001400025001000月收入（元）频率/组距BACC1B1A1DE在2545,10,cos5ABCBACC中，,求（1）?BC（2）若点DAB是的中点，求中线CD的长度。（18）（本小题满分１２分）设等比数列na的前n项和为nS，481,17,?nSSa求通项公式（19）（本小题满分１２分）某批产品成箱包装，每箱5件，一用户在购进该批产品前先取出3箱，再从每箱中任意出取2件产品进行检验。设取出的第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品，其余为一等品。（I）求取6件产品中有1件产品是二等品的概率。（II）若抽检的6件产品中有2件或2件以上二等品，用户就拒绝购买这批产品，求这批产品被用户拒绝的概率。（20）（本小题１２分）如图，在直三棱柱111ABCABC中，,ABBCD、E分别为1BB、1AC的中点。（I）证明：ED为异面直线1BB与1AC的公垂线；（II）设12,AAACAB求二面角11AADC的大小(21）（本小题满分为１４分）设aR，函数2()22.fxaxxa若()0fx的解集为A，|13,BxxAB，求实数a的取值范围。（22）（本小题满分１２分）已知抛物线24xy的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点，且(0).AFFB过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M。（I）证明FMAB为定值；（II）设ABM的面积为S，写出()Sf的表达式，并求S的最小值。普通高等学校招生全国统一考试（全国II卷）数学（文史类）参考答案一、选择题题号123456789101112答案BDDDCBBBACDA二、填空题（13）45；（14）13；（15）22；（16）25三、解答题17、解：（1）由255cossin55CC得2310sinsin(18045)(cossin)210ACCC由正弦定理知10310sin32sin1022ACBCAB（2）105sin2sin522ACABCB112BDAB由余弦定理知222cos21182132132CDBDBCBDBCB（18）解：设{}na的公比为q，由481,171SSq知，所以得41(1)11aqq……………………………………①81(1)171aqq……………………………………②由①、②式得整理得841171qq解得416q所以q＝2或q＝－2将q＝2代入①式得1115a，所以1215na将q＝－2代入①式得115a，所以1(1)25nnna19解：设iA表示事件“第二箱中取出i件二等品”，i＝0，1；iB表示事件“第三箱中取出i件二等品”，i＝0，1，2；（1）依题意所求的概率为1001()()iPPABPAB1001()()()()PAPBPAPB211123324422225555CCCCCCCCC1225(2)解法一：所求的概率为20011()PPABP2234225512712550CCCC解法二：所求的概率为1102122()()()PPABPABPAB110212()()()()()()PAPBPAPBPAPB111221232442422222225555551750CCCCCCCCCCCCC20．解法一：（Ⅰ）设O为AC中点，连接EO，BO，则EO∥＝12C1C，又C1C∥＝B1B，所以EO∥＝DB，EOBD为平行四边形，ED∥OB．……2分∵AB＝BC，∴BO⊥AC，又平面ABC⊥平面ACC1A1，BO面ABC，故BO⊥平面ACC1A1，∴ED⊥平面ACC1A1，BD⊥AC1，ED⊥CC1，∴ED⊥BB1，ED为异面直线AC1与BB1的公垂线．……6分（Ⅱ）连接A1E，由AA1＝AC＝2AB可知，A1ACC1为正方形，∴A1E⊥AC1，又由ED⊥平面ACC1A1和ED平面ADC1知平面ADC1⊥平面A1ACC1，∴A1E⊥平面ADC1．作EF⊥AD，垂足为F，连接A1F，则A1F⊥AD，∠A1FE为二面角A1－AD－C1的平面角．不妨设AA1＝2，则AC＝2，AB＝2ED＝OB＝1，EF＝AE×EDAD＝23，tan∠A1FE＝3，∴∠A1FE＝60°．所以二面角A1－AD－C1为60°．………12分解法二：（Ⅰ）如图，建立直角坐标系O－xyz，其中原点O为AC的中点．设A(a，0，0)，B(0，b，0)，B1(0，b，2c)．则C(－a，0，0)，C1(－a，0，2c)，E(0，0，c)，D(0，b，c)．……3分ED→＝（0，b，0），BB1→＝(0，0，2c)．ED→·BB1→＝0，∴ED⊥BB1．又AC1→＝(－2a，0，2c)，ED→·AC1→＝0，∴ED⊥AC1，……6分所以ED是异面直线BB1与AC1的公垂线．ABCDEA1B1C1OFABCDEA1B1C1Ozxy（Ⅱ）不妨设A(1，0，0)，则B(0，1，0)，C(－1，0，0)，A1(1，0，2)，BC→＝(－1，－1，0)，AB→＝(－1，1，0)，AA1→＝(0，0，2)，BC→·AB→＝0，BC→·AA1→＝0，即BC⊥AB，BC⊥AA1，又AB∩AA1＝A，∴BC⊥平面A1AD．又E(0，0，1)，D(0，1，1)，C(－1，0，1)，EC→＝(－1，0，－1)，AE→＝(－1，0，1)，ED→＝(0，1，0)，EC→·AE→＝0，EC→·ED→＝0，即EC⊥AE，EC⊥ED，又AE∩ED＝E，∴EC⊥面C1AD．……10分cos＜EC→，BC→＞＝EC→·BC→|EC→|·|BC→|＝12，即得EC→和BC→的夹角为60°．所以二面角A1－AD－C1为60°．………12分（21）解：由f（x）为二次函数知0a令f（x）＝0解得其两根为122211112,2xxaaaa由此可知120,0xx（i）当0a时，12{|}{|}AxxxxxxAB的充要条件是23x，即21123aa解得67a（ii）当0a时，12{|}AxxxxAB的充要条件是21x，即21121aa解得2a综上，使AB成立的a的取值范围为6(,2)(,)722．解：(Ⅰ)由已知条件，得F(0，1)，λ＞0．设A(x1，y1)，B(x2，y2)．由AF→＝λFB→，即得(－x1，1－y)＝λ(x2，y2－1)，－x1＝λx2①1－y1＝λ(y2－1)②将①式两边平方并把y1＝14x12，y2＝14x22代入得y1＝λ2y2③解②、③式得y1＝λ，y2＝1λ，且有x1x2＝－λx22＝－4λy2＝－4，抛物线方程为y＝14x2，求导得y′＝12x．所以过抛物线上A、B两点的切线方程分别是y＝12x1(x－x1)＋y1，y＝12x2(x－x2)＋y2，即y＝12x1x－14x12，y＝12x2x－14x22．解出两条切线的交点M的坐标为(x1＋x22，x1x24)＝(x1＋x22，－1)．……4分所以FM→·AB→＝(x1＋x22，－2)·(x2－x1，y2－y1)＝12(x22－x12)－2(14x22－14x12)＝0所以FM→·AB→为定值，其值为0．……7分(Ⅱ)由(Ⅰ)知在△ABM中，FM⊥AB，因而S＝12|AB||FM|．|FM|＝(x1＋x22)2＋(－2)2＝14x12＋14x22＋12x1x2＋4＝y1＋y2＋12×(－4)＋4＝λ＋1λ＋2＝λ＋1λ．因为|AF|、|BF|分别等于A、B到抛物线准线y＝－1的距离，所以|AB