高考数学普通高等学校招生全国统一考试97

高考数学普通高等学校招生全国统一考试97本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共4页。全卷共150分。考试用时120分钟。第Ⅰ卷（选择题共50分）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题纸上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷上无效。3.考试结束后，监考人员将本试题卷和答题卡一并收回。一、选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分散。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知向量(3,1)a，b是不平行于x轴的单位向量，且3ab，则b(B)A．（31,22）B．（13,22）C．（133,44）D．（1,0）2.若互不相等的实数,,abc成等差数列，,,cab成等比数列，且310abc，则a(D)A．4B．2C．－2D．－43.若ABC的内角A满足2sin23A，则sincosAA(A)A.153B．153C．53D．534．设2()lg2xfxx，则2()()2xffx的定义域为(B)A．(4,0)(0,4)B．(4,1)(1,4)C．(2,1)(1,2)D．(4,2)(2,4)5．在2431()xx的展开式中，x的幂的指数是整数的项共有(C)A．3项B．4项C．5项D．6项6．关于直线,mn与平面,，有以下四个命题：①若//,//mn且//，则//mn；②若,mn且，则mn；③若,//mn且//，则mn；④若//,mn且，则//mn；其中真命题的序号是(D)A．①②B．③④C．①④D．②③7．设过点(,)Pxy的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于,AB两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点，若2BPPA且1OQAB，则点P的轨迹方程是(D)A．22331(0,0)2xyxyB．22331(0,0)2xyxyC．22331(0,0)2xyxyD．22331(0,0)2xyxy8．有限集合S中元素的个数记做()cardS，设,AB都为有限集合，给出下列命题：①AB的充要条件是()()()cardABcardAcardB；②AB的充要条件是()()cardAcardB；③ABÚ的充要条件是()()cardAcardB；④AB的充要条件是()()cardAcardB；其中真命题的序号是(B)A．③④B．①②C．①④D．②③9．已知平面区域D由以(1,3),(5,2),(3,1)ABC为顶点的三角形内部＆边界组成。若在区域D上有无穷多个点(,)xy可使目标函数|zxmy取得最小值，则m(C)A．－2B．－1C．1D．410．关于x的方程222(1)10xxk，给出下列四个命题：(A)①存在实数k，使得方程恰有2个不同的实根；②存在实数k，使得方程恰有4个不同的实根；③存在实数k，使得方程恰有5个不同的实根；④存在实数k，使得方程恰有8个不同的实根；其中假．命题的个数是A．0B．1C．2D．3第Ⅱ卷（非选择题共100分）注意事项：第Ⅱ卷用0.5毫米黑色的签字笔或黑色墨水钢笔直接答在答题卡上。答在试题卷上无效。二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡相应位置上。11．设,xy为实数，且511213xyiii，则xy4。12．接种某疫苗后，出现发热反应的概率为0．80，现有5人接种了该疫苗，至少有3人出现发热反应的概率为0.94。（精确到0．01）13．已知直线5120xya与圆2220xxy相切，则a的值为－18或8。14．某工程队有6项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，有工程丁必须在工程丙完成后立即进行。那么安排这6项工程的不同排法种数是20。（用数字作答）15．将杨辉三角中的每一个数rnC都换成1(1)rnnC，就得到一个如右图所示的分数三角形，成为莱布尼茨三角形，从莱布尼茨三角形可看出1111(1)(1)rxrnnnnCnCnC，其中xr＋1。令3311111113123060(1)nnnanCnC，则limnna。21三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16．（本小题满分12分）设函数()()fxabc，其中向量(sin,cos)axx，(sin,3cos)bxx，(cos,sin)cxx，xR。（Ⅰ）、求函数()fx的最大值和最小正周期；（Ⅱ）、将函数()fx的图像按向量d平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称，求长度最小的d。点评：本小题主要考查平面向量数量积的计算方法、三角公式、三角函数的性质及图像的基本知识，考查推理和运算能力。解：(Ⅰ)由题意得，f(x)＝a·(b+c)=(sinx,－cosx)·(sinx－cosx,sinx－3cosx)＝sin2x－2sinxcosx+3cos2x＝2+cos2x－sin2x＝2+2sin(2x+43).所以，f(x)的最大值为2+2，最小正周期是22＝.（Ⅱ）由sin(2x+43)＝0得2x+43＝k.，即x＝832k,k∈Z，于是d＝（832k，－2），,4)832(2kdk∈Z.因为k为整数，要使d最小，则只有k＝1，此时d＝（―8，―2）即为所求.17．（本小题满分13分）已知二次函数()yfx的图像经过坐标原点，其导函数为'()62fxx，数列{}na的前n项和为nS，点(,)()nnSnN均在函数()yfx的图像上。（Ⅰ）、求数列{}na的通项公式；（Ⅱ）、设13nnnaab，nT是数列{}nb的前n项和，求使得20nmT对所有nN都成立的最小正整数m；点评：本小题考查二次函数、等差数列、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算技能，考查分析问题的能力和推理能力。解：（Ⅰ）设这二次函数f(x)＝ax2+bx(a≠0),则f`(x)=2ax+b,由于f`(x)=6x－2,得a=3,b=－2,所以f(x)＝3x2－2x.又因为点(,)()nnSnN均在函数()yfx的图像上，所以nS＝3n2－2n.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝（3n2－2n）－)1(2)132nn（＝6n－5.当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2＝6×1－5，所以，an＝6n－5（nN）（Ⅱ）由（Ⅰ）得知13nnnaab＝5)1(6)56(3nn＝)161561(21nn，故Tn＝niib1＝21)161561(...)13171()711(nn＝21（1－161n）.因此，要使21（1－161n）20m（nN）成立的m,必须且仅须满足21≤20m，即m≥10，所以满足要求的最小正整数m为10.18．（本小题满分12分）如图，在棱长为1的正方体1111ABCDABCD中，P是侧棱1CC上的一点，CPm。（Ⅰ）、试确定m，使直线AP与平面11BDDB所成角的正切值为32；（Ⅱ）、在线段11AC上是否存在一个定点Q，使得对任意的m，D1Q在平面1APD上的射影垂直于AP，并证明你的结论。点评：本小题主要考查线面关系、直线于平面所成的角的有关知识及空间想象能力和推理运算能力，考查运用向量知识解决数学问题的能力。解法1：（Ⅰ）连AC，设AC与BD相交于点O,AP与平面11BDDB相交于点，,连结OG，因为PC∥平面11BDDB，平面11BDDB∩平面APC＝OG,故OG∥PC，所以，OG＝21PC＝2m.又AO⊥BD,AO⊥BB1，所以AO⊥平面11BDDB，ABCD1A1B1C1DO1GOCDC1BAD1A1B1P故∠AGO是AP与平面11BDDB所成的角.在Rt△AOG中，tanAGO＝23222mGOOA，即m＝31.所以，当m＝31时，直线AP与平面11BDDB所成的角的正切值为32.（Ⅱ）可以推测，点Q应当是AICI的中点O1，因为D1O1⊥A1C1,且D1O1⊥A1A，所以D1O1⊥平面ACC1A1，又AP平面ACC1A1，故D1O1⊥AP.那么根据三垂线定理知，D1O1在平面APD1的射影与AP垂直。19．（本小题满分10分）在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布(70,100)N。已知成绩在90分以上（含90分）的学生有12名。（Ⅰ）、试问此次参赛学生总数约为多少人？（Ⅱ）、若该校计划奖励竞赛成绩排在前50名的学生，试问设奖的分数线约为多少分？可共查阅的（部分）标准正态分布表00()()xPxx0x01234567891.21.31.41.92.02.10.88490.90320.91920.97130.97720.98210.88690.90490.92070.97190.97780.98260.8880.90660.92220.97260.97830.98300.89070.90820.92360.97320.97880.98340.89250.90990.92510.97380.97930.98380.89440.91150.92650.97440.97980.98420.89620.91310.92780.97500.98030.98460.89800.91470.92920.97560.98080.98500.89970.91620.93060.97620.98120.98540.90150.91770.93190.97670.98170.9857点评：本小题主要考查正态分布，对独立事件的概念和标准正态分布的查阅，考查运用概率统计知识解决实际问题的能力。解：（Ⅰ）设参赛学生的分数为，因为～N(70，100)，由条件知，P(≥90)＝1－P（90）＝1－F(90)＝1－)107090(＝1－(2)＝1－0.9772＝0.228.这说明成绩在90分以上（含90分）的学生人数约占全体参赛人数的2.28％，因此，参赛总人数约为0228.012≈526（人）。（Ⅱ）假定设奖的分数线为x分，则P(≥x)＝1－P（x）＝1－F(90)＝1－)1070(x＝52650＝0.0951，即)1070(x＝0.9049，查表得1070x≈1.31，解得x＝83.1.故设奖得分数线约为83.1分。20．（本小题满分14分）设,AB分别为椭圆22221(,0)xyabab的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且4x为它的右准线。（Ⅰ）、求椭圆的方程；（Ⅱ）、设P为右准线上不同于点（4，0）的任意一点，若直线,APBP分别与椭圆相交于异于,AB的点MN、，证明点B在以MN为直径的圆内。（此题不要求在答题卡上画图）点评：本小题主要考查直线、圆和椭圆等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力。解：（Ⅰ）依题意得a＝2c，ca2＝4，解得a＝2，c＝1，从而b＝3.故椭圆的方程为13422yx.（Ⅱ）解法1：由（Ⅰ）得A（－2，0），B（2，0）.设M（x0，y0）.∵M点在椭圆上，∴y0＝43（4－x02）.○1又点M异于顶点A、B，∴－2x02，由P、A、M三点共线可以得21-1-2-3-4-224BAMNP（4，2600xy）.从而BM＝（x0－2，y0），BP＝（2，2600xy）.∴BM·BP＝2x0－4＋26020xy＝220x（x02－4＋3y02）.○2将○1代入○2，化简得BM·BP＝25（2－x0）.∵2－x00，∴BM·BP0，则∠MBP为锐角，从而∠MBN为钝角，故点B在以MN为直径的圆内。