北京市东城区2005一模(理)

北京市东城区2005-2006学年度综合练习（一）高三数学（理科）题号一二三总分151617181920分数本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至9页，共150分。考试时间120分钟。考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷（选择题共40分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。不能答在试卷上。一、选择题：本大题共8小题。每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．2i1i等于（D）A．2-2iB．2+2iC．-2D．22．已知(pxx22)6的展开式中，不含x的项是2720,那么正数p的值是（C）A．1B．2C．3D．43．在ABC中，已知sinC=2sin(B+C)cosB,那么ABC一定是（B）Ａ．等腰直角三角形Ｂ．等腰三角形Ｃ．直角三角形Ｄ．等边三角形4．已知直线2xy上一点P的横坐标为a，有两个点A（-1，1），B（3，3），那么使向量PA与PB夹角为钝角的一个充分但不必要的条件是（B）Ａ．-1a2Ｂ．0a1Ｃ．22a22-Ｄ．0a25．若指数函数()(01)xfxaaa且的部分对应值如下表：则不等式1f(|x|)0的解集为(D)x－20()fx0.5921A．1x1xB．1x1x或xC．1x0xD．1x00x1x或6．有一排7只发光二级管，每只二级管点亮时可发出红光或绿光，若每次恰有3只二级管点亮，但相邻的两只二级管不能同时点亮，根据这三只点亮的二级管的不同位置或不同颜色来表示不同的信息，则这排二级管能表示的信息种数共有（D）Ａ．10Ｂ．48Ｃ．60Ｄ．807．设f(x)是定义在实数集R上的函数，满足f(0)=1，且对任意实数a，b都有f(a)-f(a-b)=b(2a-b+1)，则f(x)的解析式可以为是（A）A．1xxf(x)2B．1x2xf(x)2C．1xxf(x)2D．1x2xf(x)28．已知na是首项为1，公比为q的等比数列，nn1n2n31n21nCaCaCaaP*(,2)nNn，024mnnnnnQCCCC，（其中n2[],[]2mt表示t的最大整数，如[2.5]=2）．如果数列nnPQ有极限，那么公比q的取值范围是(C)A．11,0qq且B．11,0qq且C．31,0qq且D．31,0qq且北京市东城区2005-2006学年度综合练习（一）高三数学（理科）第Ⅱ卷（共110分）注意事项：1．用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上。2．答卷前将密封线内的项目填写清楚。二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。把答案填在题中横线上。9．某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2：3：4，现用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本，样本中A种型号产品有16件.那么此样本的容量n=．10．若焦点在x轴上的椭圆1222myx的离心率为21，则m=_________．11．如果过点（0，1）斜率为k的直线l与圆04mykxyx22交于M、N两点，且M、N关于直线x+y=0对称，那么直线l的斜率k=_____________；不等式组0y0,mykx,01ykx表示的平面区域的面积是_____________．12．设函数f(x)=0)x(cbxx0),x(22，若f(-4)=f(0),f(-2)=-2,则f(x)的解析式为f(x)=______________,关于x的方程f(x)=x的解的个数为___________．13．已知过球面上三点A、B、C的截面到球心的距离等于球半径的一半，且AC=BC=6，AB=4，则球的半径等于_________,球的表面积等于__________．14．设函数f(x)=sin(wx+)(w＞0,－2＜＜2,给出以下四个结论：①它的周期为π;②它的图象关于直线x=12对称；③它的图象关于点（3,0）对称；④在区间（－6,0）上是增函数.以其中两个论断为条件，另两个论断作结论写出你认为正确的一个命题：____．（注：填上你认为是正确的一种答案即可）三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15．（本小题满分13分）得分评卷人得分评卷人学校文娱队的每位队员唱歌、跳舞至少会一项，已知会唱歌的有2人，会跳舞的有5人，现从中选2人．设为选出的人中既会唱歌又会跳舞的人数，且107)0(P．(I)求文娱队的人数；(II)写出的概率分布列并计算E．16．（本小题满分13分）已知函数cbxaxx)x(f23，曲线)(xfy在点x=1处的切线l不过第四象限且斜率为3，又坐标原点到切线l的距离为1010，若32x时，)x(fy有极值．得分评卷人ABCDP(I)求a、b、c的值；(II)求)x(fy在[-3,1]上的最大值和最小值．17．（本小题满分14分）如图，三棱锥P—ABC中，PC平面ABC，PC=AC=2，AB=BC，D是PB上一点，且CD平面PAB．(I)求证：AB平面PCB；(II)求异面直线AP与BC所成角的大小；（III）求二面角C-PA-B的大小．得分评卷人18．（本小题满分13分）设A，B分别是直线255yx和255yx上的两个动点，并且||20AB，动点P满足OPOAOB．记动点P的轨迹为C．（I）求轨迹C的方程；（II）若点D的坐标为（0，16），M、N是曲线C上的两个动点，且DNDM，求实数的取值范围．得分评卷人19．(本小题满分13分)已知2)1x()x(f，)1x(10)x(g，数列na满足2a1，0)a(f)a(g)aa(nnn1n，1)a)(2n(109bnn．（Ⅰ）求证：数列1an是等比数列；（Ⅱ）当n取何值时，nb取最大值，并求出最大值；（III）若1m1mmmbtbt对任意*Nm恒成立，求实数t的取值范围．得分评卷人20．(本小题满分14分)已知函数x11)x(f,（x0）．（I）当0ab，且f(a)=f(b)时，求证：ab1；（II）是否存在实数a，b（ab），使得函数y=f(x)的定义域、值域都是[a，b]，若存在，则求出a，b的值，若不存在，请说明理由．（III）若存在实数a，b（ab），使得函数y=f(x)的定义域为[a，b]时，值域为[ma，mb](m≠0),求m的取值范围．得分评卷人北京市东城区2005-2006学年度综合练习（一）高三数学参考答案（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．D2．Ｃ3．B4．Ｂ5．Ｄ6．Ｄ7．Ａ8．Ｃ二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．7210．2311．1，4112．f(x)=0)x(24xx0)x(22，313．263，5414．①②③④,①③②④注：两个空的填空题第一个空填对得2分，第二个空填对得3分．三、解答题（本大题共6小题，共80分）15．（本小题满分13分）解：设既会唱歌又会跳舞的有x人，则文娱队中共有（7-x）人，那么只会一项的人数是（7-2x）人．(I)∵107)0(P1)1(P)0(P，∴103)0(P．……………………………………3分即103CC2x722x7．∴103)x6)(x7()2x6)(2x7(．∴x=2．……………………………………5分故文娱队共有5人．……………………………………7分(II)的概率分布列为012P1035410154CCC)1(P251412，……………………………………9分101CC)2(P2522，……………………………………11分∴10125411030E=1．…………………………13分16．（本小题满分13分）解：(I)由cbxaxx)x(f23，得b2ax3x)x(f2'．……………………………………2分当x=1时，切线l的斜率为3，可得2a+b=0．①当32x时，)x(fy有极值，则0)32(f'，可得4a+3b+4=0．②由①、②解得a=2,b=-4．……………………………………5分设切线l的方程为m3xy．由原点到切线l的距离为1010，则101013m2．解得m=±1．∵切线l不过第四象限，∴m=1．……………………………………6分ABCDPEF由于l切点的横坐标为x=1，∴4)1(f．∴1+a+b+c=4．∴c=5．…………………………………………………………………7分(II)由(I)可得54x-2xx)x(f23，∴4-4x3x)x(f2'．……………………………………8分令0)x(f'，得x=－2,32x．x[-3,-2)-2(-2,32)32(32,1])x(f'+0-0+f(x)极大值极小值……………………………………11分∴f(x)在x=－2处取得极大值f(-2)=13．在32x处取得极小值)32(f=2795．又f(-3)=8，f(1)=4．∴f(x)在[-3,1]上的最大值为13，最小值为2795．……………………………………13分17．（本小题满分14分）解法一：(I)∵PC平面ABC，AB平面ABC，∴PCAB．…………………………2分∵CD平面PAB，AB平面PAB，∴CDAB．…………………………4分又CCDPC，∴AB平面PCB．…………………………5分(II)过点A作AF//BC，且AF=BC，连结PF，CF．则PAF为异面直线PA与BC所成的角．………6分由（Ⅰ）可得AB⊥BC，∴CFAF．由三垂线定理，得PFAF．则AF=CF=2，PF=6CFPC22，在PFARt中，tan∠PAF=26AFPF=3，∴异面直线PA与BC所成的角为3．…………………………………9分（III）取AP的中点E，连结CE、DE．ABCDPxyz∵PC=AC=2，∴CEPA，CE=2．∵CD平面PAB，由三垂线定理的逆定理，得DEPA．∴CED为二面角C-PA-B的平面角．…………………………………11分由(I)AB平面PCB，又∵AB=BC，可求得BC=2．在PCBRt中，PB=6BCPC22，32622PBBCPCCD．在CDERt中，sin∠CED=36232CECD．∴二面角C-PA-B的大小为arcsin36．……14分解法二：（I）同解法一．(II)由(I)AB平面PCB，∵PC=AC=2，又∵AB=BC，可求得BC=2．以B为原点，如图建立坐标系．则Ａ（０，2，０），Ｂ（0，0，0），C（2，０，0），P（2，０，2）．),22,2(AP，)0,0,2(BC．…………………7分则22BCAP+0+0=2．BCAPBCAPBC,APcos=2222=21．∴异面直线AP与BC所成的角为3．………………………10分（III）设平面PAB的法向量为m=(x，y，z)．)0,2,0(AB，),22,2(AP，则0.mAP,0mAB即.02zy2x2,0y2解得z2x,0y令z=-1,得m=(2，0，-1)．设平面PAC的法向量为n=('''z,y,x)．)0,-2,0(PC，),02,2(AC，则0.nAC,0nPC即.0y2x2,02z'''解得'''yx,0z令'x=1,得n=(1，1，0)．………