中考总复习数学微专题2-中点问题六大模型

微专题2中点问题六大模型数学中考总复习中点问题常用性质及常见辅助线作法：1．多个中点或平行＋中点――→联想构造中位线；2．直角三角形＋斜边中点――→联想直角三角形斜边中线；3．等腰三角形＋底边中点――→联想等腰三角形三线合一；4．三角形一边的垂线过这边中点――→联想垂直平分线性质；5．中线或与中点有关的线段――→联想倍长(类倍长)线段构造全等三角形；6．圆＋弦或弧的中点――→联想垂径定理或圆周角定理.模型一遇到三角形一边的中点，考虑构造中位线►例1如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，且AB＝8，MN＝3，则AC的长为(D)A．3B．7C．8D．14【思考】在一般三角形中看到中点，你想到了哪些学过的知识：过中点作平行线可构造中位线，中位线平行于底边且等于底边的一半．基本模型模型分析连接中点构造中位线：当已知条件中同时出现两个及两个以上中点时，常考虑构造中位线；或出现一个中点，要证明平行线段或线段倍分关系时也常考虑构造中位线．利用三角形中位线的性质定理：DE∥BC，且DE＝12BC，△ADE∽△ABC，则可得线段之间的相等或比例关系及平行关系．◎针对训练1.(2020·泰安)如图，点A，B的坐标分别为A(2，0)，B(0，2)，点C为坐标平面内一点，BC＝1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为(B)A.2＋1B.2＋12C．22＋1D．22－12模型二遇到直角三角形斜边上的中点，考虑构造斜边上的中线►例2如图，∠ACB＝90°，D为AB的中点，连接DC并延长到E，使CE＝13CD，过点B作BF∥CD，与AE的延长线交于点F，若BF＝8，则AB的长度为6．【思考】在直角三角形中遇到斜边上的中点，你想到了哪些学过的知识：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．基本模型模型分析在直角三角形中，当遇见斜边中点时，经常会作斜边上的中线，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即CD＝12AB，来证明线段间的数量关系，而且可以得到两个等腰三角形：△ACD和△BCD.该模型经常会与中位线定理一起综合应用．◎针对训练2.(2020·黄石)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点H，E，F分别是边AB，BC，CA的中点，若EF＋CH＝8，则CH的值为(B)A．3B.4C．5D．63.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别是边AB，AC的中点，延长BC至点F，使CF＝12BC，若AB＝10，则EF的长是(A)A．5B．4C．3D．2模型三遇到等腰三角形底边上的中点，考虑“三线合一”的性质►例3如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，M为BC的中点，MN⊥AC于点N，则MN的长为125．【思考】在等腰三角形中遇到底边上的中点，你想到了哪些学过的知识：等腰三角形底边上的中线、高线、顶角的平分线“三线合一”．基本模型模型分析如图，等腰三角形中有底边上的中点时，常作底边上的中线，利用等腰三角形“三线合一”的性质得到：∠BAD＝∠CAD，AD⊥BC，BD＝CD，解决线段相等及平行问题、角度之间的相等问题．◎针对训练4.如图，在△ABC中，D是AB上一点，AD＝AC，AE平分∠CAD，交CD于点E，F是BC的中点，若BD＝16，则EF的长为8．模型四遇到三角形一边垂线过这边中点，考虑垂直平分线的性质►例4如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，点D是AB的中点，过点D作DE⊥AB交BC的延长线于点E，则CE的长为76．【思考】点D是AB的中点且DE⊥AB，你想到了哪些学过的知识：DE是线段AB的垂直平分线，垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．基本模型模型分析当三角形一边垂线过这边中点时，可以考虑用垂直平分线的性质得到(如图)：BE＝CE，证明线段间的数量关系．◎针对训练5.如图，在四边形ABCD中，M，N分别是CD，BC的中点，且AM⊥CD，AN⊥BC.(1)求证：∠BAD＝2∠MAN；(2)连接BD，若∠MAN＝70°，∠DBC＝40°，求∠ADC.解：(1)证明：如图，连接AC.∵M是CD的中点，AM⊥CD，∴AM是线段CD的垂直平分线．∴AC＝AD.又∵AM⊥CD，∴∠3＝∠4.同理可得∠1＝∠2.∵∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝∠BAD，∴∠2＋∠3＝12∠BAD，即∠BAD＝2∠MAN.(2)∠ADC＝50°.模型五遇到三角形一边上的中点(中线或与中点有关的线段)，考虑倍长(类倍长)线段构造全等三角形►例5如图，在△ABC中，D为BC的中点．(1)求证：AB＋AC2AD；(2)若AB＝5，AC＝3，求AD的取值范围．【思考】聪明如你能想到哪些作辅助线的方法：延长AD至点E，使DE＝AD，构造△BDE≌△CDA；或者过点B作BE∥AC，与AD的延长线交于点E，构造△BDE≌△CDA，再由三角形三边关系得出结论．【自主作答】(1)证明：延长AD至点E，使DE＝AD，连接BE.∵D为BC的中点，∴CD＝BD.又∵AD＝ED，∠ADC＝∠EDB.∴△ADC≌△EDB.∴AC＝EB.∵AB＋BEAE，∴AB＋AC2AD.(2)∵AB－BEAEAB＋BE，∴AB－AC2ADAB＋AC.∵AB＝5，AC＝3.∴22AD8.∴1AD4.基本模型模型分析1．倍长中线构造全等三角形：当已知条件中出现中线时，常利用倍长中线构造全等三角形解决问题；2．倍长类中线构造全等三角形：当已知条件中出现类中线(中点有关的线段)时，常利用倍长类中线构造全等三角形解决问题．◎针对训练6.如图，已知AB＝24，AB⊥BC于点B，AB⊥AD于点A，AD＝10，BC＝20.若点E是CD的中点，则AE的长是13．模型六遇到圆中弦(或弧)的中点，考虑垂径定理及圆周角定理►例6(2019·德州)如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，AB︵＝BF︵，CE＝1，AB＝6，则弦AF的长度为485．【思考】在圆中看到圆中两弧相等，你想到了哪些学过的知识：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等，进一步引出垂径定理等知识来解决问题．基本模型模型分析如图，(1)圆心O是直径的中点，常与已知中点连接，或过点O作一边的平行线或垂线构造中位线解题；(2)圆中遇到弦的中点，出现“四中点(如图①，点F，O，E，C)一垂直(FC⊥AB)”，联想“垂径定理”，解决相应问题；(3)圆中遇到弧的中点，可得弧相等、弦相等、圆周角相等，可进一步引出垂径定理、角平分线等来解决相应问题．◎针对训练7.如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，OD⊥BC于点D，AC＝6，则OD的长为(B)A．2B．3C．3.5D．48.如图，AB是⊙O的直径，∠BOD＝120°，点C为BD︵的中点，AC交OD于点E，DE＝1，则AE的长为3．(2020·牡丹江)在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，S△ABC＝6.以BC为边作周长为18的矩形BCDE，M，N分别为AC，CD的中点，连接MN.请你画出图形，并直接写出线段MN的长．解：∵BC＝6，S△ABC＝6，∴△ABC中BC边上的高为6×2÷6＝2.∵矩形的周长为18，BC＝6，∴BE＝CD＝18÷2－6＝3.①当矩形BCDE和△ABC在BC同侧时，如图①，过点A作AF⊥BC，垂足为F，与ED交于点G，连接AD，可知AF＝2，DG＝12BC＝3.∴AG＝GF－AF＝3－2＝1.∴AD＝32＋12＝10.∵M，N分别为AC和CD的中点，∴MN＝12AD＝102；②当矩形BCDE和△ABC在BC异侧时，如图②，同理可得MN＝12AD＝342.综上：MN的长为102或342.