2007届摸底考试数学试卷

2007届摸底考试数学试卷（文科）本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，第I卷1至2页，第II卷3至8页，共150分，考试时间120分钟.第I卷（选择题共40分）注意事项：1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、班级、学号写在答题卡上；2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；3．考试结束，将答题卡和第II卷3至8页试卷一并交回.一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设全集U=R，{|||2},{|1,3},AxxBxxxAB或则是（）A．}2|{xxB．}3|{xxC．}32|{xxx或D．}32|{xx2．若条件:4,:56,paqa条件则pq条件是条件成立的（）A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件3．二项式103)1(xx的展开式中常数项为（）A．70B．70C．210D．2104.已知曲线21yx在0xx点处的切线与曲线31yx在0xx点处的切线互相平行，则0x的值为（）A.0B.0或23C.23D.0或325．给出下面的四个命题：（1）两个侧面为矩形的四棱柱是直四棱柱；（2）平行六面体111111;ABCDABCDACABADAA中，（3）若//,//,,;mnmn直线平面直线平面并且则（4）,,,//.//lmnlmnlmn平面、、直线、、，若则其中正确的命题的个数是（）A.1B.2C.3D.46．已知函数(41)2,1()log,1aaxaxfxxx≥是(,)上的减函数，那么a的取值范围是（）A．11[,)64B．1(0,)6C．1(0,)4D．11[,)627．在正方体的八个顶点中任选3个顶点连成三角形，则所得的三角形是直角非等腰．．三角形的概率为（）A．17B．37C．27D．478．一个机器人每一秒钟是前进或者后退一步，现在程序设计师让机器人以前进3步，然后再后退2步的规律移动.如果将机器人放在数轴的原点，面向轴的正方向，以1步的距离（机器人的每步的距离一样长）为1个单位长度.令P(n)表示第n秒时机器人所在位置的坐标，且记P(0)=0，则下列结论中错误的是（）A.P(3)=3B.P(5)=1C.P(2003)P(2005)D.P(2003)P(2005)二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．9．某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1200辆，6000辆和2000辆．为检验该公司的产品质量，现用分层抽样方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取_________，___________，____________辆．10．函数)0(2xyx的反函数是．11．在一个二面角的一个面内有一点，它到棱的距离等于它到另一个面的距离的2倍，则二面角的度数为．（写出范围在[0,]2内的解）12．设axxxfa3)(,0函数在),1[上是单调递增函数，则实数a的取值范围为．13．若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为．14．读下列命题，请把正确命题的序号都填在横线上.①已知命题p与命题q，若p是q的充分不必要条件，则p是q的充分不必要条件；②若函数)(xf对定义域中的x总有)(),1()1(xfxfxf则是奇函数；③函数xxxf121)(的图象关于点（－1，－2）成中心对称；④已知f(x)是R上的函数，且满足f(x+2)=f(x)，当x2,1时，f(x)=2x，则(f2007.5)的值为0.5．二、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.（本题满分12分）已知集合2|(2)10,,|0AxxaxxRBxx，并且满足,AB求实数a的取值范围．16.（本题满分13分）在8件产品中,有5件合格品,3件次品.从中任意取出4件，求下列事件发生的概率.（Ⅰ）取出2件合格品或3件合格品；（Ⅱ）至少取出一件次品.17.(本题满分13分)已知函数32()fxxaxbxc在23x与1x时都取得极值.（1）求,ab的值与函数()fx的单调区间；（2）若对x1,2，不等式2()fxc恒成立，求c的取值范围.18.(本小题满分14分)如图，四棱锥PABCD中，PD底面ABCD,,//,ADABCDAB且2ABAD，PA与底面ABCD成60角，点,MN分别是,PAPB的中点.（Ⅰ）求证：AB平面PAD；（Ⅱ）求二面角PMND的大小；（Ⅲ）当32DCAB时，求异面直线,DNBC所成的角.19．（本题满分14分）设函数)(xf＝12xmx的图象关于直线x－y＝0对称.（1）求m的值；（2）判断并证明函数)(xf在区间（1，＋∞）上的单调性；（3）若直线y＝a（a∈R）与)(xf的图象无公共点，且)23|2(|tf＜2a＋)4(af，求实数t的取值范围．DABCPMN20.（本小题满分14分）对于函数2()(1)2(0)fxaxbxba，若存在实数0x，使00()fxx成立，则称0x为()fx的不动点.（1）当2,2ab时，求()fx的不动点；（2）若对于任何实数b，函数)(xf恒有两相异的不动点，求实数a的取值范围；（3）在（2）的条件下，若()yfx的图象上A、B两点的横坐标是函数()fx的不动点，且直线2121ykxa是线段AB的垂直平分线，求实数b的最小值.参考答案一．选择题：题号12345678答案CACBBABD二．填空题：9．6、30、10；10．)10(log2xxy；11．030；12．27；13．{a0a≤3}；14．③④三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15．解：2,(2)40,40Aaa当时；………5分A当时，方程2(2)40xax有非正实数根2(2)400(2)0aaa22(2)400(2)0400202aaaa或综上：(4,)a……………………12分16.解：（Ⅰ）设取出的4件中有2件合格品或3件合格品分别为事件A、B，则73)(,73)(481335482325CCCBPCCCAP∵A、B为两个互斥事件∴P（A+B）=P（A）+P（B）=76答：取出2件合格品或3件合格品的概率为76…………6分（Ⅱ）取出4件都为合格品的事件为C，则P（C）=1414845CC至少取出一件次品的事件为事件C的对立事件,其概率为14131411答：至少取出一件次品的概率为1413.…………13分17．解：（1）f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c，f（x）＝3x2＋2ax＋b由f（23－）＝124093ab－＋＝，f（1）＝3＋2a＋b＝0得a＝12－，b＝－2。。。。。。。。。4分f（x）＝3x2－x－2＝（3x＋2）（x－1），函数f（x）的单调区间如下表：x（－，－23）－23（－23，1）1（1，＋）f（x）＋0－0＋f（x）极大值极小值所以函数f（x）的递增区间是（－，－23）与（1，＋）递减区间是（－23，1）。。。。。。。。。。。7分（2）f（x）＝x3－12x2－2x＋c，x1,2，由（1）当x＝－23时，f（x）＝2227＋c为极大值，而f（2）＝2＋c，则f（2）＝2＋c为最大值。要使f（x）c2（x1,2）恒成立，只需c2f（2）＝2＋c解得c－1或c2。。。。。。。。。。。。13分18．（Ⅰ）证明：∵PD底面ABCD，AB底面ABCD，∴,PDAB又∵,ADAB且AD平面PAD，PD平面PAD，PDADD，∴AB平面PAD；4分（Ⅱ）解：∵点,MN分别是,PAPB的中点，∴//MNAB，由（Ⅰ）知AB平面PAD，∴MN平面PAD，∴MNPM，MNMD，∴PMD为二面角PMND的平面角，7分∵PD底面ABCD，∴PA与底面ABCD所成的角即为PAD，∴PAD＝60，∵M为直角三角形PAD斜边PA的中点，∴PMD为等腰三角形，且30MPD，∴PMD120，∴二面角PMND的大小为120；9分（Ⅲ）法１：过点N作//NEBC交PC于点E，则END或其补角即为异面直线,DNBC所成的角，11分DABCPMNABCDPMNE∵N为PB的中点,∴E为为PC的中点,设ADa，则由2ABAD得2ABa，又32DCAB，∴322DCa∴22()BCDCABAD＝62a，∴2238NEa，∴由（Ⅱ）知NMD为直角三角形，且1222MNABa，12MDPAADa，∴222232NDMNMDa，在直角三角形PDA中，tantan603PDADPADaa，∴221130224DEPCPDDCa，∴在三角形DNE中，2222158DEaNEND，13分∴DNE为直角三角形，END为直角，∴异面直线,DNBC所成的角为90．14分或者用三垂线定理，首先证明DB与BC垂直也可以因为322DCa∴22()BCDCABAD＝62a，又223DBADABa，所以222326322aaa，即DB与BC垂直法２：以点D为坐标原点，建立如图的直角坐标系，设2AD，则2AB，6PD，3DC，则(2,0,0),(2,2,0),(0,0,6),(0,3,0).ABPC则26(,1,)22N，26(,1,)22DN，(2,1,0)BC，26(2)110022DNBCDNBC，∴异面直线,DNBC所成的角为90……………．14分ABCDPMNxyz19．解：1）由)(xf＝2()(1)21mxfxxmxx.)(1xf＝2xxm，∴m＝1；……….4分（2）)(xf＝12xx在（1，＋∞）上是单调递减函数，任取1x、2x∈（1，＋∞），且设1x＜2x，则：)(1xf－)(2xf＝)1)(1()(32112xxxx＞0，∴)(xf＝12xx在（1，＋∞）上是单调递减函数；……………9分（3）当直线y＝a（a∈R）与)(xf的图象无公共点时，a＝1，∴)23|2(|tf＜2＋)4(f＝4＝)2(f，｜t－2｜＋23＞2，得：t＞25或t＜23…………..14分20．解2()(1)2(0),fxaxbxba（1）当2,2ab时，2()24.fxxx设x为其不动点，即224.xxx则22240.xx121,2.()xxfx即的不动点是－1，2………..4分（2）由()fxx得：220axbxb.由已知，此方程有相异二实根，0x恒成立，即24(2)0.bab即2480baba对任意Rb恒成立.20.1632002.baaa………………….…………10分（3）设1122(,),(,)AxxBxx，直线2121ykxa是线段AB的垂直平分线，∴1k记AB的中点00(,).Mxx由（2）知0,2bxa2211,.212221bbMykxaaaa在上化简得：1122(2142121222abaaaaaa当时，等号成立）.min24b……………………………………………………………14分