第18章量子力学初步(电子工业出版社new)

第5篇量子物理基础Planck普朗克Einstein爱因斯坦Compton康普顿Davisson戴维孙Wein维恩Rutherford卢瑟福Bohr玻尔Sommerfeld索末非lenard勒纳德Thomson汤姆孙chadwick查德威克becquerel贝克勒尔Frank夫兰克Hertz赫兹whbragg布拉格wlbragg布拉格bothe玻色Zeeman塞曼pauli泡利Stark斯达克Stern斯特恩李政道、杨振林weinberg温伯格wigner魏格纳Willson威尔孙braun布劳恩Salam萨拉姆Born波恩Heisenberg海森伯Schrdinger薛定谔deBroglie德布罗易Feynman费曼Dirac狄拉克Landau郎道吴健雄fermi费米Mayer梅耶glashow格拉肖jensen吉孙丁肇忠Cooper库伯霍金FirstSolvayConference1911辐射和量子1927年索耳威第五届会议主题是电子与光学1933第七届索耳威会议原子核的构造和性质SolvayPhysicsCongress,1921第17章量子力学基础1.量子力学发展线索17.0章序黑体辐射研究能量子观念光电效应研究固体低温比热康普顿实验光量子观念德布罗易假设波粒二象性量子力学体系2.本章内容结构(1)实物粒子的波粒二象性与不确定关系(2)薛定谔方程的建立及初步应用(3)原子中电子的存在状况§17.1微观粒子的波粒二象性一德布罗易物质波观念1.德布罗易物质波观念的提出光的波动学说牛顿光的微粒说惠更斯光的波动说物质微粒的微粒说物质微粒的波动说物质微粒的波粒二象性光电效应光的波粒二象性2.德布罗易物质波观念的数学表述hmcE2ph第二式推导hpmcpmchmch22结论：实物粒子不仅具有粒子性，同时也具有波动性实物粒子的波粒二象性是其内禀属性实物粒子的波粒二象性数学表述是通过类比光的波粒二象性得到的讨论：I.德布罗易关系式的物理意义II.对实物粒子，德布罗易关系式的两个公式互相独立III.物质微粒的能量是指其总能量，而不是粒子的动能粒子低速运动时，可用粒子动能代替其总能量求解波长例：电子的总能量可写为20cmEEk推算：物质波波长计算公式；并得到低速近似计算公式解：由狭义相对论420222cmpcEkkEcmEccmEcp2024202211kkEcmEchph2022kEmch02cv文献查阅：文先俊，简述建立量子力学基本原理的思想方法，高等函授学报，1997，vol.4，p29~333.由德布罗易关系得到的若干结论I宏观粒子的波长极小，仅显示出极其微弱的波动性例：已知：微尘：m1=10-15kg，v1=10-2m/s；小球：m2=10-3kgv2=10-1m/s；电子:m3=9.1110-31kg，v3=5107m/s求：它们各自的德布罗意波长解：微尘mmh17215341111063.6101011063.6v小球mmh3013342221063.6101011063.6v电子9731343311046.11051011.91063.6vmh(m)II由德布罗易关系得到玻尔量子条件驻波条件：电子回转一周的周长应为其波长整数倍，即nrLπ2hpnhrmvπ2讨论作用量：称与mrv有相同量纲的物理量为系统作用量结论：当微观粒子的作用量与h可相比拟时，该系统称量子系统思考题：无限深势阱中粒子能量量子化III由德布罗易关系得到氢原子基态能量解：氢原子能量remrnEnhprempEEEpk02222022422π42E对r求极值，可得22024nemrn529.0041202322rremrn(Å)小结：由德布罗易关系推导出的若干结论与已有理论或实验结果是一致的，初步检验了它的合理性二德布罗意波的实验验证1.戴维逊－革末实验阴极电压实验装置阴极电压实验现象•集电器电流强度随电压单调增加作周期性变化•周期变化满足布拉格公式ndsin2理论分析meVmpmeV2212vvVemhphe12V2.12对镍单晶，d=0.91Å实验时，=65，V=54V理论波长：1.67Å实验波长：1.65Å三实物粒子波粒二象性的物理图象1.“波包”解释•不同介质中波的群速度不同•一旦波弥散开去，不能重新凝结2.“鬼场”解释•约束粒子的导波产生机制问题3.实物粒子波粒二象性的统计解释例：分析电子的双缝衍射实验，并说明玻恩统计解释的观点思考：从实验现象中总结波函数的物理意义弱电子束强电子束§18.2.不确定关系一不确定关系的内涵1.不确定关系的引入•由于粒子的波粒二象性，描述粒子经典轨道运动的参量：已经不能描述量子粒子的运动状况•描述量子粒子运动时，继续沿用轨道参量，但它们不再具有经典物理中的轨道物理图像2.不确定关系的特例说明以单电子单缝衍射中，电子坐标与动量的不确定关系为例xxpxp1忽略次极大时，电子在x方向动量范围1sin0ppx电子在x方向动量不确定度1sinppx有hpx考虑次极大时，电子在x方向动量不确定度1sinppx单缝衍射第一级暗条纹出现位置的条件1sinx德布罗易波假设ph3.不确定关系典型特例表示方法2xpx2tE一般表述方法2qp严格表示方法4)ˆ()ˆ(222kGF典型特例表示方法2xpx2tE讨论•不确定关系是微观粒子的内禀属性，是波粒二象性的结果•任何一对广义动量与广义坐标之乘积都满足不确定关系•不确定关系的本质含义是：任何一对广义动量与广义坐标在理论上不可能同时具有确定值•不确定关系只有在量子系统中才明显表现出来•利用不确定关系估算物理参量时应注意的问题二不确定关系的应用举例例：小球质量m=10-3kg，速度v=0.1m/s，位置不确定度x=10-6m求：(1).小球的作用量；(2).小球动量、速度不确定度解：(1).作用量hqp1061310101010(2).由可得2xpx1291028.5smkgpx1261028.5smxv对作用量远大于h的经典物理系统，广义动量与广义坐标是可以被同时精确测定1.不确定关系适用的条件例：电子的质量me=9.110-31kg，氢原子的半径为10-10m数量级求：(1).电子的作用量；(2).测量电子速度时的不确定度解：(1).作用量hqp~101.91010101.9341063116106.02smxmexv(2).由可得2xpx作用量与h相当的量子系统，不确定关系将起很重要作用，此时，不能再用经典理论讨论物理系统的运动规律例：显象管中电子运动速度为107m/s数量级，电子束横截面尺寸为10-4m数量级求：(1).显象管中电子的作用量；(2).电子横向速度的不确定度解：(1).作用量hqp284731101.91010101.916.02smxmexv(2).由可得2xpx不能单纯以物理对象是否十分“微小”来判定该系统属于经典系统或量子系统，而必须依据其作用量是否与h相当来判定2.不确定关系在估算物理量中的应用例：用不确定关系，估算氢原子中可能有的最低能量解：不计原子核运动时，氢原子的能量就是原子中电子的能量rempEEEpk020242rrpp~,~取rpqpqp~~~因将上式代入能量表达式rermEEEpk0220242求极值mrrermdrdE10min20230210529.0040eV6.13844)4(2220042002022200202minhmemeememE例：利用不确定关系估算谱线的自然宽度，取t~10-8s解：能级宽度：原子中电子的能级有一个宽度电子寿命：电子在每一个能级上停留的时间谱线的自然宽度：电子在能级间跃迁时的频率宽度Hz1059.121~7tthhEtE§18.3.波函数一波函数的引入1.用波函数描述微观粒子运动规律观念的提出用r、p、L描述方法不适合如何定量描述微观粒子运动规律？微观粒子具有波粒二象性微观粒子的不确定关系2xpx/)(0),(rpEtietr2.波函数引入的思路从波动性角度描述微观粒子运动自由粒子运动规律以平面波描述束缚粒子运动规律通过动力学方程给出(与经典波动对应)讨论•引入波函数概念是微观粒子波粒二象性的必然结果•波函数引入的思路同时给出了波动量子力学数学体系的建立思路3.波函数的统计解释例：分析电子的双缝衍射实验，并说明玻恩统计解释的观点弱电子束强电子束•波函数模之平方代表粒子取得某一物理量值的几率•量子力学中波函数不代表任何实在形式的物质波4.几率波的数学表述dxdydztzyxdxdydztzyxdW2*),,,(),,,(VtzyxCtzyxWd),,,(),,,(d2讨论•波函数可乘以任意常数而不影响其几率相对强弱的分布•波函数应该满足归一化条件(自由粒子平面波函数例外)数学表述Cdydzdxtzyx2),,,(归一化波函数可以写为),,,(1),,,(tzyxCtzyx•几率密度2),,,(),,,(),,,(tzyxdxdydztzyxdWtzyx三量子力学中波函数的基本特征1.波函数必须是复数波函数形式(思考题?)2.波函数可以相差一个相位因子ietzyxtzyx),,,(),,,(222),,,(),,,(),,,(tzyxetzyxtzyxi例：设1、2为体系的两个可能状态，作如下三种线性叠加21iAe)(21iBe21c那些状态相同B和C3.量子力学中波函数应该满足标准条件波函数的标准条件是：单值、连续、有限4.量子力学中波函数应当满足态叠加原理态叠加原理•如果1、2分别是粒子存在的一个可能状态，那么，它们的线性叠加1＋2——也是粒子的一个可能状态；•当粒子处于1和2的线性叠加态时，微观粒子同时处于1和2态各粒子出现的几率为212122212212例：设一维空间运动粒子的波函数可以表述为2/2/)cos()exp(2/,2/0),(bxbxbEtiAbxbxtx其中，A为任意常数，E、b为确定常数求：归一化波函数；几率密度解：由归一化条件1d),(d),(d),(22/22/2/22/xtxxtxxtxbbbb1d)/cos()/iexp()/cos()/iexp(2/2xbxEtbxEtAbbA2归一化常数2/2/)cos()exp(22/,2/0),(bxbxbEtibbxbxtx归一化波函数几率密度2/2/)(cos22/,2/0),(),(22bxbbxbbxbxtxtx最大几率密度点00)(cos2ddd),(d2xbxbxxtx§17.4.非相对论薛定谔方程一建立薛定谔方程的限制条件1.动力学微分方程的解必须是线性的2.微分方程中的系数不应包含状态参量二非相对论的薛定谔方程1.一维自由粒子非相对论的薛定谔方程一维自由粒子非相对论的波函数为)(0),(pxEthietx对时间求一次导数EhieEhitxtpxEthi)(0)(),(对空间