2005~2006年皖南十校高二数学期末联考

2005~2006年皖南十校高二数学期末联考-人教版[原创]一、选择题（每题6分，共60分）1．已知点A为双曲线122yx的左顶点，点B和点C在双曲线的右支上，ABC是等边三角形，则ABC的面积是（）（A）33（B）233（C）33（D）362．平面上整点（纵、横坐标都是整数的点）到直线5435xy的距离中的最小值是（）（A）17034（B）8534（C）201（D）3013．若实数x,y满足(x+5)2+(y–12)2=142，则x2+y2的最小值为（）(A)2(B)1(C)3(D)24．直线134yx椭圆191622yx相交于A，B两点，该圆上点P，使得⊿PAB面积等于3，这样的点P共有（）(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个5．设a，b∈R，ab≠0，那么直线ax－y＋b＝0和曲线bx2＋ay2＝ab的图形是ABCD6．过抛物线y2＝8(x＋2)的焦点F作倾斜角为60o的直线，若此直线与抛物线交于A、B两点，弦AB的中垂线与x轴交于P点，则线段PF的长等于（）A．316B．38C．3316D．387．方程13cos2cos3sin2sin22yx表示的曲线是()A.焦点在x轴上的椭圆B.焦点在x轴上的双曲线C.焦点在y轴上的椭圆D.焦点在y轴上的双曲线8、教室内有一直尺，无论怎样放置，在地面总有直线与直尺所在直线()A、平行B、垂直C、相交D、异面yyyyxxxx9．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，EF是异面直线AC和A1D的公垂线，则EF和BD1关系是（）A．相交不垂直B．相交垂直C．异面直线D．互相平行10．有一正方提纸盒展开如图，在原正方体纸盒中有如下结论：①AB⊥EF②AB和CM成60°③EF和MN为异面直线④MN∥CD，其中正确序号是（）A．①②B．③④C．②③D．①③二、填空题（每题5分共20分）11．在椭圆)0(12222babyax中，记左焦点为F，右顶点为A，短轴上方的端点为B。若该椭圆的离心率是215，则ABF=。12．设F1，F2是椭圆14922yx的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|:|PF2|＝2:1，则三角形PF1F2的面积等于______________．13．若正方形ABCD的一条边在直线172xy上，另外两个顶点在抛物线2xy上.则该正方形面积的最小值为.14．对于四面体ABCD，给出下列四个命题：①若AB=AC，BD=CD则BC⊥AD；②若AB=CD，AC=BD则BC⊥AD；③若AB⊥AC，BD⊥CD则BC⊥AD；④若AB⊥CD，BD⊥AC则BC⊥AD；其中真命题序号是．C11FABDA1B1C1D1EABCDFMN三、解答题（15，16题各10分，17，18题各12分，19，20题各14分）15．求过原点且与直线x=1及圆(x-1)2+(y-2)2=1均相切的圆的方程。16．把椭圆12)1()1(22yx绕它的中心旋转90°，再沿x轴方向平行移动，使变换后的椭圆截直线xy22所得线段长为3，求变换后的椭圆方程。17．设曲线C1:1222yax(a为正常数)与C2:y2=2(x+m)在x轴上方公有一个公共点P。（1）实数m的取值范围（用a表示）；（2）O为原点，若C1与x轴的负半轴交于点A，当0a21时，试求⊿OAP的面积的最大值（用a表示）。18．如图，已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面边长为3，侧棱长为4，连结A1B，过A作AF⊥A1B垂足为F，且AF的延长线交B1B于E。（Ⅰ）求证：D1B⊥平面AEC；（Ⅱ）求三棱锥B—AEC的体积；（Ⅲ）求二面角B—AE—C的大小.19．在平面直角坐标系xoy中，给定三点4(0,),(1,0),(1,0)3ABC，点P到直线BC的距离是该点到直线AB，AC距离的等比中项。（Ⅰ）求点P的轨迹方程；（Ⅱ）若直线L经过ABC的内心（设为D），且与P点的轨迹恰好有3个公共点，求L的斜率k的取值范围。20．过抛物线2xy上的一点A（1,1）作抛物线的切线，分别交x轴于D，交y轴于B.点C在抛物线上，点E在线段AC上，满足1ECAE;点F在线段BC上，满足2FCBF，且121，线段CD与EF交于点P.当点C在抛物线上移动时，求点P的轨迹方程.2005~2006年皖南十校期末联考1.C2.B3.B4.B5.B6.A7.C8.B9.D.10.D11.90º12.设椭圆的长轴、短轴的长及焦矩分别为2a、2b、2c，则由其方程知a＝3，b＝2，c＝5，故，|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，又已知[PF1|：|PF2|＝2：1，故可得|PFl|＝4，|PF2|＝2．在△PFlF2中，三边之长分别为2，4，25，而22＋42＝(25)2，可见△PFlF2是直角三角形，且两直角边的长为2和4，故△PFlF2的面积＝4．13.解：设正方形的边AB在直线172xy上，而位于抛物线上的两个顶点坐标为),(11yxC、),(22yxD，则CD所在直线l的方程,2bxy将直线l的方程与抛物线方程联立，得.1122,12bxbxx令正方形边长为,a则).1(20)(5)()(2212212212bxxyyxxa①在172xy上任取一点（6，,5），它到直线bxy2的距离为5|17|,baa②.①、②联立解得,80.63,3221abb或.80.12802min2aa14.1,315．6425)21()83(22yx16.1)1(222yx或1)1(2)22(22yx17.解：(1)由)(212222mxyyax消去y得：0222222amaxax①设222222)(amaxaxxf，问题(1)化为方程①在x∈(－a，a)上有唯一解或等根．只需讨论以下三种情况：1°△＝0得：212am，此时xp＝－a2，当且仅当－a＜－a2＜a，即0＜a＜1时适合；2°f(a)f(－a)＜0，当且仅当－a＜m＜a；3°f(－a)＝0得m＝a，此时xp＝a－2a2，当且仅当－a＜a－2a2＜a，即0＜a＜1时适合．f(a)＝0得m＝－a，此时xp＝－a－2a2，由于－a－2a2＜－a，从而m≠－a．综上可知，当0＜a＜1时，212am或－a＜m≤a；当a≥1时，－a＜m＜a．(2)△OAP的面积payS21∵0＜a＜21，故－a＜m≤a时，0＜maaa2122＜a，由唯一性得maaaxp2122显然当m＝a时，xp取值最小．由于xp＞0，从而yp＝221axp取值最大，此时22aayp，∴2aaaS．当212am时，xp＝－a2，yp＝21a，此时2121aaS．下面比较2aaa与2121aa的大小：令22121aaaaa，得31a故当0＜a≤31时，2aaa≤2121aa，此时2121aaSmax．当2131a时，22121aaaaa，此时2aaaSmax．18.证（Ⅰ）∵ABCD—A1B1C1D1是正四棱柱，∴D1D⊥ABCD.连AC，又底面ABCD是正方形，∴AC⊥BD，由三垂线定理知D1B⊥AC.同理，D1B⊥AE，AE∩AC=A，∴D1B⊥平面AEC.解（Ⅱ）VB－AEC=VE－ABC.∵EB⊥平面ABC，∴EB的长为E点到平面ABC的距离.∵Rt△ABE~Rt△A1AB，∴EB=.4912AAAB∴VB－AEC=VE－ABC=31S△ABC·EB=31×21×3×3×49=.827（10分）解（Ⅲ）连CF，∵CB⊥平面A1B1BA，又BF⊥AE，由三垂线定理知，CF⊥AE.于是，∠BFC为二面角B—AE—C的平面角，在Rt△ABE中，BF=59AEBEBA，在Rt△CBF中，tg∠BFC=35，∴∠BFC=arctg35.即二面角B—AE—C的大小为arctg35.19.解：（Ⅰ）直线AB、AC、BC的方程依次为44(1),(1),033yxyxy。点(,)Pxy到AB、AC、BC的距离依次为12311|434|,|434|,||55dxydxydy。依设，2222123,|16(34)|25dddxyy得，即ABCA1B1C1M第3题图22222216(34)250,16(34)250xyyxyy或，化简得点P的轨迹方程为圆S：22222320171280xyyyy2与双曲线T:8x（Ⅱ）由前知，点P的轨迹包含两部分圆S：2222320xyy①与双曲线T：2171280yy28x②因为B（－1，0）和C（1，0）是适合题设条件的点，所以点B和点C在点P的轨迹上，且点P的轨迹曲线S与T的公共点只有B、C两点。ABC的内心D也是适合题设条件的点，由123ddd，解得1(0,)2D，且知它在圆S上。直线L经过D，且与点P的轨迹有3个公共点，所以，L的斜率存在，设L的方程为12ykx③（i）当k=0时，L与圆S相切，有唯一的公共点D；此时，直线12y平行于x轴，表明L与双曲线有不同于D的两个公共点，所以L恰好与点P的轨迹有3个公共点。......10分（ii）当0k时，L与圆S有两个不同的交点。这时，L与点P的轨迹恰有3个公共点只能有两种情况：情况1：直线L经过点B或点C，此时L的斜率12k，直线L的方程为(21)xy。代入方程②得(34)0yy，解得54(,)33E54或F(-,)33。表明直线BD与曲线T有2个交点B、E；直线CD与曲线T有2个交点C、F。故当12k时，L恰好与点P的轨迹有3个公共点。情况2：直线L不经过点B和C（即12k），因为L与S有两个不同的交点，所以L与双曲线T有且只有一个公共点。即方程组22817128012xyyykx有且只有一组实数解，消去y并化简得2225(817)504kxkx该方程有唯一实数解的充要条件是28170k④或2225(5)4(817)04kk⑤解方程④得23417k，解方程⑤得22k。综合得直线L的斜率k的取值范围是有限集12342{0,,,}2172。.20.解一：过抛物线上点A的切线斜率为：,2|21xxy切线AB的方程为DBxy、.12的坐标为DDB),0,21(),1,0(是线段AB的中点.设),(yxP、),(200xxC、),(11yxE、),(22yxF，则由1ECAE知，;11,11120111011xyxx,2FCBE得.11,1220222022xyxx∴EF所在直线方程为：,11111111111101202101120122021201xxxxxxxy化简得.1]3)[()]1()[(202020122012xxxxyx当210x时，直线CD的方程为：12202020xxxxy…②联立①、②解得020133xxxy，消去0x，得P点轨迹方程为：.)13(312xy当210x时，EF方程为：CDxy,4123)34141(23212方程为：21x，联立解得.121,21yx也在P点轨迹上.因C与A不能重合，∴.32,10xx∴所求轨迹方程为).32()13(312xxy解二：由解一知，AB的方程为),0,21(),1,0(,12DBxy故D是AB的中点.令,1,1,2211CFCBtCECAtCPCD则.321tt因为CD为ABC的中线，.22CBDCADCABSSS而,23,232)11(212212121212121