2006年湖南省望城五中高二数学竞赛试题

2006年湖南省望城五中高二数学竞赛试题姓名记分一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知A={x|x+1≥0}，B={y|y2－20}，全集I=R，则A∩CIB为（）A.{x|x≥2或x≤－2}B.{x|x≥－1或x≤2}C.{x|－1≤x≤2}D.{x|－2≤x≤－1}2.不等式log31(x－1)－1的解集为（）A.{x|x4}B.{x|x4}C.{x|1x4}D.{x|1x32}3.在以下关于向量的命题中，不正确的是（）A.若向量a=(x，y)，向量b=(－y，x)(x、y≠0)，则a⊥bB.四边形ABCD是菱形的充要条件是AB=DC，且|AB|=|AD|C.点G是△ABC的重心，则GA+GB+CG=0D.△ABC中，AB和CA的夹角等于180°－A4.已知等比数列{na}的前n项和12nnS，则2221aa…2na等于（）A．2)12(nB．)12(31nC．14nD．)14(31n5.已知数列{an}是各项均为正数的等比数列，公比q≠1，那么（）A.a32+a72a42+a62B.a32+a72a42+a62C.a32+a72=a42+a62D.大小不确定6.圆064422yxyx截直线x-y-5＝0所得弦长等于（）A．6B．225C．1D．57.函数y=f(x+1)与y=f(1－x)的图象关于()A.y轴对称B.原点对称C.直线x=1对称D.关于y轴对称且关于直线x=1对称8.某校有6间不同的电脑室，每天晚上至少开放2间，欲求不同安排方案的种数，现有四位同学分别给出下列四个结果：①26C；②665646362CCCC；③726；④26A．其中正确的结论是（）A．仅有①B．仅有②C．②和③D．仅有③9.将函数y＝2x的图像按向量a平移后得到函数y＝2x＋6的图像，给出以下四个命题：①a的坐标可以是（-3.0）；②a的坐标可以是（0，6）；③a的坐标可以是（-3，0）或（0，6）；④a的坐标可以有无数种情况，其中真命题的个数是（）A．1B．2C．3D．410.函数f(x)=)1|(|||)1|(|12xxxx，如果方程f(x)=a有且只有一个实根，那么a满足()A.a0B.0≤a1C.a=1D.a1二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)11.北京市某中学要把9台型号相同的电脑送给西部地区的三所希望学校，每所小学至少得到2台，不同送法的种数共有__________种.12.已知f(x)=|log3x|，当0a2时，有f(a)f(2)，则a的取值范围是__________.13.已知无穷等比数列首项为2，公比为负数，各项和为S，则S的取值范围为__________.14.设有四个条件：①平面γ与平面α、β所成的锐二面角相等；②直线a∥b，a⊥平面α，b⊥平面β；③a、b是异面直线，aα，bβ，且a∥β，b∥α；④平面α内距离为d的两条直线在平面β内的射影仍为两条距离为d的平行线.其中能推出α∥β的条件有__________.(填写所有正确条件的代号)三、解答题(本大题共5小题，共50分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分10分)△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边.已知tanA+tanB+3=tanA·tanB·3，(1)求∠C的大小；(2)若c=27，△ABC的面积S△ABC=233，求a+b的值.16.(本小题满分10分)已知a，b都是非零向量，且a+3b与7a－5b垂直，a－4b与7a－2b垂直，求a与b的夹角.17.(本小题满分10分)已知曲线C：x2－y2=1及直线L：y=kx－1.(1)若L与C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；(2)若L与C交于A、B两点，O是坐标原点，且△OAB的面积为2，求实数k的值.18.(本小题满分10分)如图，已知三棱锥P—ABC中，PA⊥平面ABC，PA=3，AC=4，PB=PC=BC.(1)求三棱锥P—ABC的体积V；(2)作出点A到平面PBC的垂线段AE，并求AE的长；(3)求二面角A—PC—B的大小.19.(本小题满分15分)函数f(x)=loga(x－3a)(a0且a≠1)，当点P(x，y)是函数y=f(x)图象上的点时，Q(x－2a，－y)是函数y=g(x)图象上的点.(1)写出函数y=g(x)的解析式；(2)当x∈［a+2，a+3］时，恒有|f(x)－g(x)|≤1，试确定a的取值范围.PCBA参考答案一、选择题:1.解析：由已知得A={x|x≥－1}，B={y|y＞2或y＜－2}，CIB={y|－2≤y≤2}，则A∩CIB={x|－1≤x≤2}，选C.答案：C2.解析：由已知得.31,01xx得1＜x＜4，选C.答案：C3.解析：若点G是△ABC的重心，则有GA+GB+GC=0，而C的结论是GA+GB+CG=0，显然是不成立的，选C.答案：C4.：D5.解析：取特殊数列验证：根据题意取数列1，2，4，8，16，32，64(q＞1)，易证a32+a72a42+a62；取数列64，32，16，8，4，2，1(0＜q＜1＝，易证a32+a72a42+a62，故选A.答案：A6.A7.解析：根据对称关系验证D正确，选D.答案：D8..C9.答案：D10.解析：由图知a=1时，图象只有一个交点，故选C.答案：C二、填空题:11.解析：分为三种情况：①每所学校得3台电脑；②有两所学校各得2台电脑，一所学校得5台电脑；③有一所学校得2台电脑，一所学校得3台电脑，一所学校得4台电脑.答案：1012.解析：由f(a)＞f(2)，得|log3a|＞log32.log3a＞log32或log3a＜－log32=log321，得a＞2或0＜a＜21，又0＜a＜2，∴0＜a＜21.答案：0＜a＜2113.解析：由已知S=q12，得q=SS2.又－1＜q＜0得－1＜SS2＜0.解之得1＜S＜2.答案：1＜S＜214.解析：答案：②③三、解答题:15.解：(1)tanC=－tan(A+B)=－BABAtantan1tantan=－BABAtantan1)1tan(tan3=3.∵0°＜C＜180°，∴C=60°.(2)由c=27及余弦定理，得a2+b2－2abcos60°=(27)2.又由S△ABC=21absin60°=233，整理得.6,44922ababba∴(a+b)2=4121，即a+b=21116.解：∵a+3b与7a－5b垂直，a－4b与7a－2b垂直，∴(a+3b)·(7a－5b)=0，(a－4b)·(7a－2b)=0.即.0||830||7,0||1516||72222bbaabbaa两式相减：a·b=21|b|2，代入①得|a|2=|b|2.∴cosα=||||baba=21.∴α=60°，即a与b的夹角为60°.17.解：(1)曲线C与直线L有两个不同交点，则方程组1122kxyyx有两个不同的解.代入整理得：(1－k2)x2+2kx－2=0.此方程必有两个不等的实根x1，x2，∴.0)1(84,01222kkk解得－2＜k＜2且k≠±1时，曲线C与直线L有两个不同的交点.(2)设交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线L与y轴交于点D(0，－1)，∴.12,12221221kxxkkxx∵S△OAB=S△OAD+S△OBD=21|x1|+21|x2|=21(|x1|+|x2|)(∵x1x2＜0)=21|x1－x2|=2，∴(x1－x2)2=(22)2，即(212kk)2+218k=8.解得k=0或k=±26.∵－2＜k＜2，∴k=0或k=±26时，△OAB面积为2.18.解：(1)∵PA⊥平面ABC，PB=PC，由射影定理得，AB=AC=4.∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AC.在Rt△PAC中，可求出PC=5，则PB=BC=5.取BC中点D，连AD.在等腰△ABC中，求出底边上的高AD=239.∴V=31·21·5·239·3=4395.(2)连PD，则PD⊥BC，又AD⊥BC，∴BC⊥平面PAD.又BC平面PBC，∴平面PAD⊥平面PBC.作AE⊥PD于E，则AE⊥平面PBC，AE为点A到平面PBC的垂线段.在Rt△PAD中，由PA·AD=AE·PD，即3·239=AE·235，求出AE=5133.①②EDFPCBA(3)作AF⊥PC于F，连EF，由三垂线逆定理，得EF⊥PC.∠AFE为二面角A—PC—B的平面角.在Rt△PAC中，由PA·AC=PC·AF，即3·4=5·AF，求出AF=512，∴sinAFE=AFAE=5133·125=413.即二面角A—PC—B为arcsin413.19.解：(1)设P(x0，y0)是y=f(x)图象上的点，Q(x，y)是y=g(x)图象上的点，则.,200yyaxx∴.,200yyaxx∴－y=loga(x+2a－3a).∴y=logaax1(x＞a)，即y=g(x)=logaax1(x＞a).(2)∵.0,03axax∴x＞3a.∵f(x)与g(x)在［a+2，a+3］上有意义，∴3a＜a+2.∴0＜a＜1.∵|f(x)－g(x)|≤1恒成立，∴|loga(x－3a)(x－a)|≤1恒成立.∴.10,1])2[(log122aaaxaa≤(x－2a)2－a2≤a1.对x∈［a+2，a+3］时恒成立，令h(x)=(x－2a)2－a2，其对称轴x=2a，2a＜2，2＜a+2，∴当x∈［a+2，a+3］时，h(x)min=h(a+2)，h(x)max=h(a+3).∴.691,44)(1,)(.maxminaaaaxhaxha0＜a≤12579.