I01--2005年普通高等学校招生全国统一考试数学及答案(上海卷.文)

2005年全国高等学校招生统一考试数学（上海·文）试题考生注意：1．答卷前，考生务必将姓名、高考准考证号、校验码等填写清楚．2．本试卷共有22道试题，满分150分．考试时间120分钟．请考生用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上．一．填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．函数f(x)=log4(x+1)的反函数f1(x)=．2．方程4x+2x-2=0的解是．3．若x,y满足条件x+y≤3y≤2x,则z=3x+4y的最大值是．4．直角坐标平面xoy中，若定点A(1,2)与动点P(x,y)满足OAOP=4。则点P的轨迹方程是．5．函数y=cos2x+sinxcosx的最小正周期T=．6．若cosα=71,α∈(0.2),则cos(α+3)=．7．若椭圆长轴长与短轴长之比为2，它的一个焦点是(215,0),则椭圆的标准方程是．8．某班有50名学生，其中15人选修A课程，另外35人选修B课程．从班级中任选两名学生,他们是选修不同课程的学生的慨率是．(结果用分数表示)9．直线y=21x关于直线x＝1对称的直线方程是．10．在△ABC中，若∠A＝120°，AB=5，BC＝7，则AC＝．11．函数f(x)=sinx+2xsin,x∈[0,2π]的图象与直线y=k有且仅有两个不同的交点,则k的取值范围是．12．有两个相同的直三棱柱,高为a2,底面三角形的三边长分别为3a、4a、5a(a0).用它们拼成一个三棱柱或四棱柱,在所有可能的情况中,全面积最小的是一个四棱柱,则a的取值范围是．二．选择题(本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论,其中有且只有一个结论是正确的,必须把正确结论的代号写在题后的圆括内,选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个(不论是否都写在圆括内),一律得零分．13．若函数f(x)=121X,则该函数在(-∞,+∞)上是[答]()(A)单调递减无最小值(B)单调递减有最小值(C)单调递增无最大值(D)单调递增有最大值14．已知集合M={x│1x≤,x∈R},P={x│15x≥1,x∈Z},则M∩P等于[答]()(A){x│0x≤3,x∈Z}(B){x│0≤x≤3,x∈Z}(C){x│-1≤x≤0,x∈Z}(D){x│-1≤x0,x∈Z}15．条件甲:“a1”是条件乙:“aa”的[答]()(A)既不充分也不必要条件(B)充要条件(C)充分不必要条件(D)必要不充分条件16．用n个不同的实数a1,a2,┄an可得n!个不同的排列,每个排列为一行写成123一个n!行的数阵.对第i行ai1,ai2,┄ain,记bi=-ai1+2ai2-3ai3+┄+(-1)nnain,132i=1,2,3,┄,n!.用1,2,3可你数阵如右,由于此数阵中每一列各数之和都213是12,所以,b1+b2+┄+b6=-12+212-312=-24.那么,在用1,2,3,4,5形成231的数阵中,b1+b2+┄+b120等于312321[答]()(A)-3600(B)1800(C)-1080(D)-720三．解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要步骤.17．（本题满分12分）已知长方体ABCD-A1B1C1D1中,M、N分别是BB1和BC的中点,AB=4,AD=2.B1D与平面ABCD所成角的大小为60°,求异面直线B1D与MN所成角的大小.(结果用反三角函数值表示)[解]18．（本题满分12分）在复数范围内解方程iiizzz23)(2(i为虚数单位)[解]19．（本题满分14分）本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.已知函数f(x)=kx+b的图象与x、y轴分别相交于点A、B,jiAB22(i、j分别是与x、y轴正半轴同方向的单位向量),函数g(x)=x2-x-6.(1)求k、b的值;(2)当x满足f(x)g(x)时,求函数)(1)(xfxg的最小值.[解]20．(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.假设某市2004年新建住房400万平方米,其中有250万平方米是中低价房.预计在今后的若干年内,该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外,每年新建住房中,中低价房的面积均比上一年增加50万平方米.那么,到哪一年底,(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2004年为累计的第一年)将首次不少于4750万平方米?(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%?[解]21．(本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分.已知抛物线y2=2px(p0)的焦点为F,A是抛物线上横坐标为4、且位于x轴上方的点,A到抛物线准线的距离等于5,过A作AB垂直于y轴,垂足为B,OB的中点为M.(1)求抛物线方程;(2)过M作MN⊥FA,垂足为N,求点N的坐标;(3)以M为圆心,MB为半径作圆M.当K(m,0)是x轴上一动点时,丫讨论直线AK与圆M的位置关系.[解]22．(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分8分,第3小题满分6分.对定义域分别是Df、Dg的函数y=f(x)、y=g(x),f(x)·g(x)当x∈Df且x∈Dg规定:函数h(x)=f(x)当x∈Df且xDgg(x)当xDf且x∈Dg(1)若函数f(x)=-2x+3,x≥1;g(x)=x-2,x∈R,写出函数h(x)的解析式;(2)求问题(1)中函数h(x)的最大值;(3)若g(x)=f(x+α),其中α是常数,且α∈[0,π],请设计一个定义域为R的函数y=f(x),及一个α的值,使得h(x)=cos2x,并予以证明.[解]上海数学(文史类)参考答案一.1.4x-12.x=03.114.x+2y-4=05.π6.-14117.1208022yx8.739.x+2y-2=010.311.1k312.0a315二.13.A14.B15.B16.C三.17.[解]联结B1C,由M、N分别是BB1和BC的中点,得B1C∥MN,∴∠DB1C就是异面直线B1D与MN所成的角.联结BD,在Rt△ABD中,可得BD=25,又BB1⊥平面ABCD,∠B1DB是B1D与平面ABCD所成的角,∴∠B1DB=60°.在Rt△B1BD中,B1B=BDtan60°=215,又DC⊥平面BB1C1C,∴DC⊥B1C,在Rt△DB1C中,tan∠DB1C=212121BBBCDCCBDC,∴∠DB1C=arctan21.即异面直线B1D与MN所成角的大小为arctan21.18.[解]原方程化简为iizzz1)(2,设z=x+yi(x、y∈R),代入上述方程得x2+y2+2xi=1-i,∴x2+y2=1且2x=-1,解得x=-21且y=±23,∴原方程的解是z=-21±23i.19.[解](1)由已知得A(kb,0),B(0,b),则AB={kb,b},于是kb=2,b=2.∴k=1,b=2.(2)由f(x)g(x),得x+2x2-x-6,即(x+2)(x-4)0,得-2x4,)(1)(xfxg=252xxx=x+2+21x-5由于x+20,则)(1)(xfxg≥-3,其中等号当且仅当x+2=1,即x=-1时成立∴)(1)(xfxg的最小值是-3.20.[解](1)设中低价房面积形成数列{an},由题意可知{an}是等差数列,其中a1=250,d=50,则Sn=250n+502)1(nn=25n2+225n,令25n2+225n≥4750,即n2+9n-190≥0,而n是正整数,∴n≥10.到2013年底,该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米.(2)设新建住房面积形成数列{bn},由题意可知{bn}是等比数列,其中b1=400,q=1.08,则bn=400·(1.08)n-1·0.85.由题意可知an0.85bn,有250+(n-1)·50400·(1.08)n-1·0.85.由计箅器解得满足上述不等式的最小正整数n=6.到2009年底,当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.21.[解](1)抛物线y2=2px的准线为x=-2p,于是4+2p=5,∴p=2.∴抛物线方程为y2=4x.(2)∵点A是坐标是(4,4),由题意得B(0,4),M(0,2),又∵F(1,0),∴kFA=34;MN⊥FA,∴kMN=-43,则FA的方程为y=34(x-1),MN的方程为y-2=-43x,解方程组得x=58,y=54,∴N的坐标(58,54).(4)由题意得,,圆M.的圆心是点(0,2),半径为2,当m=4时,直线AK的方程为x=4,此时,直线AK与圆M相离.当m≠4时,直线AK的方程为y=m44(x-m),即为4x-(4-m)y-4m=0,圆心M(0,2)到直线AK的距离d=2)4(1682mm,令d2,解得m1∴当m1时,AK与圆M相离;当m=1时,AK与圆M相切;当m1时,AK与圆M相交.22.[解](1)h(x)=(-2x+3)(x-2)x∈[1,+∞)x-2x∈(-∞,1)(2)当x≥1时,h(x)=(-2x+3)(x-2)=-2x2+7x-6=-2(x-47)2+81∴h(x)≤81;当x1时,h(x)-1,∴当x=47时,h(x)取得最大值是81(3)令f(x)=sinx+cosx,α=2则g(x)=f(x+α)=sin(x+2)+cos(x+2)=cosx-sinx,于是h(x)=f(x)·f(x+α)=(sinx+cosx)(cosx-sinx)=cos2x.另解令f(x)=1+2sinx,α=π,g(x)=f(x+α)=1+2sin(x+π)=1-2sinx,于是h(x)=f(x)·f(x+α)=(1+2sinx)(1-2sinx)=cos2x.