高考第一轮复习数学平面向量(附答案)

素质能力检测（五）一、选择题（每小题5分，共60分）1.点M（4，－3）关于点N（5，－6）的对称点是A.（4，3）B.（29，0）C.（－21，3）D.（6，－9）解析：设M关于N的对称点为M（x，y），MN=MN，把坐标代入即可.答案：D2.有三个命题：①向量AB与CD是共线向量，则A、B、C、D必在同一直线上；②向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；③四边形ABCD是平行四边形的充要条件是AB=DC.其中正确的是A.②B.③C.①③D.②③解析：①AB与CD共线，AB与CD也可以平行.②中a与b也可能为0.选B.答案：B3.已知A（1，2），B（4，2），则向量AB按向量a=（－1，3）平移后得到的向量坐标是A.（3，0）B.（3，5）C.（－4，3）D.（2，3）解析：AB=（3，0），向量AB按任何方向平移后坐标不变.答案：A4.已知|a|=4，|b|=8且a与2b－a互相垂直，则向量a与b的夹角是A.arccos41B.π－arccos41C.3πD.6π解析：由a⊥（2b－a）得a·（2b－a）=0，∴2|a||b|cosθ－|a|2=0.∴cosθ=41.又0≤θ≤π，∴θ=arccos41.答案：A5.△ABC中，已知b=10，c=15，C=30°，则此三角形的解的情况是A.一解B.两解C.无解D.无法确定解析：由b＜c得B＜C，B必为小于30°的锐角.答案：A6.下列命题：①k∈R，且kb=0，则k=0或b=0；②若a·b=0，则a=0或b=0；③若不平行的两个非零向量a、b，满足|a|=|b|，则（a+b）·（a－b）=0；④若a与b平行，则|a·b|=|a||b|；⑤a∥b，b∥c，则a∥c.其中真命题的个数是A.1B.2C.3D.4解析：①正确；②错误，若a⊥b，则a·b=0；③正确，因为（a+b）·（a－b）=|a|2－|b|2=0；④正确，可设a=λb，则a·b=λb·b=λ|b|2；⑤错误，若b=0，则对任意a与c，均有a∥b，b∥c成立.答案：C7.已知点P（cosα，sinα），Q（cosβ，sinβ），则|PQ|的最大值是A.2B.2C.4D.不存在解析：|PQ|2=（cosβ－cosα）2+（sinβ－sinα）2=2－2（cosαcosβ+sinαsinβ）=2－2cos（α－β），故当cos（α－β）=－1时，|PQ|取最大值2.答案：B8.在△ABC中，a2+b2－c2=ab，则角C为A.60°B.45°或135°C.120°D.30°解析：cosC=abcba2222=21，C=60°.答案：A9.点P1，P2，…，Pn是线段AB的n个n+1等分点，P∈{P1，P2，…，Pn}，则P分有向线段AB的比λ的最大值和最小值分别是A.n+1，21nB.n+1，11nC.n，n1D.n－1，11n解析：由AP=λPB知λ取得最大值时P为距点B最近的点Pn，取最小值时为P1.答案：C10.若a与b的夹角为60°，|b|=2，（a+b）·（a－2b）=－2，则向量a的模是A.2B.5C.3D.6解析：由题意知a2－a·b－2b2=－2，|b|=2，cos60°=21，代入得|a|2－|a|－6=0.∴|a|=3或|a|=－2（舍去）.答案：C11.命题p：|a|=|b|且a∥b；命题q：a=b，则p是q的A.充分不必要条件B.必要不充分要件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件解析：当a∥b且a与b方向相反时，即使|a|=|b|，也不能得到a=b，故|a|=|b|且a∥b不是a=b的充分条件，而是必要不充分条件.答案：B12.在平面直角坐标系中，O为原点，OA=a，OB=b，对任意一点M，它关于A的对称点为S，S关于点B的对称点为N，则MN用a、b表示为A.2（b－a）B.21（a－b）C.a+bD.21（a+b）解析：MN=MS+SN=2AS+2SB=2OB－2OA.（四边形OASB是平行四边形）答案：A二、填空题（每小题4分，共16分）13.OA=3e1，OB=3e2，且AP=21PB，则OP=____________.解析：AB=3e2－3e1，AP=31AB=e2－e1，OP=OA+AP=2e1+e2.答案：2e1+e214.已知向量a=（1，2），b=（－2，1），若正数k和t满足x=a+（t2+1）b与y=－ka+t1b垂直，则k的最小值是____________.解析：x=（1－2－2t2，1+2+t2），y=（－k－t2，－2k+t1），由x⊥y得x·y=0.又t＞0，∴k=t+t1≥2.∴当t=1时，k的最小值为2.答案：215.在△ABC中，记BC=a，AC=b，AB=c，若9a2+9b2－19c2=0，则BACcotcotcot=____________.解析：BACcotcotcot=BBAACCsincossincossincos=CCBA2sincossinsin=abcbacab22222=22222ccba=222218999ccba=22218919ccc=95.答案：9516.已知直线l1过点（0，t），方向向量为（1，1），直线l2过点（t，1），方向向量为（1，－2），P为l1、l2的交点，当t变化时，P的轨迹方程为____________.解析：l1方程为x－y+t=0，l2方程为2x+y－1－2t=0，两式消去t即得P的轨迹方程.答案：4x－y－1=0三、解答题（本大题共6小题，共74分）17.（12分）已知向量a=（3，－4），求：（1）与a平行的单位向量b；（2）与a垂直的单位向量c；（3）将a绕原点逆时针方向旋转45°得到的向量e的坐标.解：（1）设b=λa，则|b|=1，b=（53，－54）或b=（－53，54）.（2）由a⊥c，a=（3，－4），可设c=λ（4，3），求得c=（54，53）或c=（－54，－53）.（3）设e=（x，y），则x2+y2=25.又a·e=3x－4y=|a||e|cos45°，即3x－4y=2225，由上面关系求得e=（227，－22），或e=（－22，－227），而向量e由a绕原点逆时针方向旋转45°得到，故e=（227，－22）.18.（12分）向量a=（1，cos2θ），b=（2，1），c=（4sinθ，1），d=（21sinθ，1），其中θ∈（0，4π）.（1）求a·b－c·d的取值范围；（2）若函数f（x）=|x－1|，判断f（a·b）与f（c·d）的大小，并说明理由.解：（1）a·b=2+cos2θ，c·d=2sin2θ+1=2－cos2θ.∵a·b－c·d=2cos2θ，∴0＜θ＜4π.∴0＜2θ＜2π.∴0＜cos2θ＜1.∴0＜2cos2θ＜2.∴a·b－c·d的取值范围是（0，2）.（2）f（a·b）=|2+cos2θ－1|=|1+cos2θ|=2cos2θ，f（c·d）=|2－cos2θ－1|=|1－cos2θ|=2sin2θ.于是有f（a·b）－f（c·d）=2（cos2θ－sin2θ）=2cos2θ.∵0＜θ＜4π，∴0＜2θ＜2π.∴2cos2θ＞0.∴f（a·b）＞f（c·d）.19.（12分）△ABC的三个内角A、B、C满足下列条件：①A＜B＜C；②A、B、C成等差数列；③tanA·tanC=2+3.（1）求A、B、C的大小；（2）若AB边上的高为43，求a、b、c的大小.解：（1）由题意知B=60°，A+C=120°，tan（A+C）=CACAtantan1tantan=－tanB=－3，∴tanA+tanC=3+3.故32tan1tanCA，或1tan32tanCA，（舍），故A=45°，B=60°，C=75°.（2）过C作CD⊥AB于点D，则CD＝43，在Rt△ACD和Rt△ABC中，由正弦定理得a=BCDsin=8，b=ACDsin=46，c=AD+DB=43+4.20.（12分）已知a=（cosθ，sinθ），b=（cosβ，sinβ），a与b之间有关系式|ka+b|=3|a－kb|（k＞0）.（1）用k表示a·b；（2）求a·b的最小值，并求此时a与b夹角的大小.解：（1）将|ka+b|=3|a－kb|两边平方得a·b=kkk81332222ba）（）（=kk412.（2）∵（k－1）2≥0，又k＞0，∴kk412≥kk42=21，即a·b≥21，cosα=21.又0°≤α≤180°，故a与b的夹角为60°.21.（12分）已知矩形ABCD，E、F分别是AD、BC的中点，求证：对角线AC⊥BE，AC⊥DF的充要条件是AB∶BC=1∶2.证明：设BA=a，BC=b，则a⊥b.AE=21b，AC=b－a，BE=BA+AE=a+21b.（1）必要性：∵AC⊥BE，∴（b－a）·（a+21b）=0，即a·b+21b2－a2－21a·b=0.∵a⊥b，∴a·b=0.∴21b2－a2=0，即21b2=a2，得b2=2a2，|b|=2|a|.∴AB∶BC=1∶2.（2）充分性：∵AC·BE=（b－a）·（a－21b）=a·b+21b2－a2－21a·b，又∵a⊥b，∴a·b=0.∴AC·BE=21b2－a2=21|b|2－|a|2.∵AB∶BC=1∶2，∴|a|∶|b|=1∶2.∴|a|2=21|b|2.∴AC·BE=0.故AC⊥BE.同理可证AC·DF=0，则AC⊥DF.综合（1）（2）知AC⊥BE，AC⊥DF的充要条件是AB∶BC=1∶2.22.（14分）设坐标平面上全部向量的集合为V，a=（a1，a2）为V的一个单位向量.已知从V到V的映射f由f（x）=－x+2（x·a）a（x∈V）确定.（1）若x、y∈V，求证：f（x）·f（y）=x·y；（2）对于x∈V，计算f［f（x）］－x；（3）设u=（1，0），v=（0，1），若f（u）=v，求a.（1）证明：f（x）·f（y）=［－x+2（x·a）a］·［－y+2（y·a）a］=x·y－4（x·a）（y·a）+4（x·a）（y·a）a2=x·y.（2）解：∵f［f（x）］=f［－x+2（x·a）a］=－［－x+2（x·a）a］+2{［－x+2（x·a）a］·a}a=x－2（x·a）a+2［－x·a+2（x·a）a2］a=x－2（x·a）a+2（x·a）a=x，∴f［f（x）］－x=0.（3）解：由f（u）=v，得.120122121aaa，解得222221aa，或.222221aa，∴a=（22，22）或a=（－22，－22）.