高考全国普通高等学校招生统一考试数学试卷2

高考全国普通高等学校招生统一考试数学试卷2一、填空题：1、已知集合12,3,1mA，集合2,3mB。若AB，则实数m1。2、已知圆04422yxx的圆心是点P，则点P到直线01yx的距离是22。3、若函数1,0aaaxfx且的反函数的图象过点1,2，则a21。4、计算：1lim33nCnn61。5、若复数z同时满足izz2，izz（i为虚数单位），则zi1。6、如果51cos，且是第四象限的角，那么2cos562。7、已知椭圆中心在原点，一个焦点为0,32F，且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是141622yx8、在极坐标系中，O是极点。设点3,4A，65,5B，则OAB的面积是5。9、两部不同的长篇小说各由第一、二、三、四卷组成，每卷1本，共8本。将它们任意地排成一排，左边4本恰好都属于同一部小说的概率是351（结果用分数表示）。10、如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”。在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是36。11、若曲线12xy与直线bkxy没有公共点，则k、b分别应满足的条件是11,0bk。12、三个同学对问题“关于x的不等式axxxx232525在12,1上恒成立，求实数a的取值范围”提出各自的解题思路。甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”。乙说：“把不等式变形为左边含变量x的函数，右边仅含常数，求函数的最值”。丙说：“把不等式两边看成关于x的函数，作出函数图象”。参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即a的取值范围是10,。二、选择题：13、如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是（C）（A）DCAB（B）ACABAD（C）BDADAB（D）0CBAD14、若空间中有四个点，则“这四个点中有三点在同一条直线上”是“这四个点在同一个平面上”的（A）（A）充分非必要条件（B）必要非充分条件（C）充分必要条件（D）既非充分又非必要条件15、若关于x的不等式4142kxk的解集是M，则对任意实常数k，总有（A）（A）MM0,2（B）MM0,2（C）MM0,2（D）MM0,216、如图，平面中两条直线1l和2l相交于点O。对于平面上任意一点M，若p、q分别是M到直线1l和2l的距离，则称有序非负实数对qp,是点M的“距离坐标”。已知常数0,0qp，给出下列三个命题：①若0qp，则“距离坐标”为0,0的点有且仅有1个。②若0pq，且0qp，则“距离坐标”为qp,的点有且仅有2个。③若0pq，则“距离坐标”为qp,的点有且仅有4个。上述命题中，正确命题的个数是（D）（A）0（B）1（C）2（D）3三、解答题：17、求函数xxxy2sin34cos4cos2的值域和最小正周期。解：62sin22sin32cosxxxy，2,2y，T。18、如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30，相距10海里C处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援（角度精确到1）？解：710120cos10202100400BC721sin120sin710sin20ACBACB41ACB∴乙船应朝北偏东约714130的方向沿直线前往B处救援。19、在四棱锥ABCDP中，底面是边长为2的菱形，60DAB，对角线AC与BD相交于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成的角为60．（1）求四棱锥ABCDP的体积；（2）若E是PB的中点，求异面直线DE与PA所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．解：（1）底面是边长为2的菱形，60DAB2BDPO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成的角为603PO，∴23)4432(31ABCDPV。（2）建系如图，23,0,21,0,0,1,3,0,0,0,3,0EDPA，3,3,0,23,0,23PADE，6,3PADE，422323,cosPADE，∴异面直线DE与PA所成角的大小为42arccos。20、在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线xy22相交于A、B两点。（1）求证：“如果直线l过点0,3T，那么OAOB＝3”是真命题；（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由。解：（1）如果直线lx轴，则3696,3,6,3OBOABA如果直线l与x轴不垂直，设直线l的方程为3xky，92609263221221222xxkxxxkxxkyxy∴OAOB2121233xxkxx22222212121399918693kxxkxxkkkk综上，得“如果直线l过点0,3T，那么OAOB＝3”是真命题。（2）（1）中命题的逆命题：在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线2y＝2x相交于A、B两点。如果OAOB＝3，那么直线l必过点0,3T。∵设直线l与x轴的交点坐标为0,t，则直线方程为0mytx，把它代入xy22得22121212122,2022tmytmytxxtyymyytmyy由133222121ttttyyxxOBOA或，即直线l必过点0,10,3TT或。∴（1）中命题的逆命题是假命题。21．已知有穷数列{na}共有2k项（整数k≥2），首项1a＝2．设该数列的前n项和为nS，且1na＝nSa)1(＋2（n＝1，2，┅，2k－1），其中常数a＞1．（1）求证：数列{na}是等比数列；（2）若a＝2122k，数列{nb}满足nb＝)(log1212naaan（n＝1，2，┅，2k），求数列{nb}的通项公式；（3）若（2）中的数列{nb}满足不等式|1b－23|＋|2b－23|＋┅＋|12kb－23|＋|kb2－23|≤4，求k的值．解：（1）211nnSaa，则211nnSaa，两式相减，得aaann1，（又aaa2,221）∴数列{na}是首项为2、公比为a的等比数列。（2）nb＝1211log2112log1)(log12212212knananaaannnnn，（n＝1，2，┅，2k）。（3）由（2）知，数列{nb}是首项为1、公差为121k的等差数列。又1221223kknbn，∴1kn时，23nb；kn时，23nb。∴|1b－23|＋|2b－23|＋┅＋|12kb－23|＋|kb2－23|kkkkbbbbbb222117,6,5,4,3,2,2324,3240484122kZkkkkkkkk。22．已知函数y＝x＋xa有如下性质：如果常数a＞0，那么该函数在(0，a]上是减函数，在[a，＋∞)上是增函数．（1）如果函数y＝x＋xb2（x＞0）的值域为[6，＋∞)，求b的值；（2）研究函数y＝2x＋2xc（常数c＞0）在定义域内的单调性，并说明理由；（3）对函数y＝x＋xa和y＝2x＋2xa（常数a＞0）作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例．研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数)(xF＝nxx)1(2＋nxx)1(2（n是正整数）在区间[21，2]上的最大值和最小值（可利用你的研究结论）．解：（1）易知，bx2时，3log29log62222minbyb。（2）y＝2x＋2xc是偶函数。易知，该函数在4,0c上是减函数，在,4c上是增函数；则该函数在4,c上是减函数，在0,4c上是增函数。（3）推广：函数0axaxynn，当n为奇数时，nax2,0，y是减函数；,2nax，y是增函数。nax2,，y是增函数；0,2na，y是减函数。当n为偶数时，nax2,0，y是减函数；,2nax，y是增函数。nax2,，y是减函数；0,2na，y是增函数。)(xF＝nxx)1(2＋nxx)1(2nnnnnnnnnnnnnxxCxxCxxCxxC11116262232321220当11,,1,1323222xxxxxxxnnnnnn时，1min2ny。∴1,21x，y是减函数；2,1x，y是增函数。∵nnnnff223122949221∴函数)(xF＝nxx)1(2＋nxx)1(2在区间[21，2]上的最大值为nn22312，最小值为12n。