高考数学普通高等学校招生全国统一考试98

高考数学普通高等学校招生全国统一考试98数学试卷(理工农医类)注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题纸上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷上无效。3.考试结束后，监考人员将本试题卷和答题卡一并收回。一、选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.函数2log2xy的定义域是A．),3(B．),3[C．),4(D．),4[2.若数列}{na满足:311a,且对任意正整数nm,都有nmnmaaa,则)(lim21nnaaaA．21B．32C．23D．23.过平行六面体1111DCBAABCD任意两条棱的中点作直线,其中与平面11DDBB平行的直线共有A．4条B．6条C．8条D．12条4.“1a”是“函数||)(axxf在区间),1[上为增函数”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5.已知,0||2||ba且关于x的方程0||2baxax有实根,则a与b的夹角的取值范围是A．]6,0[B．],3[C．]32,3[D．],6[6.某外商计划在4个候选城市投资3个不同的项目,且在同一个城市投资的项目不超过2个,则该外商不同的投资方案有A．16种B．36种C．42种D．60种7.过双曲线1:222byxM的左顶点A作斜率为1的直线l,若l与双曲线M的两条渐近线分别相交于点CB,,且||||BCAB,则双曲线M的离心率是A．10B．5C．310D．258.设函数1)(xaxxf,集合}0)(|{},0)(|{xfxPxfxM,若PM,则实数a的取值范围是A．)1,(B．)1,0(C．),1(D．),1[9.棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上,若过该球球心的一个截面如图1,则图中三角形(正四面体的截面)的面积是图1A．22B．23C．2D．310.若圆0104422yxyx上至少有三个不同的点到直线0:byaxl的距离为22,则直线l的倾斜角的取值范围是A．]412[，B．]12512[，C．]36[，D．]20[，注意事项：请用0.5毫米黑色的签字笔直接答在答题卡上。答在试题卷上无效。二、填空题：本大题共5小题，每小题4分(第15小题每空2分)，共20分.把答案填在答题卡中对应题号后的横线上。11.若5)1ax（的展开式中3x的系数是80,则实数a的值是__________.12.已知022011yxyxx则22yx的最小值是_____________.13.曲线xy1和2xy在它们的交点处的两条切线与x轴所围成的三角形的面积是___________.14.若)0)(4sin()4sin()(abxbxaxf是偶函数,则有序实数对),(ba可以是__________.(注:写出你认为正确的一组数字即可)15.如图2,ABOM//,点P在由射线OM,线段OB及AB的延长线围成的区域内(不含边界)运动,且OByOAxOP,则x的取值范围是__________;当21x时,y的取值范围是__________.图2OABPM三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.（本小题满分12分）如图3,D是直角ABC斜边BC上一点,ABCCADADAB,,记.(Ⅰ)证明:02cossin;(Ⅱ)若DCAC3,求的值.图3CDBA17.（本小题满分12分）某安全生产监督部门对5家小型煤矿进行安全检查(简称安检),若安检不合格,则必须整改.若整改后经复查仍不合格,则强制关闭.设每家煤矿安检是否合格是相互独立的,且每家煤矿整改前合格的概率是5.0,整改后安检合格的概率是8.0,计算(结果精确到01.0);(Ⅰ)恰好有两家煤矿必须整改的概率;(Ⅱ)平均有多少家煤矿必须整改;(Ⅲ)至少关闭一家煤矿的概率.18.（本小题满分14分）如图4,已知两个正四棱锥ABCDQABCDP与的高分别为1和2,4AB(Ⅰ)证明:ABCDPQ平面;(Ⅱ)求异面直线PQAQ与所成的角;(Ⅲ)求点P到平面QAD的距离.D图4CBAQP19．（本小题满分14分）已知函数xxxfsin)(,数列}{na满足:101a,,3,2,1n证明(Ⅰ)101nnaa;(Ⅱ)3161nnaa.20．（本小题满分14分）对1个单位质量的含污物体进行清洗,清洗前其清洁度(含污物体的清洁度定义为:）物体质量（含污物）污物质量1为8.0,要求清洗完后的清洁度为99.0.有两种方案可供选择,方案甲:一次清洗;方案乙:分两次清洗.该物体初次清洗后受残留水等因素影响,其质量变为)31(aa.设用x单位质量的水初次清洗后的清洁度是18.0xx)1(ax,用y单位质量的水第二次清洗后的清洁度是ayacy,其中c)99.08.0(c是该物体初次清洗后的清洁度.(Ⅰ)分别求出方案甲以及95.0c时方案乙的用水量,并比较哪一种方案用水量较少;(Ⅱ)若采用方案乙,当a为某固定值时,如何安排初次与第二次清洗的用水量,使总用水量最小?并讨论a取不同数值时对最少总用水量多少的影响.21．（本小题满分14分）已知椭圆134:221yxC,抛物线)0(2)(:22ppxmyC,且21,CC的公共弦AB过椭圆1C的右焦点.(Ⅰ)当轴时xAB,求pm,的值,并判断抛物线2C的焦点是否在直线AB上;(Ⅱ)是否存在pm,的值,使抛物线2C的焦点恰在直线AB上?若存在,求出符合条件的pm,的值;若不存在,请说明理由.答案：DADABDACCB1.22.53.344.(1,1)15.(,0)，13(,)22三、解答题：本大题共6个小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.（本小题满分12分）如图3,D是直角△ABC斜边BC上一点,AB=AD,记∠CAD=,∠ABC=.(1)．证明sincos20;（2）．若AC=3DC,求的值.解：(1)．如图3，(2)2,sinsin(2)cos2222，即sincos20．（2）．在ABC中，由正弦定理得3,.sin3sinsinsin()sinsinDCACDCDC由(1)得sincos2，2sin3cos23(12sin),BDCαβA图3即23323sinsin30.sinsin23解得或．30,sin,.22317.（本小题满分12分）某安全生产监督部门对5家小型煤矿进行安全检查(简称安检).若安检不合格,则必须进行整改.若整改后经复查仍不合格,则强行关闭.设每家煤矿安检是否合格是相互独立的,且每家煤矿整改前安检合格的概率是0.5,整改后安检合格的概率是0.8,计算(结果精确到0.01):(Ⅰ)恰好有两家煤矿必须整改的概率;(Ⅱ)平均有多少家煤矿必须整改;(Ⅲ)至少关闭一家煤矿的概率.解：（Ⅰ）．每家煤矿必须整改的概率是1－0.5，且每家煤矿是否整改是相互独立的.所以恰好有两家煤矿必须整改的概率是31.01655.0)5.01(32251CP.（Ⅱ）．由题设，必须整改的煤矿数服从二项分布B(5,0.5).从而的数学期望是E＝50.52.5，即平均有2.50家煤矿必须整改.(Ⅲ)．某煤矿被关闭，即该煤矿第一次安检不合格，整改后经复查仍不合格，所以该煤矿被关闭的概率是1.0)8.01()5.01(2P，从而该煤矿不被关闭的概率是0.9.由题意，每家煤矿是否被关闭是相互独立的，所以至少关闭一家煤矿的概率是41.09.0153P18.（本小题满分14分）如图4,已知两个正四棱锥P-ABCD与Q-ABCD的高分别为1和2,AB=4.(Ⅰ)证明PQ⊥平面ABCD;(Ⅱ)求异面直线AQ与PB所成的角;(Ⅲ)求点P到平面QAD的距离.QPADCB图112QBCPADzyxO解法一：（Ⅰ）．连结AC、BD，设OBDAC.由P－ABCD与Q－ABCD都是正四棱锥，所以PO⊥平面ABCD，QO⊥平面ABCD.从而P、O、Q三点在一条直线上，所以PQ⊥平面ABCD.（II）由题设知，ABCD是正方形，所以ACBD．由（I），PQ平面ABCD，故可以分别以直线CA、DB、QP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系（如上图），由题设条件，相关各点的坐标分别是(0,0,1)P，(0,0,2)Q，(0,22,0)B所以)2,0,22(AQ,(0,22,1)PB,于是3cos,.9AQPBAQPBAQPB从而异面直线AQ与PB所成的角是3arccos9.(Ⅲ)．由（Ⅱ），点D的坐标是（0，－22，0），)0,22,22(AD，(0,0,3)PQ，设),,(zyxn是平面QAD的一个法向量，由00ADnAQn得002yxzx.取x=1，得)2,1,1(n.所以点P到平面QAD的距离32.2PQndn.解法二：（Ⅰ）．取AD的中点M，连结PM，QM.因为P－ABCD与Q－ABCD都是正四棱锥，所以AD⊥PM，AD⊥QM.从而AD⊥平面PQM.又PQ平面PQM，所以PQ⊥AD.同理PQ⊥AB，所以PQ⊥平面ABCD.（Ⅱ）．连结AC、BD设OBDAC，由PQ⊥平面ABCD及正四棱锥的性质可知O在PQ上，从而P、A、Q、C四点共面.取OC的中点N，连结PN．因为11,22PONONOOQOAOC，所以PONOOQOA，从而AQ∥PＮ.∠BPＮ（或其补角）是异面直线AQ与PB所成的角.连接BN，因为222(22)13PBOBOP．222(2)13PNONOP2222(22)(2)10BNOBON所以22293103cos29233PBPNBNBPNPBPN．QBCPADOM从而异面直线AQ与PB所成的角是3arccos9．(Ⅲ)．由（Ⅰ）知，AD⊥平面PＱM，所以平面PＱM⊥平面QAD.过Ｐ作ＰＨ⊥ＱＭ于Ｈ，则ＰＨ⊥平面QAD，所以ＰＨ的长为点P到平面QAD的距离．连结OM，则122OMABOQ.所以45MQP，又ＰＱ＝ＰＯ＋ＱＯ＝３，于是32sin452PHPQ.即点P到平面QAD的距离是322.19.（本小题满分14分）已知函数()sinfxxx,数列{na}满足:1101,(),1,2,3,.nnaafan证明:（I）．101nnaa;（II）．3116nnaa.证明:（I）．先用数学归纳法证明01na，ｎ＝1,2,3,…(i).当n=1时,由已知显然结论成立.(ii).假设当n=k时结论成立,即01ka.因为0x1时'()1cos0fxx,所以f(x)在(0,1)上是增函数.又f(x)在[0,1]上连续,从而1(0)()(1),01sin11kkffafa即.故n=k+1时,结论成立.由(i)、(ii)可知，01na对一切正整数都成立.又因为01na时，1sinsin0nnnnnnaaaaaa，所以1nnaa，综上所述101nnaa．（II）．设函数31()sin6gxxxx，01x．由（I）知，当01x时，sinxx，从而222'22()cos12sin2()0.22222xxxxxgxx所以g(x)在(