高三文科数学立体几何专题

2008届高三文科数学第二轮复习资料——《立体几何》专题一、空间基本元素：直线与平面之间位置关系的小结．如下图：条件结论线线平行线面平行面面平行垂直关系线线平行如果a∥b，b∥c，那么a∥c如果a∥α，aβ，β∩α=b，那么a∥b如果α∥β，α∩γ=a，β∩γ=b，那么a∥b如果a⊥α，b⊥α，那么a∥b线面平行如果a∥b，aα，bα，那么a∥α——如果α∥β，aα，那么α∥β——面面平行如果aα，bα，cβ，dβ，a∥c，b∥d，a∩b=P，那么α∥β如果aα，bα,a∩b=P,a∥β,b∥β，那么α∥β如果α∥β，β∥γ，那么α∥γ如果a⊥α，a⊥β，那么α∥β条件结论线线垂直线面垂直面面垂直平行关系线线垂直二垂线定理及逆定理如果a⊥α，bα，那么a⊥b如果三个平面两两垂直，那么它们交线两两垂直如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c线面垂直如果a⊥b，a⊥c，bα，cα，b∩c=P，那么a⊥α——如果α⊥β，α∩β=b，aα,a⊥b，那么a⊥β如果a⊥α，b∥a，那么b⊥α面面垂直定义（二面角等于900）如果a⊥α，aβ，那么β⊥α————二、练习题：1．1∥2，a，b与1，2都垂直，则a，b的关系是A．平行B．相交C．异面D．平行、相交、异面都有可能2．三棱柱ABC—A1B1C1的体积为V，P、Q分别为AA1、CC1上的点，且满足AP=C1Q，则四棱锥B—APQC的体积是A．V21B．V31C．V41D．V323．设、、为平面，m、n、l为直线，则m的一个充分条件是A．,,lmlB．,,mC．,,mD．,,nnm4．如图1，在棱长为a的正方体ABCDABCD1111中，P、Q是对角ABDCA1D1C1B1PQ图1线AC1上的点，若aPQ2，则三棱锥PBDQ的体积为A．a3336B．a3318C．a3324D．不确定5．圆台的轴截面面积是Q，母线与下底面成60°角，则圆台的内切球的表面积是A12QB23QC2QD23Q6．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G、H分别为棱BC、CC1、C1D1、AA1的中点，O为AC与BD的交点（如图），求证：（1）EG∥平面BB1D1D；（2）平面BDF∥平面B1D1H；（3）A1O⊥平面BDF；（4）平面BDF⊥平面AA1C．7．如图，斜三棱柱ABC—A’B’C’中，底面是边长为a的正三角形，侧棱长为b，侧棱AA’与底面相邻两边AB、AC都成450角，求此三棱柱的侧面积和体积．8．在三棱锥P—ABC中，PC=16cm，AB=18cm，PA=PB=AC=BC=17cm，求三棱锥的体积VP-ABC．9．如图6为某一几何体的展开图，其中ABCD是边长为6的正方形，SD=PD=6，CR=SC，AQ=AP，点S、D、A、Q及P、D、C、R共线.沿图中虚线将它们折叠起来，使P、Q、R、S四点重合，请画出其直观图，试问需要几个这样的几何体才能拼成一个棱长为6的正方体ABCDABCD1111？10．如图10，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=a，AA1=2a，M、N分别是BB1、DD1的中点．（1）求证：平面A1MC1⊥平面B1NC1；（2）若在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积为V，三棱锥M-A1B1C1的体积为V1，求V1：V的值．11．直三棱柱ABC-A1B1C1中，BCAB，E是A1C的中点，EDAC1且交AC于D，AAABBC122(如图11)．（I）证明：BC11//平面ABC1；（II）证明：AC1平面EDB．AQBPDSCR图6图11DEA1CBAC1B1ANBCDA1B1C1D1图10M参考答案1．D2．B3．D4．A5．D6．解析：（1）欲证EG∥平面BB1D1D，须在平面BB1D1D内找一条与EG平行的直线，构造辅助平面BEGO’及辅助直线BO’，显然BO’即是．（2）按线线平行线面平行面面平行的思路，在平面B1D1H内寻找B1D1和O’H两条关键的相交直线，转化为证明：B1D1∥平面BDF，O’H∥平面BDF．（3）为证A1O⊥平面BDF，由三垂线定理，易得BD⊥A1O，再寻A1O垂直于平面BDF内的另一条直线．猜想A1O⊥OF．借助于正方体棱长及有关线段的关系计算得：A1O2+OF2=A1F2A1O⊥OF．（4）∵CC1⊥平面AC，∴CC1⊥BD又BD⊥AC，∴BD⊥平面AA1C又BD平面BDF，∴平面BDF⊥平面AA1C7．解析：在侧面AB’内作BD⊥AA’于D，连结CD．∵AC=AB，AD=AD，∠DAB=∠DAC=450∴△DAB≌△DAC∴∠CDA=∠BDA=900，BD=CD∴BD⊥AA’，CD⊥AA’∴△DBC是斜三棱柱的直截面在Rt△ADB中，BD=AB·sin450=a22∴△DBC的周长=BD+CD+BC=(2+1)a，△DBC的面积=4a2∴S侧=b(BD+DC+BC)=(2+1)ab∴V=DBCS·AA’=4ba28．解析：取PC和AB的中点M和N∴AMBAMBCAMBPABCPSPC31VVV在△AMB中，AM2=BM2=172-82=25×9∴AM=BM=15cm，MN2=152-92=24×6∴S△AMB=21×AB×MN=21×18×12=108(cm2)∴VP-ABC=31×16×108=576(cm3)9．解：它是有一条侧棱垂直于底面的四棱锥（如图）．需要3个这样的几何体可以拼成一个正方体.10．解：（1）取CC1的中点P，联结MP、NP、D1P(图18)，则A1MPD1为平行四边形∴D1P∥A1M，∵A1B1C1D1是边长为a的正方形，又C1P=a，∴C1PND1也是正方形，∴C1N⊥D1P．∴C1N⊥A1M．又C1B1⊥A1M，∴A1M⊥平面B1NC1，又A1M平面A1MC1，∴平面A1MC1⊥平面B1NC1；（2）V=32a，VM-A1B1C1=VC-MA1B1=23111326aaa，∴V1：V=11211．证明：（I）证：三棱柱ABCABC111中BCBC11//，又BC平面ABC1，且BC11/平面ABC1，BC11//平面ABC1（II）证：三棱柱ABCABC111中AAAB1，RtAAB1中，ABAB221，BCABABC11，是等腰三角形．E是等腰ABC1底边AC1的中点，ACBE1①又依条件知ACED1②且EDBEE③AQBPDSCR第九题图11DEA1CBAC1B1ANBCDA1B1C1D1图10MABCDEHGA1B1C1D1第九题由①，②，③得AC1平面EDB．