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2005年全国高中数学联赛试题(二)及参考答案一、(本题满分50分)如图,在△ABC中,设ABAC,过A作△ABC的外接圆的切线l,又以A为圆心,AC为半径作圆分别交线段AB于D;交直线l于E、F。证明:直线DE、DF分别通过△ABC的内心与一个旁心。(注:与三角形的一边及另两边的延长线均相切的圆称为三角形的旁切圆,旁切圆的圆心称为旁心。)证明:(1)先证DE过△ABC的内心。如图,连DE、DC,作∠BAC的平分线分别交DC于G、DE于I,连IC,则由AD=AC,得,AG⊥DC,ID=IC.又D、C、E在⊙A上,∴∠IAC=21∠DAC=∠IEC,∴A、I、C、E四点共圆,∴∠CIE=∠CAE=∠ABC,而∠CIE=2∠ICD,∴∠ICD=21∠ABC.∴∠AIC=∠IGC+∠ICG=90°+21∠ABC,∴∠ACI=21∠ACB,∴I为△ABC的内心。(2)再证DF过△ABC的一个旁心.连FD并延长交∠ABC的外角平分线于I1,连II1、BI1、BI,由(1)知,I为内心,∴∠IBI1=90°=∠EDI1,∴D、B、l1、I四点共圆,∵∠BIl1=∠BDI1=90°-∠ADI1=(21∠BAC+∠ADG)-∠ADI=21∠BAC+∠IDG,∴A、I、I1共线.I1是△ABC的BC边外的旁心二、(本题满分50分)设正数a、b、c、x、y、z满足.;,caybxbcxazabzcy求函数zzyyxxzyxf111),,(222的最小值.解:由条件得,0)()()(abzcyacaybxcbcxazb,即02222cbabcx,bcacbx2222,同理,得.2,2222222abcbazacbcaya、b、c、x、y、z为正数,据以上三式知,222222222,,cbabcaacb,故以a、b、c为边长,可构成一个锐角三角形ABC,CzByAxcos,cos,cos,问题转化为:在锐角△ABC中,求函数Af(cos、Bcos、Ccos)=CCBBAAcos1coscos1coscos1cos222的最小值.令,cot,cot,cotCwBvAu则,1,,,wuvwuvRwvu且).)((1),)((1),)((1222wvwuwwvvuvwuvuu1)1()1(1111cos1cos2222222222uuuuuuuuuuuuAA),11(2))((13232232wuvuuuwuvuuuuuu同理,).11(2cos1cos),11(2cos1cos322322wvwuwwCCwuvuvvBB)[(21)(2122222333333222vuvuwvuwuwuwvwvvuvuwvuf+.21)(21)]()(2222uwvwuvwuwuwvwv(取等号当且仅当wvu,此时,.21)],,([),21,minzyxfzyxcba三、(本题满分50分)对每个正整数n,定义函数.]}{1[,0)(不为平方数当为平方数当nnnnf(其中[x]表示不超过x的最大整数,]).[}{xxx试求:2401)(kkf的值.解:对任意*,Nka,若22)1(kak,则kka212,设,10,ka则].2[]}{1[,12211}{12222kakakakkakkakakaa让a跑遍区间22)1(,(kk)中的所有整数,则22)1(21],2[]}{1[kakkiika于是2)1(1121]2[)(nanikiikaf……①下面计算kiik21],2[画一张2k×2k的表,第i行中,凡是i行中的位数处填写“*”号,则这行的“*”号共]2[ik个,全表的“*”号共kiik21]2[个;另一方面,按列收集“*”号数,第j列中,若j有T(j)个正因数,则该列使有T(j)个“*”号,故全表的“*”号个数共kjjT21)(个,因此kiik21]2[=kjjT21)(.示例如下:ji1234561******2***3**4*56*则)]2()12([)]4()3()[1()]2()1([)()(1121nTnTTTnTTnjTafninikj……②由此,1512561)]()12()[16()(kkkTkTkkf……③记,15,,2,1),2()12(kkTkTak易得ka的取值情况如下:k123456789101112131415ka356678698881071010因此,151161783)16()(kkkakkfn……④据定义0)16()256(2ff,又当)3016(15},255,,242,241{2rrkk设,301515311515151515222rrrrrrrk,231}15{13012rrr,则}255,,242,241{,1]}{1[kk……⑤从则.76815783)(783)(25612401iikfkf
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