高考数学第八章第3讲

第3讲圆的方程第八章平面解析几何栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第八章平面解析几何1．圆的定义及方程定义平面内与________的距离等于________的点的集合(轨迹)标准方程___________________(r＞0)圆心：________，半径：________一般方程___________________(D2＋E2－4F＞0)圆心：____________，半径：12D2＋E2－4F定点定长(x－a)2＋(y－b)2＝r2(a，b)rx2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0－D2，－E2栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第八章平面解析几何2.点与圆的位置关系点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系：(1)若M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2________r2.(2)若M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2_________r2.(3)若M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2_________r2.＞＝＜栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第八章平面解析几何1．辨明两个易误点(1)求圆的方程需要三个独立条件，所以不论是设哪一种圆的方程都要列出系数的三个独立方程．(2)对于方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆时易忽视D2＋E2－4F＞0这一条件．栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第八章平面解析几何2．求解有关圆的问题的转化路径(1)注意二元二次方程表示圆的充要条件，善于利用切割线定理、垂径定理等平面中圆的有关定理解题；注意将圆上动点到定点、定直线的距离转化为圆心到它们的距离．(2)在圆中，注意利用半径、半弦长及弦心距组成的直角三角形．栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第八章平面解析几何1．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1，2)的圆的方程为()A．x2＋(y－2)2＝1B．x2＋(y＋2)2＝1C．(x－1)2＋(y－3)2＝1D．x2＋(y－3)2＝1A解析：设圆心坐标为(0，b)，则由题意知（0－1）2＋（b－2）2＝1，解得b＝2，故圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第八章平面解析几何2．方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圆的充要条件是()A.14m1B．m14或m1C．m14D．m1B解析：由(4m)2＋4－4×5m0，得m14或m1.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第八章平面解析几何3．圆心在y轴上且经过点(3，1)的圆与x轴相切，则该圆的方程是()A．x2＋y2＋10y＝0B．x2＋y2－10y＝0C．x2＋y2＋10x＝0D．x2＋y2－10x＝0B栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第八章平面解析几何解析：设圆心为(0，b)，半径为r，则r＝|b|，所以圆的方程为x2＋(y－b)2＝b2.因为点(3，1)在圆上，所以9＋(1－b)2＝b2，解得b＝5.所以圆的方程为x2＋y2－10y＝0.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第八章平面解析几何4．点(1，1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4内，则实数a的取值范围是________．解析：因为点(1，1)在圆的内部，所以(1－a)2＋(1＋a)24，所以－1a1.(－1，1)栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第八章平面解析几何解析：设圆心坐标为C(a，0)，因为点A(－1，1)和B(1，3)在圆C上，所以|CA|＝|CB|，即（a＋1）2＋1＝（a－1）2＋9，解得a＝2，所以圆心为C(2，0)，半径|CA|＝（2＋1）2＋1＝10，所以圆C的方程为(x－2)2＋y2＝10.5．(必修2P124习题4.1A组T4改编)圆C的圆心在x轴上，并且过点A(－1，1)和B(1，3)，则圆C的方程为____________________________．(x－2)2＋y2＝10栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第八章平面解析几何考点一求圆的方程根据下列条件，求圆的方程：(1)经过P(－2，4)、Q(3，－1)两点，并且在x轴上截得的弦长等于6；(2)圆心在直线y＝－4x上，且与直线l：x＋y－1＝0相切于点P(3，－2)．栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第八章平面解析几何[解](1)设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，将P、Q点的坐标分别代入得2D－4E－F＝20，3D－E＋F＝－10.①②又令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0.③设x1，x2是方程③的两根，由|x1－x2|＝6，有D2－4F＝36，④由①②④解得D＝－2，E＝－4，F＝－8或D＝－6，E＝－8，F＝0.故所求圆的方程为x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第八章平面解析几何(2)设所求方程为(x－x0)2＋(y－y0)2＝r2，根据已知条件得y0＝－4x0，（3－x0）2＋（－2－y0）2＝r2，|x0＋y0－1|2＝r，解得x0＝1，y0＝－4，r＝22.因此所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第八章平面解析几何求圆的方程的两种方法(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．(2)待定系数法：①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值；②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第八章平面解析几何1.(1)已知圆心为C的圆经过点A(0，－6)，B(1，－5)，且圆心在直线l：x－y＋1＝0上，求圆的标准方程；(2)若不同的四点A(5，0)、B(－1，0)、C(－3，3)、D(a，3)共圆，求a的值．栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第八章平面解析几何解：(1)法一：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F0)，则圆心坐标为－D2，－E2.由题意可得（－6）2－6E＋F＝0，12＋（－5）2＋D－5E＋F＝0，D－E－2＝0，消去F得D＋E－10＝0，D－E－2＝0，解得D＝6，E＝4，代入求得F＝－12，所以圆的方程为x2＋y2＋6x＋4y－12＝0，标准方程为(x＋3)2＋(y＋2)2＝25.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第八章平面解析几何法二：因为A(0，－6)，B(1，－5)，所以线段AB的中点D的坐标为12，－112，直线AB的斜率kAB＝－5－（－6）1－0＝1，因此线段AB的垂直平分线l的方程是y＋112＝－x－12，即x＋y＋5＝0.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第八章平面解析几何圆心C的坐标是方程组x＋y＋5＝0，x－y＋1＝0的解，解得x＝－3，y＝－2，所以圆心C的坐标是(－3，－2)．圆的半径长r＝|AC|＝（0＋3）2＋（－6＋2）2＝5，所以，圆心为C的圆的标准方程是(x＋3)2＋(y＋2)2＝25.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第八章平面解析几何(2)设过A、B、C三点的圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，分别代入A、B、C三点坐标，得25＋5D＋F＝0，1－D＋F＝0，9＋9－3D＋3E＋F＝0，解得D＝－4，E＝－253，F＝－5.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第八章平面解析几何所以A、B、C三点确定的圆的方程为x2＋y2－4x－253y－5＝0.因为D(a，3)也在此圆上，所以a2＋9－4a－25－5＝0.所以a＝7或a＝－3(舍去)．即a的值为7.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第八章平面解析几何考点二与圆有关的最值问题(高频考点)与圆有关的最值问题，是高考命题的热点，多以选择题、填空题的形式呈现，试题难度不大，多为容易题、中档题．高考中对与圆有关的最值问题的考查主要有以下四个命题角度：(1)半径、面积型最值；(2)斜率型最值；(3)截距型最值；(4)距离型最值．栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第八章平面解析几何(1)(2014·高考江西卷)在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x＋y－4＝0相切，则圆C面积的最小值为()A.45πB.34πC．(6－25)πD.54π(2)(2016·河南省豫西五校联考)已知M为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点，且点Q(－2，3)．①求|MQ|的最大值和最小值；②若M(m，n)，求n－3m＋2的最大值和最小值．A栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第八章平面解析几何[解](1)选A.因为∠AOB＝90°，所以点O在圆C上．设直线2x＋y－4＝0与圆C相切于点D，则点C与点O间的距离等于它到直线2x＋y－4＝0的距离，所以点C在以O为焦点，以直线2x＋y－4＝0为准线的抛物线上，所以当且仅当O，C，D共线时，圆的直径最小为|OD|.又|OD|＝|2×0＋0－4|5＝45，所以圆C的最小半径为25，所以圆C面积的最小值为π252＝45π.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第八章平面解析几何(2)由圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0，可得(x－2)2＋(y－7)2＝8，所以圆心C的坐标为(2，7)，半径r＝22.①|QC|＝（2＋2）2＋（7－3）2＝42.所以|MQ|max＝42＋22＝62，|MQ|min＝42－22＝22.②可知n－3m＋2表示直线MQ的斜率，设直线MQ的方程为y－3＝k(x＋2)，栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第八章平面解析几何即kx－y＋2k＋3＝0，则n－3m＋2＝k.由直线MQ与圆C有交点，所以|2k－7＋2k＋3|1＋k2≤22.可得2－3≤k≤2＋3，所以n－3m＋2的最大值为2＋3，最小值为2－3.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第八章平面解析几何与圆有关的最值问题的常见解法(1)形如μ＝y－bx－a形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题．(2)形如t＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题．(3)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第八章平面解析几何2.已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.(1)求y－x的最大值和最小值；(2)求x2＋y2的最大值和最小值．解：原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2，0)为圆心，3为半径的圆．(1)y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距，当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此