云师堂-高考数学-2017一轮复习第三章第7讲

第7讲正弦定理与余弦定理第三章三角函数、解三角形栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第三章三角函数、解三角形1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容____________________＝2R(R为△ABC外接圆半径)a2＝________________；b2＝________________；c2＝________________asinA＝bsinB＝csinCb2＋c2－2bccosAc2＋a2－2cacosBa2＋b2－2abcosC栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第三章三角函数、解三角形定理正弦定理余弦定理变形形式cosA＝__________________；cosB＝__________________；cosC＝___________________a＝________，b＝________，c＝________；sinA＝________，sinB＝________，sinC＝________；a∶b∶c＝______________；a＋b＋csinA＋sinB＋sinC＝asinA2RsinA2RsinB2RsinCa2Rb2Rc2RsinA∶sinB∶sinCb2＋c2－a22bcc2＋a2－b22caa2＋b2－c22ab栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第三章三角函数、解三角形2.三角形中常用的面积公式(1)S＝12ah(h表示边a上的高)；(2)S＝12bcsinA＝________＝________；(3)S＝12r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)．12acsinB12absinC栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第三章三角函数、解三角形1．辨明两个易误点(1)在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角，进而求出其他的边和角时，有时可能出现一解、两解或无解，所以要注意分类讨论．(2)在判断三角形形状时，等式两边一般不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第三章三角函数、解三角形2．三角形解的判断A为锐角A为钝角或直角图形关系式解的个数a＝bsinAbsinAaba≥bab一解两解一解一解栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第三章三角函数、解三角形1．在△ABC中，a＝3，b＝5，sinA＝13，则sinB＝()A.15B.59C.53D．1B解析：在△ABC中，由正弦定理asinA＝bsinB，得sinB＝bsinAa＝5×133＝59.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第三章三角函数、解三角形2．(必修5P8练习T2(1)改编)在△ABC中，已知a＝5，b＝7，c＝8，则A＋C＝()A．90°B．120°C．135°D．150°B解析：cosB＝a2＋c2－b22ac＝25＋64－492×5×8＝12.所以B＝60°，所以A＋C＝120°.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第三章三角函数、解三角形3．在△ABC中，若a＝18，b＝24，A＝45°，则此三角形()A．无解B．有两解C．有一解D．解的个数不确定B解析：因为asinA＝bsinB，所以sinB＝ba·sinA＝2418×sin45°＝223.又因为ab，所以B有两个．栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第三章三角函数、解三角形4．已知a、b、c分别为△ABC三个内角A、B、C的对边，若cosB＝45，a＝10，△ABC的面积为42，则c＝________．14解析：依题意可得sinB＝35，又S△ABC＝12acsinB＝42，则c＝14.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第三章三角函数、解三角形5．(2015·高考重庆卷)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2，cosC＝－14，3sinA＝2sinB，则c＝________．4解析：因为3sinA＝2sinB，所以3a＝2b.又a＝2，所以b＝3.由余弦定理可知c2＝a2＋b2－2abcosC，所以c2＝22＋32－2×2×3×－14＝16，所以c＝4.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第三章三角函数、解三角形考点一利用正、余弦定理解三角形(高频考点)利用正、余弦定理解三角形是高考的热点，三种题型在高考中时有出现，其试题为中档题．高考对正、余弦定理的考查有以下三个命题角度：(1)由已知求边和角；(2)解三角形与三角函数性质结合；(3)解三角形与三角恒等变换结合．栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第三章三角函数、解三角形(1)(2015·高考广东卷)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝3，sinB＝12，C＝π6，则b＝________．(2)(2015·高考安徽卷)在△ABC中，∠A＝3π4，AB＝6，AC＝32，点D在BC边上，AD＝BD，求AD的长．1栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第三章三角函数、解三角形[解](1)在△ABC中，因为sinB＝12，0Bπ，所以B＝π6或B＝56π.又因为B＋Cπ，C＝π6，所以B＝π6，所以A＝π－π6－π6＝23π.因为asinA＝bsinB，所以b＝asinBsinA＝1.故填1.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第三章三角函数、解三角形(2)设△ABC的内角∠BAC，B，C所对边的长分别是a，b，c，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos∠BAC＝(32)2＋62－2×32×6×cos3π4＝18＋36－(－36)＝90.所以a＝310.又由正弦定理得sinB＝bsin∠BACa＝3310＝1010，栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第三章三角函数、解三角形由题设知0＜B＜π4，所以cosB＝1－sin2B＝1－110＝31010.在△ABD中，因为AD＝BD，所以∠ABD＝∠BAD，所以∠ADB＝π－2B，故由正弦定理得AD＝AB·sinBsin（π－2B）＝6sinB2sinBcosB＝3cosB＝10.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第三章三角函数、解三角形利用正、余弦定理解三角形的应用(1)解三角形时，如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到.(2)三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第三章三角函数、解三角形1.(2016·大连双基测试)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，(2a－c)cosB－bcosC＝0.(1)求角B的大小；(2)设函数f(x)＝2sinxcosxcosB－32cos2x，求函数f(x)的最大值及当f(x)取得最大值时x的值．栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第三章三角函数、解三角形解：(1)因为(2a－c)cosB－bcosC＝0，所以2acosB－ccosB－bcosC＝0，由正弦定理，得2sinAcosB－sinCcosB－cosCsinB＝0，即2sinAcosB－sin(C＋B)＝0，所以sinA(2cosB－1)＝0.在△ABC中，sinA≠0，所以2cosB－1＝0，所以B＝π3.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第三章三角函数、解三角形(2)因为B＝π3，所以f(x)＝12sin2x－32cos2x＝sin2x－π3，令2x－π3＝2kπ＋π2(k∈Z)，得x＝kπ＋512π(k∈Z)，即当x＝kπ＋512π(k∈Z)时，f(x)取最大值1.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第三章三角函数、解三角形考点二利用正弦、余弦定理判定三角形的形状在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)sinC.(1)求角A的大小；(2)若sinB＋sinC＝1，试判断△ABC的形状．栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第三章三角函数、解三角形[解](1)由题意知，根据正弦定理得2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，即a2＝b2＋c2＋bc.①由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，故cosA＝－12，A＝120°.(2)由①得sin2A＝sin2B＋sin2C＋sinBsinC.又sinB＋sinC＝1，故sinB＝sinC＝12.因为0°B90°，0°C90°，故B＝C.所以△ABC是等腰钝角三角形．栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第三章三角函数、解三角形判断三角形形状的两种途径(1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；(2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角三角函数间的关系，通过三角函数恒等变换，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论，在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第三章三角函数、解三角形2.(1)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC的形状为()A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．不确定(2)在△ABC中，若b＝asinC，c＝acosB，则△ABC的形状为______________________．A等腰直角三角形栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第三章三角函数、解三角形解析：(1)依据题设条件的特点，边化角选用正弦定理，有sinBcosC＋cosBsinC＝sin2A，则sin(B＋C)＝sin2A，由三角形内角和，得sin(B＋C)＝sinA＝sin2A，即sinA＝1，所以∠A＝π2.即△ABC为直角三角形．(2)由b＝asinC可知ba＝sinC＝sinBsinA，由c＝acosB可知c＝a·a2＋c2－b22ac，整理得b2＋c2＝a2，即三角形一定是直角三角形，A＝90°，所以sinC＝sinB，所以B＝C，即b＝c.故△ABC为等腰直角三角形．栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第三章三角函数、解三角形考点三与三角形面积有关的问题(2016·唐山统考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且csinB＝bcosC＝3.(1)求b；(2)若△ABC的面积为212，求c.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第三章三角函数、解三角形[解](1)由正弦定理得sinCsinB＝sinB·cosC，又sinB≠0，所以sinC＝cosC，C＝45°.因为bcosC＝3，所以b＝32.(2)因为△ABC的面积S＝12acsinB＝212，csinB＝3，所以a＝7.又c2＝a2＋b2－2abcosC＝25，所以c＝5.栏目导引知能训练轻松