云师堂-高考数学-2017一轮复习第九章第9讲

第9讲离散型随机变量的均值与方差、正态分布第九章计数原理、概率、随机变量及其分布栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第九章计数原理、概率、随机变量及其分布1．离散型随机变量的均值与方差若离散型随机变量X的分布列为Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn(1)均值：称E(X)＝________________________________为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的___________．x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn平均水平栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第九章计数原理、概率、随机变量及其分布(2)D(X)＝∑ni＝1(xi－E(X))2pi为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均________程度，其算术平方根D（X）为随机变量X的标准差．2．均值与方差的性质（1）E（aX＋b）＝________（2）D（aX＋b）＝________(a，b为常数)．偏离aE(X)＋ba2D(X)栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第九章计数原理、概率、随机变量及其分布3．两点分布与二项分布的均值、方差XX服从两点分布X～B(n，p)E(X)p(p为成功概率)________D(X)________________npp(1－p)np(1－p)栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第九章计数原理、概率、随机变量及其分布4.正态曲线的特点(1)曲线位于x轴________，与x轴不相交；(2)曲线是单峰的，它关于直线________对称；(3)曲线在x＝μ处达到峰值1σ2π；(4)曲线与x轴之间的面积为________；(5)当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；(6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越________；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越________．上方x＝μ1集中分散栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第九章计数原理、概率、随机变量及其分布1．辨明两个易误点(1)均值E(X)是一个实数，由X的分布列唯一确定，即X作为随机变量是可变的，而E(X)是不变的，它描述X值的取值平均状态．(2)注意E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)．栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第九章计数原理、概率、随机变量及其分布2．正态分布的三个常用数据(1)P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.6826；(2)P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.9544；(3)P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝0.9974.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第九章计数原理、概率、随机变量及其分布3．求离散型随机变量均值、方差的基本方法(1)已知随机变量的分布列求它的均值、方差和标准差，可直接按定义(公式)求解；(2)已知随机变量X的均值、方差，求X的线性函数Y＝aX＋b的均值、方差和标准差，可直接用X的均值、方差的性质求解；(3)如能分析所给随机变量服从常用的分布(如两点分布、二项分布等)，可直接利用它们的均值、方差公式求解．栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第九章计数原理、概率、随机变量及其分布1．已知离散型随机变量X的分布列为X123P35310110则X的数学期望E(X)＝()A.32B．2C.52D．3A解析：E(X)＝1×35＋2×310＋3×110＝32，故选A.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第九章计数原理、概率、随机变量及其分布2．已知随机变量X服从正态分布N(0，σ2)．若P(X2)＝0.023，则P(－2≤X≤2)＝()A．0.477B．0.628C．0.954D．0.977C解析：因为μ＝0，所以P(X2)＝P(X－2)＝0.023，所以P(－2≤X≤2)＝1－2×0.023＝0.954.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第九章计数原理、概率、随机变量及其分布3．设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝15(k＝2，4，6，8，10)，则D(X)等于()A．5B．8C．10D．16B解析：因为E(X)＝15(2＋4＋6＋8＋10)＝6，所以D(X)＝15[(－4)2＋(－2)2＋02＋22＋42]＝8.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第九章计数原理、概率、随机变量及其分布4．已知随机变量X的分布列为：X－101P1213a且设Y＝2X＋3，则Y的均值是________．73解析：由分布列性质有12＋13＋a＝1，即a＝16；E(X)＝(－1)×12＋0×13＋1×16＝－13，所以E(Y)＝E(2X＋3)＝2E(X)＋3＝3－23＝73.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第九章计数原理、概率、随机变量及其分布5．(选修2­3P69习题2.3B组T1改编)抛掷两枚骰子，当至少一枚5点或一枚6点出现时，就说这次试验成功，则在10次试验中成功次数的均值为________．509解析：抛掷两枚骰子，当两枚骰子不出现5点和6点时的概率为46×46＝49，所以至少有一次出现5点或6点的概率为1－49＝59，用X表示10次试验中成功的次数，则X～B10，59，E(X)＝10×59＝509.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第九章计数原理、概率、随机变量及其分布考点一离散型随机变量的均值(高频考点)离散型随机变量的均值是高考命题的热点，多以解答题的形式呈现，多为中档题．高考对离散型随机变量的均值的考查主要有以下两个命题角度：(1)已知离散型随机变量符合的条件，求其均值；(2)已知离散型随机变量的均值，求参数值．栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第九章计数原理、概率、随机变量及其分布(2014·高考湖南卷)某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为23和35.现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B.设甲、乙两组的研发相互独立．(1)求至少有一种新产品研发成功的概率；(2)若新产品A研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B研发成功，预计企业可获利润100万元．求该企业可获利润的分布列和数学期望．栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第九章计数原理、概率、随机变量及其分布[解]记E＝{甲组研发新产品成功}，F＝{乙组研发新产品成功}．由题设知P(E)＝23，P(E－)＝13，P(F)＝35，P(F－)＝25，且事件E与F，E与F－，E－与F，E－与F－都相互独立．(1)记H＝{至少有一种新产品研发成功}，则H－＝E－F－，于是P(H－)＝P(E－)P(F－)＝13×25＝215，故所求的概率为P(H)＝1－P(H－)＝1－215＝1315.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第九章计数原理、概率、随机变量及其分布(2)设企业可获利润为X万元，则X的可能取值为0，100，120，220.因为P(X＝0)＝P(E－F－)＝13×25＝215，P(X＝100)＝P(E－F)＝13×35＝315，P(X＝120)＝P(EF－)＝23×25＝415，P(X＝220)＝P(EF)＝23×35＝615，栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第九章计数原理、概率、随机变量及其分布故所求的分布列为X0100120220P215315415615数学期望为E(X)＝0×215＋100×315＋120×415＋220×615＝300＋480＋132015＝210015＝140.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第九章计数原理、概率、随机变量及其分布求离散型随机变量X的均值的方法(1)理解X的意义，写出X可能取的全部值；(2)求X取每个值的概率；(3)写出X的分布列；(4)由均值的定义求E(X)．栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第九章计数原理、概率、随机变量及其分布1.(2016·沈阳教学质量监测)为向国际化大都市目标迈进，某市今年新建三大类重点工程，它们分别是30项基础设施类工程、20项民生类工程和10项产业建设类工程．现有3名工人相互独立地从这60个项目中任选一个项目参与建设．(1)求这3人选择的项目所属类别互异的概率；(2)将此3人中选择的项目属于基础设施类工程或产业建设类工程的人数记为X，求X的分布列和数学期望．栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第九章计数原理、概率、随机变量及其分布解：记第i名工人选择的项目属于基础设施类、民生类、产业建设类分别为事件Ai、Bi、Ci，i＝1，2，3.由题意知A1、A2、A3、B1、B2、B3、C1、C2、C3均相互独立．则P(Ai)＝3060＝12，P(Bi)＝2060＝13，P(Ci)＝1060＝16，i＝1，2，3，(1)3人选择的项目所属类别互异的概率：P1＝A33P(A1B2C3)＝6×12×13×16＝16.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第九章计数原理、概率、随机变量及其分布(2)任一名工人选择的项目属于基础设施类或产业建设类工程的概率：P2＝30＋1060＝23，由X～B3，23，得P(X＝k)＝Ck323k1－233－k(k＝0，1，2，3)，所以X的分布列为X0123P1272949827其数学期望为E(X)＝3×23＝2.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第九章计数原理、概率、随机变量及其分布考点二均值与方差的实际应用(2016·山西省四校联考)学校设计了一个实验学科的考查方案：考生从6道备选题中一次随机抽取3道题，按照题目要求独立完成全部实验操作，并规定：在抽取的3道题中，至少正确完成其中2道题便可通过考查．已知6道备选题中考生甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都为23，且每题正确完成与否互不影响．(1)求考生甲正确完成题目个数X的分布列和数学期望；(2)用统计学知识分析比较甲、乙两考生哪位实验操作能力强及哪位通过考查的可能性大？栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第九章计数原理、概率、随机变量及其分布[解](1)由题意知X的可能取值为1，2，3，P(X＝1)＝C14C22C36＝15，P(X＝2)＝C24C12C36＝35，P(X＝3)＝C34C02C36＝15，所以，考生甲正确完成题目数的分布列为：X123P153515所以E(X)＝1×15＋2×35＋3×15＝2.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第九章计数原理、概率、随机变量及其分布(2)设考生乙正确完成实验操作的题目个数为Y，因为Y～B3，23，其分布列为：P(Y＝k)＝Ck323k·133－k，k＝0，1，2，3，所以E(Y)＝3×23＝2.又因为D(X)＝(1－2)2×15＋(2－2)2×35＋(3－2)2×15＝25，D(Y)＝3×23×13＝23，所以D(X)＜D(Y)．栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第九章计数原理、概率、随机变量及其分布又因为P(X≥2)＝35＋15＝0.8，P(Y≥2)＝1227＋827≈0.74，所以P(X≥2)＞P(Y≥2)．①从做对题数的数学期望来