云师堂-高考数学-2017一轮复习第七章第7讲第1课时

第7讲立体几何中的向量方法第七章立体几何栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第七章立体几何1．直线的方向向量与平面的法向量的确定(1)直线的方向向量：l是空间一直线，A，B是直线l上任意两点，则称AB→为直线l的方向向量，与AB→平行的任意____________________也是直线l的方向向量．非零向量栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第七章立体几何(2)①定义：与平面________的向量，称做平面的法向量．②确定：设a，b是平面α内两不共线向量，n为平面α的法向量，则求法向量的方程组为n·a＝0，n·b＝0.垂直栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第七章立体几何2．空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2l1∥l2n1∥n2⇔____________l1⊥l2n1⊥n2⇔____________直线l的方向向量为n，平面α的法向量为ml∥αn⊥m⇔____________l⊥αn∥m⇔n＝λm平面α，β的法向量分别为n，mα∥βn∥m⇔n＝λmα⊥βn⊥m⇔n·m＝0n1＝λn2n1·n2＝0n·m＝0栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第七章立体几何3.空间向量与空间角的关系(1)两条异面直线所成角的求法设两条异面直线a，b的方向向量分别为a，b，其夹角为θ，则cosφ＝|cosθ|＝________________(其中φ为异面直线a，b所成的角)．(2)直线和平面所成角的求法如图所示，设直线l的方向向量为e，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为φ，两向量e与n的夹角为θ，则有sinφ＝|cosθ|＝____________．|a·b||a||b||e·n||e||n|栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第七章立体几何(3)求二面角的大小a．如图①，AB，CD是二面角α-l-β两个半平面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝____________．b．如图②③，n1，n2分别是二面角α-l-β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足cosθ＝_____________________________________．〈AB→，CD→〉cos〈n1，n2〉或－cos〈n1，n2〉栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第七章立体几何4.点到平面的距离的求法如图，设AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则点B到平面α的距离d＝|AB→·n||n|.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第七章立体几何辨明两个易误点(1)求异面直线所成角时，易求出余弦值为负值而盲目得出答案而忽视了夹角范围为0，π2.(2)求直线与平面所成角时，注意求出两向量夹角的余弦值的绝对值应为线面角的正弦值．栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第七章立体几何1．(选修2­1P104练习T2改编)已知平面α，β的法向量分别为n1＝(2，3，5)，n2＝(－3，1，－4)，则()A．α∥βB．α⊥βC．α，β相交但不垂直D．以上均不对C解析：因为n1≠λn2，且n1·n2＝2×(－3)＋3×1＋5×(－4)＝－23≠0，所以α，β不平行，也不垂直．故选C.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第七章立体几何2．已知向量m，n分别是直线l和平面α的方向向量和法向量，若cos〈m，n〉＝－12，则l与α所成的角为()A．30°B．60°C．120°D．150°A解析：由于cos〈m，n〉＝－12，所以〈m，n〉＝120°.所以直线l与α所成的角为30°.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第七章立体几何3．已知两平面的法向量分别为m＝(0，1，0)，n＝(0，1，1)，则两平面所成的二面角为()A．45°B．135°C．45°或135°D．90°C解析：cos〈m，n〉＝m·n|m||n|＝11×2＝22，即〈m，n〉＝45°.所以两平面所成二面角为45°或180°－45°＝135°.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第七章立体几何4．已知正方体ABCD­A1B1C1D1如图所示，则直线B1D和CD1所成的角为________．90°解析：以A为原点，AB→、AD→、AA1→分别为x、y、z轴的正方向建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则CD1→＝(－1，0，1)，B1D→＝(－1，1，－1)，cos〈CD1→，B1D→〉＝1＋0－12×3＝0，所以两直线所成的角为90°.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第七章立体几何5．正四棱锥S­ABCD中，O为顶点S在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且SO＝OD，则直线BC与平面PAC所成的角是________．30°栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第七章立体几何解析：如图所示，以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz.设OD＝SO＝OA＝OB＝OC＝a，则A(a，0，0)，B(0，a，0)，C(－a，0，0)，P0，－a2，a2.则CA→＝(2a，0，0)，AP→＝－a，－a2，a2，CB→＝(a，a，0)．设平面PAC的法向量为n，易知可取n＝(0，1，1)，则cos〈CB→，n〉＝CB→·n|CB→||n|＝a2a2·2＝12.所以〈CB→，n〉＝60°，所以直线BC与平面PAC所成的角为90°－60°＝30°.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第七章立体几何第1课时证明空间中的位置关系栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第七章立体几何考点一利用空间向量证明平行问题已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1，DD1的中点．求证：FC1∥平面ADE.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第七章立体几何[证明]如图所示，建立空间直角坐标系Dxyz，则有D(0，0，0)，A(2，0，0)，C(0，2，0)，C1(0，2，2)，E(2，2，1)，F(0，0，1)．FC1→＝(0，2，1)，DA→＝(2，0，0)，AE→＝(0，2，1)．栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第七章立体几何设n＝(x，y，z)是平面ADE的一个法向量，则n⊥DA→，n⊥AE→，即n·DA→＝2x＝0，n·AE→＝2y＋z＝0，解得x＝0，z＝－2y，令z＝2，则y＝－1，所以n＝(0，－1，2)．因为FC1→·n＝－2＋2＝0.所以FC1→⊥n.因为FC1⊄平面ADE，所以FC1∥平面ADE.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第七章立体几何在本例条件下，若M，N分别是C1C，B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD.证明：由本例解析知，如图所示，M(0，2，1)，N(1，2，2)，MN→＝(1，0，1)，DB→＝(2，2，0)，DA1→＝(2，0，2)．栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第七章立体几何设n＝(x，y，z)是平面A1BD的一个法向量．所以n⊥DB→，n⊥DA1→，即2x＋2y＝0，2x＋2z＝0，解得y＝－x，z＝－x.令x＝1，则y＝－1，z＝－1，所以n＝(1，－1，－1)．因为MN→·n＝1＋0－1＝0，所以MN→⊥n.又因为MN⊄平面A1BD，所以MN∥平面A1BD.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第七章立体几何用向量证平行问题的常用方法线线平行证明两直线的方向向量共线线面平行①证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直②证明直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行③证明该直线的方向向量可以用平面内的两个不共线的向量线性表示面面平行证明两平面的法向量平行(即为共线向量)栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第七章立体几何1.已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，E、F、G分别为AB、AD、AA1的中点，求证：平面EFG∥平面B1CD1.证明：建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，D(0，0，0)，A1(1，0，1)，B1(1，1，1)，D1(0，0，1)．得E1，12，0，F12，0，0，G1，0，12，EF→＝－12，－12，0，EG→＝0，－12，12.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第七章立体几何设n1＝(x1，y1，z1)为平面EFG的法向量，设n2＝(x2，y2，z2)为平面B1CD1的法向量．则n1·EF→＝0，n1·EG→＝0，即－12x1－12y1＝0，－12y1＋12z1＝0.令x1＝1，可得y1＝－1，z1＝－1，同理可得x2＝1，y2＝－1，z2＝－1.即n1＝(1，－1，－1)，n2＝(1，－1，－1)．由n1＝n2，得平面EFG∥平面B1CD1.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第七章立体几何考点二利用空间向量证明垂直问题(高频考点)空间几何中的垂直问题是高考试题中的热点问题．考查形式灵活多样，可以是小题，也可以是解答题的一部分，或解答题的某个环节，是高考中的重要得分点．高考对空间向量解决垂直问题有以下三个命题角度：(1)证明线线垂直问题；(2)证明线面垂直问题；(3)证明面面垂直问题．栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第七章立体几何如图，四棱柱ABCD­A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O⊥平面ABCD，AB＝AA1＝2.证明：A1C⊥平面BB1D1D.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第七章立体几何[证明]由题设易知OA，OB，OA1两两垂直，以O为原点建立如图所示的空间直角坐标系．因为AB＝AA1＝2，所以OA＝OB＝OA1＝1，所以A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(－1，0，0)，D(0，－1，0)，A1(0，0，1)．栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第七章立体几何由A1B1→＝AB→，易得B1(－1，1，1)．因为A1C→＝(－1，0，－1)，BD→＝(0，－2，0)，BB1→＝(－1，0，1)，所以A1C→·BD→＝0，A1C→·BB1→＝0，所以A1C⊥BD，A1C⊥BB1.又BD∩BB1＝B，所以A1C⊥平面BB1D1D.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第七章立体几何用向量证明垂直的方法线线垂直问题证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零线面垂直问题直线的方向向量与平面的法向量共线，或利用线面垂直的判定定理转化为证明线线垂直面面垂直问题两个平面的法向量垂直，或利用面面垂直的判定定理转化为证明线面垂直栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第七章立体几何2.(2016·济南质检)如图，在三棱锥P­ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上．已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2.(1)证明：AP⊥BC；(2)若点M是线段AP上一点，且AM＝3.试证明平面AMC⊥平面BM