2016年《南方新课堂·高考总复习》数学(理科)-第十章-第2讲-复数的概念及运算

第2讲复数的概念及运算1．理解复数的基本概念．2．理解复数相等的充要条件．3．了解复数的代数表示法及其几何意义．4．会进行复数代数形式的四则运算．5．了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．1．复数的有关概念(1)形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a，b分别是复数的实部和虚部．若b＝0，则a＋bi为实数；若b≠0，则a＋bi为虚数；若a＝0，且b≠0，则a＋bi为纯虚数．(2)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c，b＝d(a，b，c，d∈R)．(3)a＋bi的共轭复数为a－bi(a，b∈R)．(4)复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的点Z(a，b)一一对应．(5)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模为|z|＝a2＋b2.注意：任意两个复数全是实数时能比较大小，其他情况不能比较大小．2．复数的运算复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则①z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i；②z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i；③z1z2＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i；④z1z2＝ac＋bd＋bc－adic2＋d2(c2＋d2≠0)．3．常用结论①(1±i)2＝±2i；②1＋i1－i＝i；③in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈Z)．1．(2014年重庆)实部为－2，虚部为1的复数所对应的点)B位于复平面的(A．第一象限C．第三象限B．第二象限D．第四象限2．(2013年浙江)已知i是虚数单位，则(2＋i)(3＋i)＝()CA．5－5iC．5＋5iB．7－5iD．7＋5i解析：(2＋i)(3＋i)＝6－1＋3i＋2i＝5＋5i.故选C.3．(2013年广东)若i(x＋yi)＝3＋4i，x，y∈R，则复数x＋yi的模是()A．2B．3C．4D．5D4．(2013年江西)复数z＝i(－2－i)(i为虚数单位)在复平面)D内所对应的点在(A．第一象限C．第三象限B．第二象限D．第四象限解析：复数z＝i(－2－i)＝1－2i，在复平面内所对应的点为(1，－2)，在第四象限．考点1复数的概念答案：D例1：(1)(2013年安徽)设i是虚数单位，若复数a－103－i(a∈R)是纯虚数，则a的值为()A．－3B．－1C．1D．3解析：复数a－103－i＝a－103＋i3－i3＋i＝a－3－i是纯虚数，则a－3＝0，a＝3.故选D.(2)(2013年新课标Ⅰ)若复数z满足(3－4i)z＝|4＋3i|，则z的虚部为()答案：DA．－4B．－45C．4D.45解析：(3－4i)z＝|4＋3i|＝5，则z＝53－4i＝53＋4i3－4i3＋4i＝53＋4i25＝35＋45i，其虚部为45.【规律方法】处理有关复数的基本概念问题，关键是找准复数的实部和虚部，从定义出发，把复数问题转化成实数问题来处理.注意复数a＋bia，b∈R的虚部是b而不是bi；若复数a＋bia，b∈R是纯虚数，则需a＝0，且b≠0.－3解析：由题意，得3＋ii2＝－3－i，－3－i的实部为－3.【互动探究】1．(2014年湖南)复数3＋ii2(i为虚数单位)的实部等于________．考点2复数的模及几何意义例2：(1)(2013年四川)如图10-2-1，在复平面内，点A表)示复数z，则图中表示z的共轭复数的点是(图10-2-1A．AB．BC．CD．D解析：z的共轭复数与z实部相等，虚部相反，所对应的点与z所对应的点关于x轴对称．故选B.答案：B答案：C(2)(2013年山东)复数z＝2－i2i(i为虚数单位)，则|z|＝()A．25B.41C．5D.5解析：z＝2－i2i＝3－4ii＝3－4iii2＝4＋3i－1＝－4－3i，则|z|＝－42＋－32＝5.【规律方法】复数与复平面内的点是一一对应的，复数和复平面内以原点为起点的向量也是一一对应的，因此复数加减法的几何意义可按平面向量的加减法理解，利用平行四边形法则或三角形法则解决问题．复数z＝a＋bi的共轭复数为z－＝a－bi；复数与其共轭复数实部相等，虚部互为相反数；复数与其共轭复数关于实轴对称；复数与其共轭复数的模相等，即z＝z－＝a2＋b2.C【互动探究】2．(2014年江西)若复数z满足z(1＋i)＝2i(i为虚数单位)，则|z|＝()A．1B．2C.2D.3解析：由题意，得z＝2i1＋i＝2i1－i1＋i1－i＝i(1－i)＝1＋i，则|z|＝12＋12＝2.考点3复数的四则运算答案：B例3：(1)(2013年新课标Ⅰ)1＋2i1－i2＝()A．－1－12iB．－1＋12iC．1＋12iD．1－12i解析：1＋2i1－i2＝1＋2i－2i＝－2＋i2＝－1＋12i.(2)(2014年广东)已知复数z满足(3－4i)z＝25，则z＝()A．－3－4iB．－3＋4iC．3－4iD．3＋4i答案：D解析：方法一：由题意，得z＝253－4i＝253＋4i3－4i3＋4i＝253＋4i25＝3＋4i.故选D.方法二：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则(3－4i)z＝(3－4i)(a＋bi)＝(3a＋4b)＋(3b－4a)i＝25，由复数相等，得3a＋4b＝25，3b－4a＝0.解得a＝3，b＝4.因此z＝3＋4i.【规律方法】复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i；z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i；z1z2＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i；z1z2＝ac＋bd＋bc－adic2＋d2(c2＋d2≠0)．复数的运算要做到细心准确．复数的除法是重中之重！＋i＝(【互动探究】3．(2015年广东江门一模)i是虚数单位，11＋i)A.1＋i2B.1－i2AC.1＋3i2D.－1－i2●易错、易混、易漏●⊙对复数概念理解不透彻致误例题：(1)(2012年广东韶关三模)若复数z＝(x2－1)＋(x－1)i为纯虚数，则实数x的值为()A．－1C．1B．0D．－1或1答案：A正解：x2－1＝0，x－1≠0⇒x＝－1.故选A.答案：A正解：1－2＋i＝－2－i－22－i2＝－25－15i，虚部是－15.(2)(2012年广东东莞二模)复数1－2＋i的虚部是()A．－15B．－15iC.15D.15i【失误与防范】(1)两个复数不全为实数时不能比较大小，只有相等和不相等的关系．(2)复数a＋bi(a，b∈R)的虚部是b而不是bi.(3)对复数进行分类时要先将它整理成a＋bi(a，b∈R)的形式，判定一个复数是纯虚数需a＝0，且b≠0；判定一个复数是实数，仅根据虚部为零是不够的，还要保证实部有意义才行．