2016年《南方新课堂·高考总复习》数学(理科)-第一章-第3讲-充分条件与必要条件

第3讲充分条件与必要条件理解必要条件、充分条件与充要条件的意义．1．命题“若p，则q”为真命题时，记作p⇒q.2．若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的______条件；若既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q，则p是q的充要条件，q也是p的______条件．必要充要3．判断命题的充要关系主要有三种方法：定义法、等价法(利用逆否命题)和集合法(利用子集、真子集关系)．1．若a∈R，则“a＝2”是“(a－1)(a－2)＝0”的()AA．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．(2013年湖南)“1＜x＜2”是“x＜2”成立的()A．充分不必要条件AB．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：{x|1x2}⊆{x|x2}，所以“1＜x＜2”是“x＜2”成立的充分不必要条件．故选A.3．如果x，y是实数，那么“cosx＝cosy”是“x＝y”的()BA．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：x＝y⇒cosx＝cosy，而当cosx＝cosy时，不一定有x＝y，如cosπ3＝cos－π3.故选B.4．(2015年广东深圳一模)在四边形ABCD中，“AC→＝AB→＋AD→”是“ABCD是平行四边形”的()A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件5．“x2”是“1x12”的____________条件．B充分不必要考点1利用定义法判断充要关系例1：(2014年上海)设a，b∈R，则“a＋b4”是“a2，且b2”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案：B解析：若a2，且b2，则a＋b4；而a＋b4不能得到a2，且b2，如a＝4，b＝1.所以“a＋b4”是“a2,且b2”的必要不充分条件．故选B.【规律方法】充要条件的判断步骤：①确定条件是什么，结论是什么；②尝试从条件推结论，结论推条件；③确定条件与结论之间的关系．【互动探究】1．(2014年浙江)设四边形ABCD的两条对角线为AC，BD，则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的()AA．充分不必要条件C．充要条件B．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件解析：若四边形ABCD为菱形，则AC⊥BD；而当AC⊥BD时，四边形ABCD不一定为菱形，因为四边形ABCD有可能不是平面图形，所以“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的充分不必要条件．故选A.考点2利用等价法判断充要关系A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件例2：(2013年山东)给定两个命题p，q.若p是q的必要不充分条件，则p是q的()答案：A解析：若p是q的必要不充分条件，有p⇐q，其逆否命题为p⇒q，故p是q的充分不必要条件．故选A.【规律方法】对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想把抽象、复杂的问题形象化、直观化外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断所求命题的等价命题．【互动探究】2．(2013年上海)钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的()BA．充分条件B．必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：“便宜⇒没好货”的逆否命题是“好货⇒不便宜”，“不便宜”是“好货”的必要条件．故选B.考点3利用集合法判断充要关系例3：(2013年安徽)“(2x－1)x＝0”是“x＝0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案：B方法二：从集合的角度出发，(2x－1)x＝0相当于集合M＝0，12，而x＝0相当于集合N＝{0}，显然M⊇N，故“(2x－1)x＝0”是“x＝0”的必要不充分条件．故选B.解析：方法一：当(2x－1)x＝0时，得x＝0或x＝12，故不能推出x＝0；而当x＝0时，显然(2x－1)x＝0.故“(2x－1)x＝0”是“x＝0”的必要不充分条件．故选B.【规律方法】(1)如果命题成立与否与集合相关，此时常通过集合的关系来判断条件的充分性、必要性．(2)集合法：从集合观点看，建立与命题p，q相应的集合．p：A＝{x|p(x)成立}，q：B＝{x|q(x)成立}，那么若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；若AB，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件；若A＝B，则p是q的充要条件；若AB，且BA，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件．【互动探究】3．已知不等式|x－m|1成立的充分不必要条件是13x12，则m的取值范围是________．－12，43解析：∵13x12是|x－m|1成立的充分不必要条件，∴x|13x12是{x||x－m|1}的真子集．又∵{x||x－m|1}＝{x|－1＋mx1＋m}．∴－1＋m≤13，1＋m≥12.解得－12≤m≤43.∴m的取值范围是－12，43.●思想与方法●⊙利用分类讨论及转化化归思想求参数的范围例题：已知p：|1－2x|≤5，q：x2－4x＋4－9m2≤0.若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．解：解不等式，得p：－2≤x≤3.①当m0时，q：2－3m≤x≤2＋3m.若p是q的充分不必要条件，即p⇒q，等价于q⇒p.从而2－3m≥－2，2＋3m≤3，m0，解得0m≤13.②当m0时，q：2＋3m≤x≤2－3m.若p是q的充分不必要条件，即p⇒q，等价于q⇒p.从而2＋3m≥－2，2－3m≤3，m0，解得－13≤m0.③当m＝0时，q：x＝2，显然符合题意．综上所述，实数m的取值范围为－13≤m≤13.【规律方法】1p是q的充分条件，即p⇒q，其逆否命题为q⇒p，即q是p的充分条件，从而避免求补集.2将充要关系的判定转化为集合的包含关系：A⊆B，即A是B的充分条件，B是A的必要条件；A＝B，即A是B的充要条件.3解不等式时，要注意对参数m分类讨论.