2016年《南方新课堂·高考总复习》数学(理科)-第九章-第2讲-二项式定理

第2讲二项式定理1.能用计数定理证明二项式原理.2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.1.二项式定理(n∈N*)所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做(a＋b)n的二项式展开式.(a＋b)n＝C0nanb0＋C1nan－1b1＋…＋Crnan－rbr＋…＋Cnna0bn，2.二项式定理的特征(1)项数：二项式展开式共有_______项.中的第r＋1项.n＋1(3)二项式系数：二项展开式第r＋1项的二项式系数为_______.3.二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相(2)通项公式：Tr＋1＝Crnan－rbr(r＝0,1,2，…，n)表示展开式Crn等，即Crn＝Cn－rn.(2)增减性与最大值：当n是偶数时，中间一项的二项式系数、最大；当n是奇数时，中间两项的二项式系数相等且最大.(3)各二项式系数的和：C0n＋C1n＋C2n＋…＋Cnn＝_______，其中C0n＋C2n＋C4n＋…＝C1n＋C3n＋C5n＋…＝2n－1，即奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，都等于2n－1.2nBA.61B.62C.63D.642.(2013年上海)下列各式中，是(1＋x)10的二项展开式中的一项是()CA.45xB.90x2C.120x3D.252x41.C16＋C26＋C36＋C46＋C56的值为()解析：∵(1＋x)10的二项展开式的通项为Tk＋1＝Ck10xk，则T2＝C110x＝10x，T3＝C210x2＝45x2，T4＝C310x3＝120x3，T5＝C410x4＝210x4.故选C.3.(2013年大纲)(x＋2)8的展开式中x6的系数是()CA.28B.56C.112D.224CA.80B.－80C.40D.－40解析：展开式的通项为Tk＋1＝Ck8x8－k·2k＝2kCk8x8－k，当k＝2时，T2＋1＝22C28x8－2＝112x6.4.(2013年江西)x2－2x35展开式中的常数项为()考点1求二项展开式中特定项的系数或特定项答案：15例1：(1)(2013年天津)x－1x6的二项展开式中的常数项为________.解析：展开式的通项为Tk＋1＝Ck6x6－k－1xk＝Ck6(－1)k362kx.当6－32k＝0时，Tk＋1为常数项，即k＝4.则T5＝C46(－1)4＝15.答案：C(2)(2014年湖北)若二项式2x＋ax7的展开式中1x3的系数是84，则实数a＝()A.2B.54C.1D.24解析：因为Cr7(2x)rax7－r＝2ra7－rCr7x2r－7,2r－7＝－3，r＝2，所以22a5C27＝84，a5＝1，a＝1.【规律方法】解此类问题可以分两步完成：第一步是根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和k的隐含条件，即n，k均为非负整数，且n≥k)；第二步是根据所求的指数，再求特定项.【互动探究】1.(2013年安徽)若x＋a3x8的展开式中x4的系数为7，则实数a＝______.解析：展开式的通项为Tk＋1＝Ck8x8－ka3xk＝Ck8ak483kx.令8－43k＝4，则k＝3.故T3＋1＝C38a3x4＝56a3x4.依题意，得56a3＝7，故a＝12.122.(2014年新课标Ⅰ)(x－y)(x＋y)8的展开式中x2y7的系数为________.(用数字作答)－20解析：由题意，(x－y)(x＋y)8的展开式中得到x2y7可能为xC78xy7－yC68x2y6＝(C78－C68)x2y7＝－20x2y7，其系数为－20.考点2二项式系数和与各项的系数和例2：(1)若(2x＋1)n的展开式中各项系数之和为243，则n为()A.5B.6C.7D.8解析：设(2x＋1)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，令x＝1，则系数之和a0＋a1＋a2＋…＋an＝3n＝243＝35，则n＝5.故选A.答案：A(2)若(2x＋1)n的展开式中各项二项式系数之和为64，则n为()A.5B.6C.7D.8答案：B解析：展开式的二项式系数之和为C0n＋C1n＋C2n＋…＋Cnn＝2n＝64＝26，则n＝6.故选B.【互动探究】13.(2012年广东汕头测评)若(3＋2x)2012＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋a2012x2012，则(a0＋a2＋a4＋…＋a2012)2－(a1＋a3＋a5＋…＋a2011)2的值为_______.解析：对于原式，只需令x＝±1，得(a0＋a2＋a4＋…＋a2012)2－(a1＋a3＋a5＋…＋a2011)2＝(a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a2011＋a2012)(a0－a1＋a2－a3＋…－a2011＋a2012)＝(3＋2)2012(3－2)2012＝(－1)2012＝1.CA.2B.0C.－1D.－24.若(1－2x)2009＝a0＋a1x＋…＋a2009x2009(x∈R)，则a12＋a222＋…＋a200922009的值为()解析：令x＝0，则a0＝1.令x＝12，则a0＋a12＋a222＋…＋a200922009＝0.则a12＋a222＋…＋a200922009＝－1.故选C.考点3二项展开式中系数的最值问题(1)求n的值；(2)求展开式中二项式系数最大的项；(3)求展开式中系数最大的项.例3：已知x＋12xn的展开式中前三项的系数成等差数列.解：(1)由题设，x＋12xn的展开式的通项公式为：Tr＋1＝Crnxn－r12xr＝12rCrn32nrx.故C0n＋14C2n＝2×12C1n，即n2－9n＋8＝0.解得n＝8，n＝1(舍去).(2)展开式中二项式系数最大的为第五项，则T5＝124C483842x×4＝358x2.(3)设第r＋1项的系数最大，则12rCr8≥12r＋1Cr＋18，12rCr8≥12r－1Cr－18，即18－r≥12(r＋1)，12r≥19－r.解得r＝2或r＝3.故系数最大的项为T3＝7x5，T4＝772x.【规律方法】(1)求二项式系数最大项：①如果n是偶数，则中间一项第n2＋1项的二项式系数最大；②如果n是奇数，则中间两项第n＋12项与第n＋32项的二项式系数相等且最大.(2)求展开式系数最大的项：如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开式系数最大的项，一般采用待定系数法，设展开式各项系数分别为A1，A2，…，An＋1，且第k项系数最大，应用Ak≥Ak－1，Ak≥Ak＋1，从而解出k.【互动探究】项的最小的n为()BA.4B.5C.6D.75.(2013年辽宁)使得3x＋1xxn(n∈N*)的展开式中含有常数解析：展开式的通项为Tk＋1＝Ckn(3x)n－k1xxk＝Ckn3n－k52nkx.则当n－52k＝0时，Tk＋1为常数项，即k＝25n，则最小的n为5.●易错、易混、易漏●⊙二项式系数与系数混淆式中第三项的二项式系数为()例题：设5x－1xn的展开式的各项系数之和为64，则展开A.C23B.C33C.C26D.C36答案：A正解：令x＝1，则系数和为4n＝64，n＝3，第三项的二项式系数为C23.故选A.