2016年《南方新课堂·高考总复习》数学(理科)-第九章-第7讲-正态分布

第7讲正态分布利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.1.正态分布的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线.(1)我们称f(x)＝12πσ22()2ex(x∈R)[其中μ，σ(σ0)为参数](2)一般地，如果对于任何实数ab，随机变量X满足P(aX≤b)＝()bafxdx，那么称X的分布为正态分布，正态分布完全由参数μ和σ确定，因此正态分布常记作N(μ，σ2).如果随机变量X服从正态分布，记作X～N(μ，σ2).μ，σ分别表示总体的平均数(期望值)与标准差.(3)当μ＝0，σ＝1时的正态分布叫做标准正态分布，记作X～N(0,1).2.正态曲线的特点x＝μ1(1)曲线位于x轴上方，与x轴不相交.(2)曲线是单峰的，关于直线__________对称.(4)曲线与x轴之间的面积为_____.(5)当σ一定时，曲线随μ的变化沿x轴平移.(6)当μ一定时，曲线形状由σ确定：σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体分布越分散；σ越________，曲线越“高瘦”，表示总体分布越集中.(3)曲线在x＝μ处达到峰值1σ2π.小3.3σ原则(1)P(μ－σX≤μ＋σ)＝0.6826.(2)P(μ－2σX≤μ＋2σ)＝0.9544.(3)P(μ－3σX≤μ＋3σ)＝0.9974.1.正态曲线下、横轴上，从均值到＋∞的面积为()A.0.95BAB.0.5C.0.975D.不能确定(与标准差的大小有关)2.标准正态分布的均值与标准差分别为()A.0与1C.0与0B.1与0D.1与13.已知随机变量ξ服从正态分布N(0，σ2)，P(ξ2)＝0.023，)CA则P(－2≤ξ≤2)＝(A.0.477C.0.954B.0.628D.0.9774.已知随机变量X服从正态分布N(a,4)，且P(X1)＝0.5，)则实数a的值为(A.1C.2D.4B.3考点1正态分布密度函数形式例1：下列函数是正态分布密度函数的是()A.f(x)＝12πσ2()2exrB.f(x)＝2π2π22exC.f(x)＝122π2(1)4exD.f(x)＝12π22ex照上述选项是否符合.对于B，μ＝0，σ＝1，故选B.解析：根据正态分布密度函数的形式f(x)＝12πσ22()2ex，对答案：B【规律方法】明确正态密度函数f(x)＝12πσ22()2ex的形式.【互动探究】C)的平均数和标准差分别是(A.0和8C.0和2B.0和4D.0和01.正态总体的概率密度函数为f(x)＝18π28ex(x∈R)，则总体考点2正态分布的相关计算例2：已知随机变量X服从正态分布N(3,1)，且P(2≤x≤4))＝0.6826，则P(X4)＝(A.0.1588C.0.1586B.0.1587D.0.1585答案：B解析：根据正态分布的对称性，得P(x4)＝1－P2≤x≤42＝1－0.68262＝0.1587.【规律方法】对于正态分布的相关计算要充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1.①正态曲线关于直线x＝μ对称，从而在关于x＝μ对称区间上的概率相等；②P(xa)＝1－P(x≥a)，P(xμ－a)＝1－P(x≥μ－a).【互动探究】2.(2014年新课标Ⅰ)从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图(如图9-7-1)：图9-7-1(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数x和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数x，σ2近似为样本方差s2.①利用该正态分布，求P(187.8Z212.2)；②某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数，利用①的结果，求E(X).附：150≈12.2.若Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σZμ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σZμ＋2σ)＝0.9544.解：(1)抽取产品的质量指标值的样本平均数x和样本方差s2分别为x＝170×0.02＋180×0.09＋190×0.22＋200×0.33＋210×0.24＋220×0.08＋230×0.02＝200，s2＝(－30)2×0.02＋(－20)2×0.09＋(－10)2×0.22＋0×0.33＋102×0.24＋202×0.08＋302×0.02＝150.(2)由①知，P(187.8Z212.2)＝P(200－12.2Z200＋12.2)依题意知，X～B(100,0.6826)，所以E(X)＝100×0.6826＝68.26.考点3正态分布密度函数的性质密度函数图象如图9-7-2，则有()图9-7-2例3：设两个正态分布N(μ1，σ21)(σ10)和N(μ2，σ22)(σ20)的A.μ1μ2，σ1σ2B.μ1μ2，σ1σ2C.μ1μ2，σ1σ2D.μ1μ2，σ1σ2解析：因为正态曲线的图象关于直线x＝μ对称，由图则μ1μ2.又σ2越大，即方差越大，说明样本数据越发散，图象越矮胖；反之，σ2越小，即方差越小，说明样本数据越集中，图象越瘦高.答案：A【规律方法】曲线是单峰的，关于直线x＝μ对称.①当σ一定时，曲线随μ的变化沿x轴平移；②当μ一定时，曲线形状由σ确定：σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体分布越分散.C【互动探究】3.正态分布有两个参数μ与σ，()相应的正态曲线的形状)越扁平.(A.μ越大C.σ越大B.μ越小D.σ越小●易错、易混、易漏●⊙与正态分布结合的综合问题例题：佛山某学校的场室统一使用“佛山照明”的一种灯管，已知这种灯管使用寿命ξ(单位：月)服从正态分布N(μ,σ2)，且使用寿命不少于12个月的概率为0.8，使用寿命不少于24个月的概率为0.2.(1)求这种灯管的平均使用寿命μ；(2)假设一间功能室一次性换上4支这种新灯管，使用12个月时进行一次检查，将已经损坏的灯管换下(中途不更换)，求至少有两支灯管需要更换的概率.即这种灯管的平均使用寿命是18个月.(2)每支灯管使用12个月时已经损坏的概率为1－0.8＝0.2，假设使用12个月时该功能室需要更换的灯管数量为μ支，则μ～B(4,0.2)，故至少有两支灯管需要更换的概率p＝1－P(η＝0)－P(η＝1)【规律方法】此题的第1小题涉及正态分布，只需要根据正态曲线的对称性进行计算.正解：(1)∵ξ～N(μ，σ2)，P(ξ≥12)＝0.8，P(ξ≥24)＝0.2，∴P(ξ12)＝0.2，显然P(ξ12)＝P(ξ24).由正态分布密度函数的对称性可知，μ＝12＋242＝18，＝1－C040.84－C140.83×0.21＝113625.