【走向高考】2016高考数学二轮复习-第一部分-微专题强化练-专题6-三角变换、三角函数的图象与性质

走向高考·数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索高考二轮总复习第一部分微专题强化练一考点强化练第一部分6三角变换、三角函数的图象与性质考向分析考题引路强化训练231易错防范4考向分析1.以客观题形式考查：诱导公式、同角三角函数关系、三角函数的定义、图象变换、三角函数的性质，由图象求解析式．2．以大题形式考查三角函数的图象与性质，常常与解三角形及平面向量结合，考查三角恒等变换，图象变换及三角函数的性质，题型以中低档为主，复习的关键是熟练掌握基本概念，图形的分布变化规律和三角函数的基本性质.考题引路考例1(文)(2015·新课标Ⅰ理，2)sin20°cos10°－cos160°sin10°＝()A．－32B.32C．－12D.12[立意与点拨]考查诱导公式；两角和的正弦公式．解答本题先用诱导公式化为符合两角和与差的正弦或余弦公式形式，再套用公式求值．[答案]D[解析]原式＝sin20°cos10°＋cos20°sin10°＝sin30°＝12，故选D.(理)(2015·重庆理，9)若tanα＝2tanπ5，则cosα－3π10sinα－π5＝()A．1B．2C．3D．4[立意与点拨]该题考查了诱导公式的灵活运用以及两角和差的正弦公式，难度适中．解答本题应依据条件先用和角公式，将分子、分母展开化切，然后代入计算．[答案]C[解析]cosα－3π10sinα－π5＝sinα－3π10＋π2sinα－π5＝sinα＋π5sinα－π5＝sinα·cosπ5＋cosα·sinπ5sinα·cosπ5－cosα·sinπ5＝tanα＋tanπ5tanα－tanπ5＝3tanπ5tanπ5＝3.考例2(文)(2015·重庆理，18)已知函数f(x)＝sinπ2－xsinx－3cos2x.(1)求f(x)的最小正周期和最大值；(2)讨论f(x)在π6，2π3上的单调性．[立意与点拨]考查了三角恒等变换以及三角函数的图象性质，属于简单题型．解答本题第(1)问先利用诱导公式和倍角、和角公式化为一角一函形式，再依据三角函数性质解答．第(2)问依据函数y＝sinx的单调区间求解．[解析](1)f(x)＝12sin2x－3cos2x＝12sin2x－32(1＋cos2x)＝12sin2x－32cos2x－32＝sin(2x－π3)－32.因此f(x)的最小正周期为π，最大值为2－32.(2)当x∈[π6，2π3]时，0≤2x－π3≤π，从而当0≤2x－π3≤π2，即π6≤x≤5π12时，f(x)单调递增；当π2≤2x－π3≤π，即5π12≤x≤2π3时，f(x)单调递减，综上可知，f(x)在[π6，5π12]上单调递增；在[5π12，2π3]上单递递减．(理)(2015·天津理，15)已知函数fx＝sin2x－sin2x－π6，x∈R.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间－π3，π4上的最大值和最小值．[立意与点拨]考查两角和与差的正余弦公式；二倍角的正余弦公式；三角函数的图象与性质．解答本题先用倍角公式降幂，再用和角公式化为一角一函形式，最后利用单调性求最值．[解析](1)由已知，有f(x)＝1－cos2x2－1－cos2x－π32＝1212cos2x＋32sin2x－12cos2x＝34sin2x－14cos2x＝12sin2x－π6.所以f(x)的最小正周期T＝2π2＝π.(2)因为f(x)在区间－π3，－π6上是减函数，在区间－π6，π4上是增函数，f－π3＝－14，f－π6＝－12，fπ4＝34，所以f(x)在区间－π3，π4上的最大值为34，最小值为－12.易错防范案例1忽视角的范围致误已知sinα＝55，sinβ＝1010，且α、β为锐角，则α＋β＝________.[易错分析]本题解题中常因没有注意到sinα＝55，sinβ＝1010对角的范围的限制，造成错解．[解答]因为α、β为锐角，sinα＝5522＝sinπ4，所以cosα＝1－sin2α＝255，且0απ4，同理cosβ＝1－sin2β＝31010，且0βπ4.所以cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝255×31010－55×1010＝22.又因为0α＋βπ2，所以α＋β＝π4.[警示]对三角函数的求值问题，不仅要看已知条件中角的范围，还要挖掘隐含条件，根据三角函数值缩小角的范围；本题中(0，π)中角和余弦值一一对应，最好在求角时选择计算cos(α＋β)来避免增解．案例2变形不等价致误已知函数f(x)＝sin(3x＋π4)．(1)求f(x)的单调递增区间；(2)若α是第二象限角，f(α3)＝45cos(α＋π4)cos2α，求cosα－sinα的值．[易错分析]本题常见错误是变形过程不等价，盲目将等式两端的公因式约掉造成漏解．[解答](1)因为函数y＝sinx的单调递增区间为[－π2＋2kπ，π2＋2kπ]，k∈Z，由－π2＋2kπ≤3x＋π4≤π2＋2kπ，k∈Z，得－π4＋2kπ3≤x≤π12＋2kπ3，k∈Z.所以，函数f(x)的单调递增区间为[－π4＋2kπ3，π12＋2kπ3]，k∈Z.(2)由已知，有sin(α＋π4)＝45cos(α＋π4)(cos2α－sin2α)，所以sinαcosπ4＋cosαsinπ4＝45(cosαcosπ4－sinαsinπ4)(cos2α－sin2α)，即sinα＋cosα＝45(cosα－sinα)2(sinα＋cosα)．当sinα＋cosα＝0时，由α是第二象限角，知α＝3π4＋2kπ，k∈Z.此时，cosα－sinα＝－2.当sinα＋cosα≠0时，有(cosα－sinα)2＝54.由α是第二象限角，知cosα－sinα0，此时cosα－sinα＝－52.综上所述，cosα－sinα＝－2或－52.[警示]在三角恒等变形、三角函数的图象与性质问题解答过程中，要保证变形的等价，要注意角的范围．