高三数学第一轮复习：直线与圆

直线与圆的方程复习（一）直线的倾斜角α与斜率k求k方法：1.已知直线上两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），则k(x1≠x2)2.已知α时，k=tanα(α≠900)k不存在（α=900）3.直线Ax+By+C=0，B=0时,k不存在，B≠0时,k,求α方法：k不存在时，α=900，k≥0时,α=arctank；k＜0时，α=π+arctank.2121xxyyAB名称已知条件方程说明斜截式斜率k纵截距by=kx+b不包括y轴和平行于y轴的直线点斜式点P1(x1,y1)斜率ky-y1=k(x-x1)不包括y轴和平行于y轴的直线两点式点P1(x1,y1)和P2(x2,y2)不包括坐标轴和平行于坐标轴的直线截距式横截距a纵坐标b不包括坐标轴，平行于坐标轴和过原点的直线一般式Ax+By+C=0A、B不同时为0（二）直线方程121121xxxxyyyy1byaxl1∶y=k1x+b1l2∶y=k2x+b2l1∶A1x+B1y+C1=0l2∶A2x+B2y+C2=0l1与l2组成的方程组平行k1=k2且b1≠b2无解重合k1=k2且b1=b2有无数多解相交k1≠k2有唯一解垂直k1·k2=-1A1A2+B1B2=0有唯一解(三）1.位置关系判定方法：当直线不平行于坐标轴时（要特别注意这个限制条件）2121BBAA)0(2212121CCCBBAA212121CCBBAA0212121CCBBAA且或2.两条直线的交角公式(1)直线l1到l2的角:设直线l1，l2的斜率分别是k1、k2，则tanθ=(k1k2≠-1)(2)两条直线的夹角tanθ=(k1k2≠-1)2112kk1kk21121kkkk（四）点P(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离是两平行直线Ax+By+C1=0和Ax+By+C2=0间的距离为（五）直线过定点如直线（3m+4）x+(5-2m)y+7m-6=0,不论m取何值恒过定点（-1，2）2200BACByAxd2221BACCd六、直线系方程(1)与已知直线Ax+By+C=0平行的直线的设法:Ax+By+m=0(m≠C)(2)与已知直线Ax+By+C=0垂直的直线的设法:Bx-Ay+m=0七、关于对称（1）点关于点对称（2）线关于点对称（中点坐标公式）（3）点关于线对称（4）线关于线对称（中点在对称轴上、kk’=-1二个方程）几种特殊位置的对称已知曲线方程f(x,y)=0，则曲线f(x,y)=0：①关于x轴对称的曲线方程是f(x,-y)=0；②关于y轴对称的曲线方程是f(-x,y)=0；③关于原点对称的曲线方程是f(-x,-y)=0；④关于直线y=x对称的曲线方程是f(y,x)=0；⑤关于直线线y=-x对称的曲线方程是f(-y,-x)=0；⑥关于直线x=a对称的曲线方程是f(2a-x,y)=0；⑦关于直线y=b对称的曲线方程是f(x,2b-y)=0八、圆的标准方程：(x-a)2+(y-b)2=r2圆心（a,b）半径r＞0相应的参数方程为x=a+rcosα,y=b+rsinα(α为参数)圆的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F＞0)圆心（-D/2,-E/2）r=2422FED九、点与圆的位置关系设圆C∶(x-a)2+(y-b)2=r2，点M(x0，y0)到圆心的距离为d，则有：(1)d＞r,点M在圆外；(2)d=r,点M在圆上；(3)d＜r,点M在圆内．（十）直线与圆的位置关系设圆C∶(x-a)2+(y-b)2=r2，直线L的方程Ax+By+C=0，圆心(a，b)到直线L的距离为d,判别式为△，则有：(1)d＜r直线与圆相交；(2)d=r直线与圆相切:(3)d＞r直线与圆相离，即几何特征；弦长公式：或(1)△＞0直线与圆相交；(2)△=0直线与圆相切；(3)△＜0直线与圆相离，即代数特征，222drl十一、圆与圆的位置关系设圆C1：(x-a)2+(y-b)2=R2（R＞0）和圆C2：(x-m)2+(y-n)2=r2(r＞0)且设两圆圆心距为d，则有：（1）d＞R+r两圆外离；(2)d=R+r两圆外切；(3)│R-r│＜d＜│R＋r│两圆相交；(4)d=│R-r│两圆内切；(5)d＜│R-r│两圆内含.十二、圆的切线和圆系方程1．过圆上一点的切线方程：圆x2+y2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为x0x+y0y=r2(课本命题)．2．圆系方程：①设圆C1∶x2+y2+D1x+E1y+F1=0和圆C2∶x2+y2+D2x+E2y+F2=0．若两圆相交，则过交点的圆系方程为x2+y2+D1x+E1y+F1+λ（x2+y2+D2x+E2y+F2）=0(λ为参数，圆系中不包括圆C2，λ=-1为两圆的公共弦所在直线方程)．②设圆C∶x2+y2+Dx+Ey+F=0与直线l：Ax+By+C=0，若直线与圆相交，则过交点的圆系方程为x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0(λ为参数)．（十三）线性规则问题：1．判定区域（画可行域）：法1特殊点代入（同侧、异侧）法2A＞0时Ax+By+C＞0右侧;Ax+By+C＜0左侧法3B＞0时Ax+By+C＞0上方;Ax+By+C＜0下方2．求最优解步骤：（1）画可行域（2）平移（画好L0，平移）（3）求（解方程组，求最优解）（4）作答3．方法：平行移动法、逐步调整法、检验法.（难点是整数解问题）问题：246810246810xoyABC0.9x+y=0.40602843,9.0的最小值求变量满足下列条件，式中设zyxyxyxyxz例某纺纱厂生产甲、乙两种棉纱，已知生产甲种棉纱1吨需耗一级子棉2吨、二级子棉1吨；生产乙种棉纱需耗一级子棉1吨、二级子棉2吨，每1吨甲种棉纱的利润是600元，每1吨乙种棉纱的利润是900元，工厂在生产这两种棉纱的计划中要求消耗一级子棉不超过300吨、二级子棉不超过250吨.甲、乙两种棉纱应各生产多少，能使利润总额最大?产品资源甲种棉纱（吨）乙种棉纱（吨）资源限额（吨）一级子棉（吨）21300二级子棉（吨）12250利润（元）600900用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：简记为：画——移——求——答2、设z=0，画出直线l0；3、观察、分析，平移直线l0，从而找到最优解；4、利用最优解得出最大值及最小值.1、根据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）；例1已知△ABC的顶点A（3，4）、B（6，0）、C（-5，-2），求∠A的平分线AT所在的直线方程.变化:如已知点A的坐标，已知∠B、∠C的的平分线所在方程，如何求点B、C的坐标？例2已知L1：x+2my-1=0,L2:(3m-1)x-my-1=0,求:（1）直线L1的倾斜角;（2）m为何值时两直线平行、重合、相交、垂直？例3如果实数x,y满足x2+y2-4x+1=0,求:（1）最大值;（2）y-x最小值.yx练习：1.（1）一直线L过P（-2，2）且倾斜角是直线x-3y-6=0的倾斜角的一半，求直线L的方程.（2）一直线过点P(-3，4)且在两坐标轴上的截距相等，求此直线方程.（3）自点A(-3，3)发出的光线射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆x2+y2-4x-4y+7=0相切，求入射光线和反射光线所在的直线方程.2．已知△ABC三边所在直线方程为AB：3x+4y+12=0，BC：4x－3y+16=0，CA：2x+y－2=0求：（1）AC边上的高所在的直线方程；（2）∠ABC的平分线所在的直线方程；（3）AB与AC边上的中点连线所在的直线方程.3．圆的过点（－1，0）的最大弦长为m，最小的弦长为l，则m－l=.4．设圆上一点A（2，3）关于直线x+2y=0的对称点仍在圆上,且与直线x-y+1=0相交的弦长为，求圆方程.5．已知△ACB，CB=3，CA=4，AB=5，点P是△ACB内切圆上一点，求以PA、PB、PC为直径的三个圆的面积之和的最大和最小值.0126422yxyx226.已知x2+y2=9的内接△ABC中，A点的坐标是（－3，0），重心G的坐标是(-1,-1/2)，求：（1）直线BC的方程；（2）弦BC的长度.7.设圆满足：①截y轴所得的弦长为2；②被x轴分成的两段弧，其弧长的比为3∶1在满足条件①、②的所有圆中，求圆心到直线l∶x-2y=0的距离最小的圆的方程8.设A、B、C三点共线，C点内分AB为3比1，分别以AC、BC为直径在AB同侧作半圆O1、O2，如图所示，直线AD、BE分别为圆O1、O2切线，圆O3与圆O1、AD、BE都外切。证明：存在圆O4与圆O1、圆O2、圆O3及BE都外切.