高三数学一轮复习精品课件直线与圆、圆与圆的位置关系-新人教A版

第4课时直线与圆、圆与圆的位置关系1．直线与圆的位置关系基础知识梳理位置关系相离相切相交公共点个数个1个个几何特征(圆心到直线的距离d，半径r)d＝r代数特征(直线与圆的方程组成的方程组)无实数解有两组相同实数解有两组不同实数解02d＞rd＜r在求过一定点的圆的切线方程时，应注意什么？【思考·提示】应首先判断这点与圆的位置关系，若点在圆上，则该点为切点，切线只有一条；若点在圆外，切线应有两条．基础知识梳理2．圆与圆的位置关系基础知识梳理位置关系外离外切相交内切内含公共点个数01210几何特征(圆心距d，两圆半径R，r，R＞r)d＞R＋rR－r＜d＜R＋rd＝R－rd＜R－r代数特征(两个圆的方程组成的方程组)无实数解一组实数解两组实数解一组实数解无实数解d＝R＋r答案：D三基能力强化1．圆x2＋y2－4x＝0在点P(1，3)处的切线方程为()A．x＋3y－2＝0B．x＋3y－4＝0C．x－3y＋4＝0D．x－3y＋2＝02．(2009年高考陕西卷改编)过原点且倾斜角为45°的直线被圆x2＋y2－4y＝0所截得的弦长为()三基能力强化A.2B．2C.6D．22答案：D三基能力强化3．设直线过点(0，a)，其斜率为1，且与圆x2＋y2＝2相切，则a的值为()A．±4B．±22C．±2D．±2答案：C三基能力强化4．(教材习题改编)与圆x2＋y2－x＋2y＝0关于点(0,0)对称的圆的方程为________．答案：x2＋y2＋x－2y＝0三基能力强化5．已知圆C：(x－a)2＋(y－2)2＝4(a＞0)及直线l：x－y＋3＝0，当直线l被圆C截得的弦长为23时，a＝________.答案：2－1解决直线与圆的位置关系的问题时，要注意运用数形结合思想，既要充分运用平面几何中有关圆的性质，又要结合待定系数法运用直线方程中的基本数量关系，养成勤画图的良好习惯．课堂互动讲练考点一直线与圆的位置关系课堂互动讲练例1m为何值时，直线2x－y＋m＝0与圆x2＋y2＝5(1)无公共点；(2)截得的弦长为2；【思路点拨】利用几何图形解决问题．课堂互动讲练【解】(1)由已知，圆心为O(0,0)，半径r＝5，圆心到直线2x－y＋m＝0的距离d＝|m|22＋(－1)2＝|m|5，∴m5或m－5.故当m5或m－5时，直线与圆无公共点．课堂互动讲练∵直线与圆无公共点，∴dr，即|m|55，课堂互动讲练(2)如图，由平面几何垂径定理知r2－d2＝12，即5－m25＝1.得m＝±25，∴当m＝±25时，直线被圆截得的弦长为2.【规律小结】(1)直线与圆相交必须满足直线与圆的方程联立方程组有两组解，即消去一个变元的二次方程有两个不等实根，利用根与系数关系所求的参数m须检验对应方程判别式是否满足大于0；(2)在解决直线与圆相切时，要注意圆心与切点的连线与切线垂直这一结论；当直线与圆相交时，要注意圆心与弦的中点的连线垂直于弦这一结论．课堂互动讲练例1条件不变，试求在交点处两条半径互相垂直时m的值．课堂互动讲练互动探究解：如图，由于交点处两条半径互相垂直，∴弦与过弦两端的半径组成等腰直角三角形，课堂互动讲练∴d＝22r，即|m|5＝22·5，解得m＝±522.故当m＝±522时，直线与圆在两交点处的两条半径互相垂直．1．求圆的切线的方法(1)求圆的切线方程一般有两种方法：①代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式Δ＝0进而求得k.课堂互动讲练考点二圆的切线及弦长问题②几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，然后令d＝r，进而求出k.提醒：在利用点斜式求切线方程时，不要漏掉垂直于x轴的切线，即斜率不存在时的情况．课堂互动讲练(2)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＝r2上，则过M点的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.课堂互动讲练课堂互动讲练(1)几何法：设圆的半径为r，弦心距为d，弦长为L，则(L2)2＝r2－d2.(2)代数法：设直线与圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，联立方程组y＝kx＋b(x－x0)2＋(y－y0)2＝r2消y后得关于x的一元二次方程，从而求得x1＋x2，x1x2，则弦长为|AB|＝(1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1x2](k为直线斜率)．课堂互动讲练例2已知点M(3,1)，直线ax－y＋4＝0及圆(x－1)2＋(y－2)2＝4.(1)求过M点的圆的切线方程；(2)若直线ax－y＋4＝0与圆相切，求a的值；(3)若直线ax－y＋4＝0与圆相交于A，B两点，且弦AB的长为23，求a的值．【思路点拨】课堂互动讲练设出切线方程→利用圆心到直线距离等于半径求得参数→利用关系(L2)2＝r2－d2求得a值【解】(1)圆心C(1,2)，半径为r＝2，当直线的斜率不存在时，方程为x＝3.由圆心C(1,2)到直线x＝3的距离d＝3－1＝2＝r知，此时，直线与圆相切．当直线的斜率存在时，设方程为y－1＝k(x－3)，即kx－y＋1－3k＝0.课堂互动讲练即3x－4y－5＝0.故过M点的圆的切线方程为x＝3或3x－4y－5＝0.课堂互动讲练由题意知|k－2＋1－3k|k2＋1＝2，解得k＝34.∴方程为y－1＝34(x－3)，课堂互动讲练(2)由题意有|a－2＋4|a2＋1＝2，解得a＝0或a＝43.(3)∵圆心到直线ax－y＋4＝0的距离为|a＋2|a2＋1，∴(|a＋2|a2＋1)2＋(232)2＝4，解得a＝－34.【名师点评】(1)求过某点的切线问题，应首先确定点与圆的位置关系，再求直线方程，若点在圆上，则过该点的切线只有1条；若点在圆外，则过该点的切线有2条，此时应注意斜率不存在的情况．(2)有关弦的中点问题：圆心与弦的中点连线和已知直线垂直，利用这条性质可确定某些等量关系．课堂互动讲练讨论两圆的位置关系，可通过两圆方程联立的方程组的实数解个数来讨论．但一方面讨论实数解个数本身较繁，另一方面，有时单从实数解个数并不能完全反映两圆的位置关系，如两圆相离及内含，其对应方程组均无实数解．要区分它们，还需要验证某个圆心是否在另一个圆内．简单的方法是用圆心距与两圆半径的关系来讨论．课堂互动讲练考点三圆与圆的位置关系课堂互动讲练例3圆O1的方程为：x2＋(y＋1)2＝4，圆O2的圆心O2(2,1)．(1)若圆O2与圆O1外切，求圆O2的方程，并求内公切线的方程；(2)若圆O2与圆O1交于A、B两点，且|AB|＝22，求圆O2的方程．【思路点拨】求圆心距d与R＋r，R－r的关系．课堂互动讲练【解】(1)∵两圆外切，∴|O1O2|＝r1＋r2，r2＝|O1O2|－r1＝2(2－1)，故圆O2的方程是：(x－2)2＋(y－1)2＝4(2－1)2，两圆的方程相减，即得两圆内公切线的方程x＋y＋1－22＝0.(2)设圆O2的方程为：(x－2)2＋(y－1)2＝r22，∵圆O1的方程为：x2＋(y＋1)2＝4，此两圆的方程相减，即得两圆公共弦AB所在直线的方程：4x＋4y＋r22－8＝0.课堂互动讲练课堂互动讲练作O1H⊥AB，则|AH|＝12|AB|＝2，O1H＝2，由圆心O1(0，－1)到直线AB的距离得|r22－12|42＝2，得r22＝4或r22＝20.故圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4或(x－2)2＋(y－1)2＝20.【思维总结】两圆的公共弦所在的直线方程设圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，若两圆相交于A、B两点，则直线AB的方程可利用作差得到，即(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.(*)说明：方程(*)中D1－D2与E1－E2不同时为0，故方程(*)表示一条直线．而A、B两点坐标适合两圆方程，当然也适合方程(*)．故过A、B两点的直线方程为(*)．课堂互动讲练直线和圆的综合问题，涉及弦长问题、交点个数、向量问题，在解决这类问题时，利用直线方程和圆的方程的结合，借助于判别式求解一些参数取值范围．课堂互动讲练考点四直线与圆的综合问题课堂互动讲练例4(解题示范)(本题满分12分)已知过点A(0,1)且方向向量为a＝(1，k)的直线l与⊙C：(x－2)2＋(y－3)2＝1相交于M、N两点．(1)求实数k的取值范围；(2)求证：AM→·AN→为定值；(3)若O为坐标原点，且OM→·ON→＝12，求k的值．【思路点拨】写出直线方程代入圆的方程．课堂互动讲练【解】(1)∵直线l过点(0,1)且方向向量为a＝(1，k)，∴直线l的方程为y＝kx＋1.将其代入⊙C：(x－2)2＋(y－3)2＝1，得(1＋k2)x2－4(1＋k)x＋7＝0，①由题意，Δ＝[－4(1＋k)]2－4×(1＋k2)×70，得4－73k4＋73.4分课堂互动讲练(2)证明：利用切割线定理可以证明|AM→|·|AN→|＝|AT→|2＝7，AT为切线，T为切点．根据向量的运算：AM→·AN→＝|AM→|·|AN→|·cos0°＝7为定值.8分课堂互动讲练(3)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则由①得x1＋x2＝4＋4k1＋k2，x1x2＝71＋k2，∴OM→·ON→＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝4k(1＋k)1＋k2＋8＝12⇒k＝1(代入①检验符合题意).12分课堂互动讲练【误区警示】向量AM→，AN→同向其夹角为0°，不是180°.(本题满分12分)在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2＋y2－12x＋32＝0的圆心为Q，过点P(0,2)且斜率为k的直线与圆Q相交于不同的两点A、B.(1)求k的取值范围；课堂互动讲练高考检阅(2)是否存在常数k，使得向量OA→＋OB→与PQ→共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由．解：(1)圆的方程可写成(x－6)2＋y2＝4，所以圆心为Q(6,0)．过P(0,2)且斜率为k的直线方程为y＝kx＋2，2分代入圆的方程得x2＋(kx＋2)2－12x＋32＝0，整理得(1＋k2)x2＋4(k－3)x＋36＝0.①4分直线与圆交于两个不同的点A、B等价于课堂互动讲练课堂互动讲练Δ＝[4(k－3)]2－4×36(1＋k2)＝42(－8k2－6k)0，解得－34k0，即k的取值范围为(－34，0).6分(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则OA→＋OB→＝(x1＋x2，y1＋y2)，由方程①得，x1＋x2＝－4(k－3)1＋k2，②课堂互动讲练又y1＋y2＝k(x1＋x2)＋4,③而P(0,2)，Q(6,0)，PQ→＝(6，－2)，8分所以OA→＋OB→与PQ→共线等价于－2(x1＋x2)＝6(y1＋y2)，将②③代入上式，解得k＝－34，由(1)知k∈(－34，0)，故没有符合题意的常数k.12分1．圆的切线方程的求法(1)求过圆上的一点(x0，y0)的切线方程．先求切点与圆心连线的斜率k，由垂直若切线斜率不存在，则由图形写出切线方程x＝x0.规律方法总结关系知切线斜率为－1k，由点斜式方程可求切线方程．(2)求过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程．①几何方法当斜率存在时，设为k，切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y＋y0－kx0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，即可得出切线方程．规律方法总结②代数方法设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx－kx0＋y0，代入圆方程，得一个关于x的一元二次方程，由Δ＝0，求得k，切线方程即可求出．规律方法总结2．两圆位置关系的判断两圆(x－a1)2＋(y－b1)2＝r12(r10)，(x－a2)2＋(y－b2)2＝r22(r20)的圆心距为d，则(1)dr1＋r2⇔两圆外离；(2)d＝r1＋r2⇔两圆外切；(3)|r1－r2|dr1＋r2⇔两圆相交；(4)d＝|r1－r2|(r1≠r2)⇔两圆内切；(5)0≤d|r1－r2|(r1≠r2)⇔两圆内含(d＝0时为同心圆)．规律方法总结随堂