2016年《南方新课堂·高考总复习》数学(理科)-第八章-第5讲-直线、平面垂直的判定与性质

第5讲直线、平面垂直的判定与性质1．以空间直线、平面的位置关系及四个公理为出发点认识和理解空间中的垂直关系．2．理解直线和平面垂直、平面和平面垂直的判定定理．3．理解并能证明直线和平面垂直、平面和平面垂直的性质定理．4．能用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题．直线与平面垂直定义如果一条直线和平面内的任意一条直线都________，那么该直线与平面垂直判定1a与α内任何直线都垂直⇒a⊥α判定2⇒l⊥α判定3a∥b，a⊥α⇒b⊥α判定4α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β性质a⊥α，b∥α⇒a⊥b1．线面垂直与面面垂直垂直平面与平面垂直定义两个平面相交，所成的二面角是直二面角判定1两个平面相交，所成的二面角是直二面角判定2a⊂α，a⊥β⇒α⊥β性质α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β（续表）2.直线与平面所成的角(1)如果直线与平面平行或者在平面内，那么直线与平面所成的角等于0°.(2)如果直线和平面垂直，那么直线与平面所成的角等于90°.(3)平面的斜线与它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线与平面所成的角，其范围是(0°，90°)．斜线与平面所成的线面角是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角．3．二面角从一条直线出发的两个半平面组成的图象叫做二面角．从二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．平面角是直角的二面角叫做__________．直二面角)D1．垂直于同一条直线的两条直线一定(A．平行B．相交C．异面D．以上都有可能2．给定空间中的直线l及平面α，条件“直线l与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l与平面α垂直”的()CA．充要条件C．必要非充分条件B．充分非必要条件D．既非充分又非必要条件3．如图8-5-1，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列结论中正确的个数是()D图8-5-1①BD1⊥AC；②BD1⊥A1C1；③BD1⊥B1C.A．0个B．1个C．2个D．3个4．已知三条直线m，n，l,三个平面α，β，γ.下面四个命题中，正确的是()DA.α⊥γ，β⊥γ⇒α∥βB.m∥β，l⊥m⇒l⊥βC.m∥γ，n∥γ⇒m∥nD.m⊥γ，n⊥γ⇒m∥n考点1直线与平面垂直的判定与性质例1：(2014年山东)如图8-5-2，在四棱锥P-ABCD中，APE，F分别为线段AD，PC的中点．(1)求证：AP∥平面BEF；(2)求证：BE⊥平面PAC.图8-5-2⊥平面PCD，AD∥BC，AB＝BC＝12AD，证明：(1)如图D37，设AC∩BE＝O，连接OF，EC.由于E为AD的中点，AB＝BC＝12AD，AD∥BC，∴AEBC，∴四边形ABCE为平行四边形．又AE＝AB，则ABCE为菱形．∴O为AC的中点．又F是PC的中点，∴在△PAC中，PA∥OF.∵OF⊂平面BEF，且PA平面BEF，∴AP∥平面BEF.图D37(2)由题意知，ED∥BC，ED＝BC，∴四边形BCDE为平行四边形．因此BE∥CD.又AP⊥平面PCD，∴AP⊥CD，因此AP⊥BE.∵四边形ABCE为菱形，∴BE⊥AC.又AP∩AC＝A，AP，AC⊂平面PAC，∴BE⊥平面PAC.【规律方法】直线与直线垂直⇒直线与平面垂直⇒平面与平面垂直⇒直线与平面垂直⇒直线与直线垂直，通过直线与平面位置关系的不断转化来处理有关垂直的问题.出现中点时，平行要联想到三角形中位线，垂直要联想到三角形的高；出现圆周上的点时，联想到直径所对的圆周角为直角.【互动探究】1．如图8-5-3，PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，E，F分别是A在PB，PC上的射影，则下列结论中正确命题的个数是()图8-5-3①AF⊥PB；②EF⊥PC；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC.A．1个C．3个B．2个D．4个解析：①②③正确，又AF⊥平面PBC，假设AE⊥平面PBC，∴AF∥AE，显然不成立，故④错误．答案：C考点2平面与平面垂直的判定与性质例2：(2014年江苏)如图8-5-4，在三棱锥P-ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，已知PA⊥AC，PA＝6，BC＝8，DF＝5，求证：(1)直线PA∥平面DEF；(2)平面BDE⊥平面ABC.图8-5-4证明：(1)∵D，E分别是PC，AC的中点，∴PA∥DE.又DE⊂平面DEF，且PA⊄平面DEF，∴直线PA∥平面DEF.(2)由(1)知，PA∥DE.又PA⊥AC，∴DE⊥AC.又F是AB的中点，∴DE＝12PA＝3，EF＝12BC＝4.又DF＝5，∴DE2＋EF2＝DF2，即DE⊥EF.又EF∩AC＝E，∴DE⊥平面ABC.又DE⊂平面BDE，故平面BDE⊥平面ABC.【规律方法】证明两个平面互相垂直，就是证明一个平面经过另一个平面的一条垂线，从而将面面垂直的问题转化为线面垂直的问题.【互动探究】2．如图8-5-5，在立体图形D-ABC中，若AB＝CB，AD＝)CD，E是AC的中点，则下列结论正确的是(A．平面ABC⊥平面ABDB．平面ABD⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDED．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE图8-5-5解析：要判断两个平面的垂直关系，就需找一个平面内的一条直线与另一个平面垂直．因为AB＝CB，且E是AC的中点，所以BE⊥AC，同理有DE⊥AC，于是AC⊥平面BDE.因为AC在平面ABC内，所以平面ABC⊥平面BDE.又由于AC⊂平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE.故选C.答案：C考点3线面所成的角例3：如图8-5-6，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求A1B与平面A1B1CD所成的角．图8-5-6解：如图8-5-6，连接BC1，交B1C于点O，连接A1O，设正方体的棱长为a.由A1B1⊥B1C1，A1B1⊥B1B⇒A1B1⊥平面BCC1B1，BC1⊂平面BCC1B1.∴A1B1⊥BC1，BC1⊥B1C.∴BC1⊥平面A1B1CD.∴A1O为A1B在平面A1B1CD内的射影．∴∠BA1O为A1B与平面A1B1CD所成的角．在Rt△A1BO中，A1B＝2a，OB＝22a，则sin∠BA1O＝OBA1B＝12.又∠BA1O为锐角，∴∠BA1O＝30°.故A1B与平面A1B1CD所成的角为30°.【规律方法】求直线和平面所成的角时，应注意的问题是：先判断直线和平面的位置关系；当直线和平面斜交时，常有以下步骤：①作——作出或找到斜线与平面所成的角；②证——论证所作或找到的角为所求的角；③算——常用解三角形的方法求角；④结论——点明斜线和平面所成角的值．解析：如图D38，连接AC交BD于点O，连接C1O，过点C作CH⊥C1O于点H.图D38A.23B.33C.23D.13【互动探究】3．(2013年大纲)已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于()∵BD⊥AC，BD⊥AA1，AC∩AA1＝A⇒BD⊥平面ACC1A1，CH⊂平面ACC1A1⇒CH⊥BD，CH⊥C1O，BD∩C1O＝O⇒CH⊥平面C1BD.∴∠HDC为CD与平面BDC1所成的角．设AA1＝2AB＝2，则OC＝AC2＝22，C1O＝OC2＋CC21＝222＋22＝92＝322.由等面积法，得C1O·CH＝OC·CC1.∴322×CH＝22×2.∴CH＝23.∴sin∠HDC＝CHDC＝231＝23.故选A.●难点突破●⊙立体几何中的探究性问题例题：已知四棱锥P-ABCD的直观图及三视图如图8-5-7.(1)求四棱锥P-ABCD的体积；(2)若点E是侧棱PC的中点，求证：PA∥平面BDE；(3)若点E是侧棱PC上的动点，是否无论点E在什么位置，都有BD⊥AE？并证明你的结论．图8-5-7思维点拨：(1)由直观图三视图确定棱锥的底面和高，再求体积．(2)欲证PA∥平面BDE，需找一个经过PA与平面BDE相交的平面，结合E为PC的中点，AC与BD的交点为AC的中点，故取平面PAC.(3)“无论点E在PC上的什么位置，都有BD⊥AE”的含义是BD⊥平面PAC.(1)解：由四棱锥P­ABCD的直观图和三视图知，该四棱锥的底面是边长为1的正方形，侧棱PC⊥底面ABCD，且PC＝2，∴VP­ABCD＝13S四边形ABCD·PC＝23.(2)证明：如图8-5-8，连接AC，交BD于点F，则F为AC的中点．图8-5-8又∵E为PC的中点，∴PA∥EF.又PA⊄平面BDE，EF⊂平面BDE，∴PA∥平面BDE.(3)解：无论点E在什么位置，都有BD⊥AE.证明如下：∵四边形ABCD是正方形，∴BD⊥AC.∵PC⊥底面ABCD，且BD⊂平面ABCD，∴BD⊥PC.又AC∩PC＝C，∴BD⊥平面PAC.∵无论点E在PC上什么位置，都有AE⊂平面PAC，∴无论点E在PC上什么位置，都有BD⊥AE.