步步高第三章-3.4

§3.4定积分数学北（理）第三章导数及其应用基础知识题型分类思想方法练出高分知识回顾理清教材要点梳理基础知识·自主学习1．定积分的定义给定区间[a，b]上的函数y＝f(x)：将[a，b]分成n份，分点为a＝x0x1x2…xn－1xn＝b.第i个小区间为[xi－1，xi]，设其长度为Δxi，在这个小区间上取一点ξi，使f(ξi)在[xi－1，xi]上的值最大．设S＝f(ξ1)·Δx1＋f(ξ2)Δx2＋…＋f(ξi)Δxi＋…＋f(ξn)Δxn.在这个小区间上取一点ζi，使f(ζi)在[xi－1，xi]上的值最小，设s＝f(ζ1)Δx1＋f(ζ2)Δx2＋…＋f(ζi)Δxi＋…＋f(ζn)Δxn.基础知识题型分类思想方法练出高分知识回顾理清教材要点梳理基础知识·自主学习如果每次分割后，最大小区间长度趋于0，S与s的差也趋于0，此时S与s同时趋于，称A是函数y＝f(x)在区间[a，b)上的定积分．记作ʃbaf(x)dx，即ʃbaf(x)dx＝A.2．定积分的性质①ʃba1dx＝.②ʃbakf(x)dx＝.③ʃba[f(x)±g(x)]dx＝.④ʃbaf(x)dx＝＋.一个固定的常数Ab－akʃbaf(x)dxʃbaf(x)dx±ʃbag(x)dxʃcaf(x)dxʃbcf(x)dx基础知识题型分类思想方法练出高分知识回顾理清教材要点梳理基础知识·自主学习3．微积分基本定理如果连续函数f(x)是函数F(x)的导函数，即f(x)＝F′(x)，则有ʃbaf(x)dx＝F(b)－F(a)．基础知识题型分类思想方法练出高分题号答案解析12345C3基础知识·自主学习A(1)√(2)√(3)×(4)√(5)√(6)×夯实基础突破疑难夯基释疑xxxxxxdcosdcosdcosπ202π32π32π2π基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析题型一定积分的计算【例1】(1)设f(x)＝x2，x∈[0，1]，2－x，x∈1，2]，则ʃ20f(x)dx等于()A．34B．45C．56D．不存在(2)若定积分ʃm－2－x2－2xdx＝π4，则m等于()A．－1B．0C．1D．2思维启迪解析答案思维升华基础知识题型分类思想方法练出高分【例1】(1)设f(x)＝x2，x∈[0，1]，2－x，x∈1，2]，则ʃ20f(x)dx等于()A．34B．45C．56D．不存在(2)若定积分ʃm－2－x2－2xdx＝π4，则m等于()A．－1B．0C．1D．2题型分类·深度剖析题型一定积分的计算(1)利用定积分的性质和微积分基本定理计算；(2)利用定积分的几何意义计算．思维启迪解析答案思维升华基础知识题型分类思想方法练出高分【例1】(1)设f(x)＝x2，x∈[0，1]，2－x，x∈1，2]，则ʃ20f(x)dx等于()A．34B．45C．56D．不存在(2)若定积分ʃm－2－x2－2xdx＝π4，则m等于()A．－1B．0C．1D．2题型分类·深度剖析题型一定积分的计算(1)如图，思维启迪解析答案思维升华ʃ20f(x)dx＝ʃ10x2dx＋ʃ21(2－x)dx＝13x3|10＋2x－12x2|21＝13＋4－2－2＋12＝56.基础知识题型分类思想方法练出高分【例1】(1)设f(x)＝x2，x∈[0，1]，2－x，x∈1，2]，则ʃ20f(x)dx等于()A．34B．45C．56D．不存在(2)若定积分ʃm－2－x2－2xdx＝π4，则m等于()A．－1B．0C．1D．2题型分类·深度剖析题型一定积分的计算(2)根据定积分的几何意义知，思维启迪解析答案思维升华定积分ʃm－2－x2－2xdx的值就是函数y＝－x2－2x的图像与x轴及直线x＝－2，x＝m所围成图形的面积，y＝－x2－2x是一个半径为1的半圆，其面积等于π2，而ʃm－2－x2－2xdx＝π4，即在区间[－2，m]上该函数图像应为14个圆，于是得m＝－1，故选A.基础知识题型分类思想方法练出高分【例1】(1)设f(x)＝x2，x∈[0，1]，2－x，x∈1，2]，则ʃ20f(x)dx等于()A．34B．45C．56D．不存在(2)若定积分ʃm－2－x2－2xdx＝π4，则m等于()A．－1B．0C．1D．2题型分类·深度剖析题型一定积分的计算思维启迪解析答案思维升华CA(2)根据定积分的几何意义知，定积分ʃm－2－x2－2xdx的值就是函数y＝－x2－2x的图像与x轴及直线x＝－2,x＝m所围成图形的面积,y＝－x2－2x是一个半径为1的半圆，其面积等于π2，而ʃm－2－x2－2xdx＝π4，即在区间[－2，m]上该函数图像应为14个圆，于是得m＝－1，故选A.基础知识题型分类思想方法练出高分【例1】(1)设f(x)＝x2，x∈[0，1]，2－x，x∈1，2]，则ʃ20f(x)dx等于()A．34B．45C．56D．不存在(2)若定积分ʃm－2－x2－2xdx＝π4，则m等于()A．－1B．0C．1D．2题型分类·深度剖析题型一定积分的计算(1)计算定积分要先将被积函数化简后利用运算性质分解成几个简单函数的定积分，再利用微积分基本定理求解；(2)对函数图像和圆有关的定积分可以利用定积分的几何意义求解．思维启迪解析答案思维升华CA基础知识题型分类思想方法练出高分跟踪训练1(1)设f(x)＝lgx，x0，x＋ʃa03x2dx，x≤0，若f(f(1))＝1，则a＝________.(2)sinxdx＝________.解析(1)由题意知f(1)＝lg1＝0，题型分类·深度剖析102π2π∴f(0)＝0＋a3－03＝1，∴a＝1.(2)由于函数y＝sinx在区间[－π2，π2]上是一个奇函数，图像关于原点成中心对称，在x轴上方和下方面积相等，故该区间上定积分的值为面积的代数和，等于0，即sinxdx＝0.2π2π基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析题型二利用定积分求曲边梯形的面积【例2】如图所示，求由抛物线y＝－x2＋4x－3及其在点A(0，－3)和点B(3,0)处的切线所围成的图形的面积．思维启迪解析思维升华基础知识题型分类思想方法练出高分【例2】如图所示，求由抛物线y＝－x2＋4x－3及其在点A(0，－3)和点B(3,0)处的切线所围成的图形的面积．题型分类·深度剖析求出两切线交点M的坐标32，3，将积分区间分为两段0，32、32，3.思维启迪解析思维升华题型二利用定积分求曲边梯形的面积基础知识题型分类思想方法练出高分【例2】如图所示，求由抛物线y＝－x2＋4x－3及其在点A(0，－3)和点B(3,0)处的切线所围成的图形的面积．题型分类·深度剖析解由题意，知抛物线y＝－x2＋4x－3思维启迪解析思维升华在点A处的切线斜率是k1＝y′|x＝0＝4，题型二利用定积分求曲边梯形的面积在点B处的切线斜率是k2＝y′|x＝3＝－2.因此，抛物线过点A的切线方程为y＝4x－3，过点B的切线方程为y＝－2x＋6.基础知识题型分类思想方法练出高分【例2】如图所示，求由抛物线y＝－x2＋4x－3及其在点A(0，－3)和点B(3,0)处的切线所围成的图形的面积．题型分类·深度剖析设两切线相交于点M，由y＝4x－3，y＝－2x＋6思维启迪解析思维升华消去y，得x＝32，即点M的横坐标为32.题型二利用定积分求曲边梯形的面积在区间0，32上，曲线y＝4x－3在曲线y＝－x2＋4x－3的上方；在区间32，3上，曲线y＝－2x＋6在曲线y＝－x2＋4x－3的上方．基础知识题型分类思想方法练出高分【例2】如图所示，求由抛物线y＝－x2＋4x－3及其在点A(0，－3)和点B(3,0)处的切线所围成的图形的面积．题型分类·深度剖析思维启迪解析思维升华题型二利用定积分求曲边梯形的面积因此，所求的图形的面积是S＝[(4x－3)－(－x2＋4x－3)]dx＋[(－2x＋6)－(－x2＋4x－3)]dx230323＝x2dx＋(x2－6x＋9)dx＝98＋98＝94.230323基础知识题型分类思想方法练出高分【例2】如图所示，求由抛物线y＝－x2＋4x－3及其在点A(0，－3)和点B(3,0)处的切线所围成的图形的面积．题型分类·深度剖析对于求平面图形的面积问题，应首先画出平面图形的大致图形，然后根据图形特点，选择相应的积分变量及被积函数，并确定被积区间．思维启迪解析思维升华题型二利用定积分求曲边梯形的面积基础知识题型分类思想方法练出高分跟踪训练2已知函数y＝f(x)的图像是折线段ABC，其中A(0,0)、B(12，5)、C(1,0)．函数y＝xf(x)(0≤x≤1)的图像与x轴围成的图形的面积为________．解析由已知可得f(x)＝10x，x∈[0，12]，－10x＋10，x∈12，1]，题型分类·深度剖析则y＝xf(x)＝10x2，x∈[0，12]，－10x2＋10x，x∈12，1]，基础知识题型分类思想方法练出高分跟踪训练2已知函数y＝f(x)的图像是折线段ABC，其中A(0,0)、B(12，5)、C(1,0)．函数y＝xf(x)(0≤x≤1)的图像与x轴围成的图形的面积为________．画出函数图像，如图所示，题型分类·深度剖析54所求面积S＝(10x2)dx＋(－10x2＋10x)dx121210＝103x3＋－103x3＋5x2210121＝512＋(－103＋5)－(－103×18＋5×14)＝54.基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析题型三定积分在物理中的应用【例3】一物体做变速直线运动，其v－t曲线如图所示，则该物体在12s～6s间的运动路程为__________．思维启迪解析答案思维升华基础知识题型分类思想方法练出高分【例3】一物体做变速直线运动，其v－t曲线如图所示，则该物体在12s～6s间的运动路程为__________．题型分类·深度剖析从题图上可以看出物体在0≤t≤1时做加速运动，1≤t≤3时做匀速运动，3≤t≤6时也做加速运动，但加速度不同，也就是说0≤t≤6时，v(t)为一个分段函数，故应分三段求积分才能求出曲边梯形的面积．思维启迪解析答案思维升华题型三定积分在物理中的应用基础知识题型分类思想方法练出高分【例3】一物体做变速直线运动，其v－t曲线如图所示，则该物体在12s～6s间的运动路程为__________．题型分类·深度剖析由题图可知，v(t)＝2t0≤t≤121≤t≤313t＋13≤t≤6，思维启迪解析答案思维升华题型三定积分在物理中的应用因此该物体在12s～6s间运动的路程为s＝ʃv(t)dt＝ʃ2tdt＋ʃ312dt＋ʃ6313t＋1dt＝t2|＋2t|31＋16t2＋t|63＝494(m)．621121121基础知识题型分类思想方法练出高分【例3】一物体做变速直线运动，其v－t曲线如图所示，则该物体在12s～6s间的运动路程为__________．题型分类·深度剖析494m思维启迪解析答案思维升华题型三定积分在物理中的应用由题图可知，v(t)＝2t0≤t≤121≤t≤313t＋13≤t≤6，621121因此该物体在12s～6s间运动的路程为s＝ʃv(t)dt＝ʃ2tdt＋ʃ312dt＋ʃ6313t＋1dt＝t2|＋2t|31＋16t2＋t|63＝494(m)．121基础知识题型分类思想方法练出高分【例3】一物体做变速直线运动，其v－t曲线如图所示，则该物体在12s～6s间的运动路程为__________．题型分类·深度剖析定积分在物理方面的应用主要包括：①求变速直线运动的路程；②求变力所做的功．思维启迪解析答案思维升华题型三定积分在物理中的应用494m基础知识题型分类思想方法