高三数学一轮复习抛物线课件

•重点难点•重点：抛物线定义、几何性质及标准方程•难点：抛物线几何性质及定义的应用•知识归纳•1．抛物线的定义•平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉l)的距离的点的轨迹叫做抛物线．相等•2．抛物线的标准方程和几何性质(如下表所示)•误区警示•1．关于抛物线定义•要注意点F不在直线l上，否则轨迹不是抛物线，而是一条直线.•2．关于抛物线的标准方程•由于选取坐标系时，坐标轴有四种不同的方向，因此抛物线的标准方程有四种不同的形式，这四种标准方程的共同点在于：•(1)p的几何意义：焦参数p是焦点到准线的距离，所以p恒为正数．(2)方程右边一次项的变量与焦点所在坐标轴的名称相同，一次项系数的符号决定抛物线的开口方向.(3)焦点的非零坐标是一次项系数的14.•1．抛物线的焦点弦•若直线l过抛物线的焦点与抛物线相交于两点A、B，则线段AB通常称作抛物线的焦点弦，焦点与抛物线上任一点的连线段，通常称作抛物线的焦半径，涉及焦半径(或焦点弦)的问题，常考虑应用定义求解．•若抛物线y2＝2px(p0)的焦点弦为AB，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有如下结论：•①|AB|＝x1＋x2＋p；②y1y2＝－p2.直线l过抛物线y2＝2px(p0)的焦点Fp2，0时，常设l：x＝my＋p2以简化运算．•2．关于抛物线的最值问题•(1)A为抛物线弧内一定点，F为焦点，P为抛物线上任一点，求|PA|＋|PF|的最小值问题常用定义转化，由A向抛物线的准线作垂线与抛物线的交点为取到最小值的P点．•(2)直线l与抛物线无公共点，求抛物线上的点到l的最小值问题，一般可设出抛物线上的点，用点到直线距离公式转化为二次函数求最值，或设出与l平行且与抛物线相切的直线，转化为两平行直线间的距离，后者更简便．•3．抛物线的标准方程．•由于抛物线的标准方程有四种不同形式，故求抛物线标准方程时，一定要注意区分焦点在哪个轴上加以讨论．•4．韦达定理的应用．•凡涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率问题时要注意利用韦达定理，以避免求交点坐标的复杂运算．•[例1]已知动圆过点(1,0)，且与直线x＝－1相切，则动圆圆心的轨迹方程为()•A．x2＋y2＝1B．x2－y2＝1•C．y2＝4xD．x＝0•分析：由条件知，动圆圆心C到点(1,0)和直线x＝－1的距离相等，可用直译法求解，也可以用定义法求解．应注意圆锥曲线定义在解题中的应用．解析：触法一：设圆心坐标为(x，y)，由题意，x－(－1)＝x－12＋y2，整理得y2＝4x，故选C.解法二：动圆圆心C到定点(1,0)和定直线x＝－1距离相等，∴C点轨迹是以(1,0)为焦点，x＝－1为准线的抛物线，∴p＝2，∴方程为y2＝4x.答案：C•(文)抛物线x2＝－8y上一点P到焦点的距离为5，则点P的纵坐标为()•A．5B．－5•C．3D．－3•解析：抛物线的准线方程为y＝2，且点P到准线距离为5，∴yP＝－3.•答案：D(理)已知点P为抛物线y2＝2x上的动点，点P在y轴上的射影是M，点A的坐标是A(72，4)，则|PA|＋|PM|的最小值是()A.112B．4C.92D．5解析：如图，焦点F(12，0)，当P、A、F三点共线时|PA|＋|PM|才有最小值，此时|PA|＋|PM|＝|PA|＋|PF|－12，即|PA|＋|PM|的最小值为|FA|－12＝72－122＋42－12＝5－12＝92，故选C.答案：C[例2]双曲线x2m－y2n＝1(mn≠0)离心率为2，有一个焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，则mn的值为()A.316B.38C.163D.83分析：由双曲线的一个焦点与抛物线y2＝4x焦点F(1,0)重合知，双曲线焦点在x轴上，从而a2＝m，b2＝n，c2＝m＋n，e＝ca＝2.且m＋n＝1，可解得m、n的值．解析：由条件知m＋nm＝2m＋n＝1，解得m＝14n＝34.∴mn＝316.故选A.•答案：A•点评：解决这类问题一定要抓准各种曲线的基本量及其关系．•设斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F，且和y轴交于点A.若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为()•A．y2＝±4xB．y2＝±8x•C．y2＝4xD．y2＝8x解析：由已知抛物线焦点为Fa4，0，∴AF所在直线方程为y＝2x－a4，∴A0，－a2，∴S△OAF＝12×－a2·a4＝a216＝4，∴a2＝64，∴a＝±8，∴抛物线的方程为y2＝±8x.答案：B[例3]已知直线l与抛物线y2＝8x交于A，B两点，A(8,8)且直线l经过抛物线的焦点F，则线段AB的中点到准线的距离为()A.254B.252C.258D．25•分析：由直线l经过抛物线的焦点F及点A(8,8)可求l的方程，由l与抛物线方程联立可求得B点坐标(或依据根与系数关系，求得AB中点M的横坐标，进一步即可求得M到准线的距离)，M到准线的距离为|AB|.解析：因为抛物线的焦点为F(2,0)，则直线l的方程为y＝43(x－2)，由y＝43x－2y2＝8x解得B12，－2，所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝2＋8＋2＋12＝252，所以线段AB的中点到准线的距离为254，故选A.答案：A点评：抛物线的焦半径(焦点弦)有许多特殊性质，如(1)某点的焦半径等于这点到准线的距离，(2)抛物线y2＝2px(p0)的焦点弦AB，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p，x1x2＝p24.(3)AB为抛物线的焦点弦、F为焦点，A、B在准线上射影为C、D，AB的中点在准线上射影为N，则1|AF|＋1|BF|为定值；∠ANB＝90°，∠CFD＝90°等等，推证这些性质对提高解决抛物线问题的能力很有帮助．•已知抛物线y2＝2px(p0)的焦点为F，点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)、P3(x3，y3)在抛物线上，且2x2＝x1＋x3，则有•()•A．|FP1|＋|FP2|＝|FP3|•B．|FP1|2＋|FP2|2＝|FP3|2•C．2|FP2|＝|FP1|＋|FP3|•D．|FP2|2＝|FP1|·|FP3|解析：将2x2＝x1＋x3两边同时加上p得，2x2＋p2＝x1＋p2＋x3＋p2，∵P1、P2、P3在抛物线上，∴2|FP2|＝|FP1|＋|FP3|.答案：C[例4]设F(1,0)，M点在x轴上，P点在y轴上，且MN→＝2MP→，PM→⊥PF→.(1)当点P在y轴上运动时，求N点的轨迹C的方程；(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x3，y3)是曲线C上的三点，且|AF→|、|BF→|、|DF→|成等差数列，当AD的垂直平分线与x轴交于E(3,0)时，求B点的坐标．解析：(1)∵MN→＝2MP→，故P为MN中点．又∵PM→⊥PF→，P在y轴上，F为(1,0)，故M在x轴的负半轴上，设N(x，y)，则M(－x,0)，P0，y2，(x0)，∴PM→＝－x，－y2，PF→＝1，－y2，又∵PM→⊥PF→，∴PM→·PF→＝－x＋y24＝0，∴y2＝4x(x0)是轨迹C的方程．(2)抛物线C的准线方程是x＝－1，由抛物线定义知|AF→|＝x1＋1，|BF→|＝x2＋1，|DF→|＝x3＋1∵|AF→|、|BF→|、|DF→|成等差数列，∴x1＋1＋x3＋1＝2(x2＋1)，∴x1＋x3＝2x2又y12＝4x1，y22＝4x2，y32＝4x3，故y12－y32＝(y1＋y3)(y1－y3)＝4(x1－x3)，∴kAD＝y1－y3x1－x3＝4y1＋y3，∴AD的中垂线为y＝－y1＋y34(x－3)AD的中点x1＋x32，y1＋y32在其中垂线上，∴y1＋y32＝－y1＋y34x1＋x32－3.∴x2＝x1＋x32＝1.由y22＝4x2.∴y2＝±2.∴B点坐标为(1,2)或(1，－2)．(文)(2010·全国Ⅱ理)已知抛物线C：y2＝2px(p0)的准线为l，过M(1,0)且斜率为3的直线与l相交于点A，与C的一个交点为B.若AM→＝MB→，则p＝________.解析：如图，设B(x0，y0)，由题意知MK＝12BH，∴x0＋p2＝21＋p2，∴x0＝p2＋2.∵点B(x0，y0)在抛物线y2＝2px上，∴y0＝p2＋4p，又直线AB方程为y＝3(x－1)，将点B的坐标代入得p2＋4p＝3p2＋2－1，∵p0，∴p＝2.答案：2•(理)(09·湖北)如图，过抛物线y2＝2px(p0)的焦点F的直线与抛物线相交于M、N两点，自M、N向准线l作垂线，垂足分别为M1、N1.•(1)求证：FM1⊥FN1；•(2)记△FMM1、△FM1N1、△FNN1的面积分别为S1、S2、S3，试判断S22＝4S1S3是否成立，并证明你的结论．•解析：(1)证法一：由抛物线的定义得•|MF|＝|MM1|，|NF|＝|NN1|.•∴∠MFM1＝∠MM1F，∠NFN1＝∠NN1F.•如图，设准线l与x轴的交点为F1，•∵MM1∥NN1∥FF1，•∴∠F1FM1＝∠MM1F，∠F1FN1＝∠NN1F.•而∠F1FM1＋∠MFM1＋∠F1FN1＋∠NFN1＝180°，•即2∠F1FM1＋2∠F1FN1＝180°，•∴∠F1FM1＋∠F1FN1＝90°，即∠M1FN1＝90°，•故FM1⊥FN1.证法二：依题意，焦点为Fp2，0，准线l的方程为x＝－p2设点M，N的坐标分别为M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线MN的方程为x＝my＋p2，则有M1－p2，y1，N1－p2，y2，FM1→＝(－p，y1)，FN1→＝(－p，y2)，由x＝my＋p2y2＝2px，得y2－2mpy－p2＝0.于是，y1＋y2＝2mp，y1y2＝－p2.∴FM1→·FN1→＝p2＋y1y2＝p2－p2＝0，故FM1⊥FN1.(2)S22＝4S1S3成立，证明如下：证法一：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则由抛物线的定义得|MM1|＝|MF|＝x1＋p2，|NN1|＝|NF|＝x2＋p2.于是S1＝12·|MM1|·|F1M1|＝12(x1＋p2)|y1|，S2＝12·|M1N1|·|FF1|＝p2|y1－y2|，S3＝12·|NN1|·|F1N1|＝12(x2＋p2)|y2|.要证S22＝4S1S3，即证(p2|y1－y2|)2＝4×12(x1＋p2)|y1|·12(x2＋p2)|y2|即证14p2[(y1＋y2)2－4y1y2]＝[x1x2＋p2(x1＋x2)＋p24]|y1y2|.将x1＝my1＋p2x2＝my2＋p2与y1＋y2＝2mpy1y2＝－p2代入上式化简可得p2(m2p2＋p2)＝p2(m2p2＋p2)，此式恒成立．故S22＝4S1S3成立．证法二：如图，设直线MN的倾角为α，|MF|＝r1，|NF|＝r2，则由抛物线的定义得|MM1|＝|MF|＝r1，|NN1|＝|NF|＝r2.∵MM1∥NN1∥FF1.∴∠FMM1＝α，∠FNN1＝π－α.于是S1＝12r12sinα，S3＝12r22sin(π－α)＝12r22sinα.在△FMM1和△FNN1中，由余弦定理可得|FM1|2＝2r12－2r12cosα＝2r12(1－cosα)，|FN1|2＝2r22＋2r22cosα＝2r22(1＋cosα)．由(1)的结论，得S2＝12|FM1|·|FN1|，∴S22＝14|FM1|2·|FN1|2＝14·4r12·r22·(1－cosα)(1＋cosα)＝r12r22sin2α＝4S1S3，即S22＝4S1S3，得证．•一、选择题•1．(2010·北京崇文)已知点M(1,0)，直线l：x＝－1，点B是l上的动点，过点B垂直于y轴的直线与线段BM的垂直平分线交于点P