组合综合训练

典型例题一例1计算：（1）3101971002100ACC；（2）3103433CCC．分析：本题如果直接计算组合数，运算比较繁．本题应努力在式子中创造条件使用组合数的性质，第（1）题中，310097100CC，经此变形后，可继续使用组合数性质．第（2）题有两个考虑途径，一方面可以抓住项的变形4413nnnCCC，求和；另一方面，变形4433CC，接着453444CCC，463545CCC…，反复使用公式．解：（1）原式310133310131013101310131002100AAAACACC61133A．（2）原式4104114546444533CCCCCCC330411C．另一方法是：原式310353444CCCC31036463103545CCCCCC330411310410CCC．说明：利用第（2）小题的手段，我们可以得到组合数的一个常用的结论：1121mnmnmmmmmmCCCCC．左边1111112131112mnmnmnmmmmmmmmmmCCCCCCCC右边．典型例题二例2从7名男生5名女生中，选出5人，分别求符合下列条件的选法种数有多少种？（1）A、B必须当选；（2）A、B都不当选；（3）A、B不全当选；（4）至少有2名女生当选；（5）选出5名同学，让他们分别担任体育委员、文娱委员等5种不同工作，但体育委员由男生担任，文娱委员由女生担任．分析：本题是组合应用题中典型的选代表问题，通过一些明确的条件对结果进行限制．问题（1）A、B必须当选，它们就不必再考虑，只要再选出余下的代表．问题（2）A、B必须不当选，实际上就是去掉这几个元素不予考虑．问题（3）A、B不全当选可以从正反两方面考虑．从正面考虑可以按A、B全不选和A、B选一个分类，从反面考虑可用间接法，去掉A、B全选的情况．问题（4）可以按女生选2人、3人…进行分类，当然也可以从反面考虑用间接法．问题（5）可以先处理特殊位置的体育班委与文娱班委．解：（1）除A、B选出外，从其它10个人中再选3人，共有的选法种数为310C，120310C（种）．（2）去掉A、B，从其它10人中任选5人，共有的选法种数为：252510C（种）．（3）按A、B的选取情况进行分类：A、B全不选的方法数为510C，A、B选1人的方法数为41012CC，共有选法67241012510CCC（种）．本小题的另一解法：从12人中选5人的选法中去掉A、B全选的情况，所有选法只有672310512CC（种）．方法一：按女同学的选取情况分类：选2名女同学、3名男同学；选3名女同学2名男同学；选4名女同学1名男同学；选5名女同学．所有选法数为：59655174527353725CCCCCCC（种）．方法二：从反面考虑，用间接方法，去掉女同学不选或选1人的情况，所有方法总数为：596471557512CCCC（种）．（5）选出一个男生担任体育班委，再选出1名女生担任文娱班委，剩下的10人中任取3人担任其它3个班委．用分步计数原理可得到所有方法总数为：252003101517ACC（种）．说明：对于本题第（4）小题，“至少有2名女生当选”，我们可能还有另外一种考虑，先从5名女生中选出2人，然后在剩下的10人中任选3人，得到的方法数为120031025CC（种），与上述答案比较，结果明显增多了，为什么会出现以上情况？上述步骤得到的选取结果虽然符合了有2名女生的要求，但在计数时出现了重复，比如先选两女生为a、b，剩下的10人中如果又选出了女生c，与先选两名女生为a、c后又选出了女生b，出现了同样的结果，因为选取问题仅考虑选出了哪些元素，至于先选后选并不考虑．这里需要我们引起注意的是以后遇到“至少”类型的问题，一般采用分类法或间接法解决，在选取问题中尽可能避免出现重复计数，我们还可以进一步从下一个例子加深理解．典型例题三例3空间10个点，其中有5点在同一个平面内，其余无三点共线，四点共面，问以这些点为顶点，共可构成多少个四面体？分析：本题如果从正面考虑可以按5个共面的点的选用情况进行分类．如果从反面考虑用间接法，只要去掉从5个共面的点中任取四个点的情况，因为共面的四个点不能构成四面体的四个顶点．解：方法一：可以按共面的点取0个、1个、2个、3个进行分类，得到所有的取法总数为：2051535252535154505CCCCCCCC个．方法二：从10个点中任取4个点的方法数中去掉4个点全部取自共面的5个点的情况，得到所有构成四面体的方法数为：20545410CC（个）．说明：以几何为背景的此类应用题中，间接方法用得比较多，在考虑去掉不符合要求的选法时，既不能多去，也不能少去，此外有时还需去掉一些重复计数的情况．比如：四面体的顶点和各条棱的中点共10个点，任取其中的4个点，其中不共面的取法有多少种？我们可以从10个点中任取4点．共有410C种取法，然后去掉下面几种情况，4个点取在四面体的同一个面上，有464C种取法；四个中点连成平行四边形的情形，有3种取法，还有3点在四面体的一条棱上，另一点是其它点，不考虑已计算的四点在四面体同一面上的情况，共有6种取法．用间接法可得不同的取法共有：14163446410CC（种）．典型例题四例4在1，3，5，7，9中任取3个数字，在0，2，4，6，8中任取两个数字，可组成多少个不同的五位偶数．分析：因为零不能作首位数，所以是特殊元素，因此可以根据选零不选零为分类标准。解：第一类：五位数中不含数字零。第一步：选出5个数字，共有2435CC种选法．第二步：排成偶数—先排末位数，有12P种排法，再排其它四位数字，有44P种排法．∴441224351PPCCN（个）第二类：五位数中含有数字零．第一步：选出5个数字，共有1435CC种选法。第二步：排顺序又可分为两小类；（1）末位排零，有4411PP种排列方法；（2）末位不排零．这时本位数有11C种选法，而因为零不能排在首位，所以首位有13P种排法，其余3个数字则有33P种排法．∴)(3313441114352PPPPCCN∴符合条件的偶数个数为)(3313441114354412243521PPPPCCPPCCNNN4560（个）说明：本题也可以用间接法（即排除法）来解．请自行完成．典型例题五例5有12名划船运动员，其中3人只会划左舷，4人只会划右舷，其余5人既会划左舷也会划右舷。现在要从这12名运动员中选出6人平均分在左、右舷划船参加比赛，有多少种不同的选法？分析：设集合A={只会划左舷的3个人}，B={只会划右舷的4个人}，C={既会划左舷又会划右舷的5个人}先分类，以集合A为基准，划左舷的3个人中，有以下几类情况：①A中有3人；②A中有2人；C中有1人；③A中有1人，C中有2人；④C中有3人。第①类，划左舷的人已选定，划右舷的人可以在CB中选3人，即有39C种选法。因是分步问题，所以有3933CC种选法。第②类，划左舷的人在A中选2人，有23C种选法，在C中选1人，有15C种选法，划右舷的在CB中剩下的8个人中选3人，有38C种选法。因是分步问题，所以有381523CCC种选法。类似地，第③类，有372513CCC种选法。第④类有363503CCC种选法。因为是分类，所以一共有3635033725133815233933CCCCCCCCCCC种选法。解：3635033725133815233933CCCCCCCCCCC3214561013215671033216785332178912174200105084084种答：一共有2174种不同选法．说明：这种比较复杂的在若干个集合中选取元素的问题，只要能运用分类思想正确对所求选法分类，又能正确地根据题目要求合理地考察步骤，就可以顺利地求得解．在分类时，要注意做到既不重复也不遗漏．这里是以集合A为基准进行分类，也可以集合B或集合C为基准进行分类，其结果是相同的，但一般都选择元素个数较少的集合作为基准来分类，这样可以减少分类，方便运算．典型例题六例6甲、乙两队各出7名队员，按事先排好的顺序出场参加围棋擂台赛，双方由1号队员出赛，负者被淘汰，胜者再与负方2号队员比赛，…，直到一方队员全被淘汰为止，另一方获胜，形成一种比赛过程，试求所有可能出现的比赛过程的种类．分析与解：若甲队取胜，比赛结果可能是0:7，1:7，2:7，3:7，4:7，5:7，6:7．0:7只有一个过程；1:7共8场，乙队在前7场中胜一场，有17C种不同的过程；2:7共9场，乙队在前8场中胜二场，有28C种不同的过程；3:7共10场，乙队在前9场中胜三场，有39C种不同的过程；………………∴甲队取胜的过程种数是：.17161612511410392817CCCCCC类似乙队取胜也有同样的过程种数∴共有343221716种不同的比赛过程．说明：一个排列与另一个排列的区别有两点，一点是元素不同，另一点是顺序不同（在元素相同时）；而一个组合与另一个组合不同点仅是元素不同，由此可知，排列是有顺序问题，组合是无顺序问题．本题是一应用问题，根据实际确定是组合问题．典型例题七例7从1到9的九个数字中取三个偶数四个奇数，试问：（1）能组成多少个没有重复数字的七位数？（2）上述七位数中三个偶数排在一起的有几个？（3）（1）中的七位数中，偶数排在一起、奇数也排在一起的有几个？（4）（1）中任意两偶然都不相邻的七位数有几个？分析与解：（l）分步完成：第一步在4个偶数中取3个，可有34C种情况；第二步在5个奇数中取4个，可有45C种情况；第三步3个偶数，4个奇数进行排列，可有77P种情况，所以符合题意的七位数有100800774534PCC个．（2）上述七位数中，三个偶数排在一起的有1440033554534PPCC个．（3）上述七位数中，3个偶数排在一起，4个奇数也排在～起的有57602245342244334534PPPPPPCC个．（4）上述七位数中，偶数都不相邻，可先把4个奇数排好，再将3个偶数分别插入5个空档，共有28800353445PCP个．说明：对于有限制条件的排列问题，常可分步进行，先组合再排列，这是乘法原理的典型应用．典型例题八例86本不同的书，按照以下要求处理，各有几种分法？（1）一堆一本，一堆两本，一堆三本；（2）甲得一本，乙得两本，丙得三本；（3）一人得一本，一人得二本，一人得三本；（4）平均分给甲、乙、丙三人；（5）平均分成三堆．分析与解：（1）先在6本书中任取一本．作为一本一堆，有16C种取法，再从余下的五本书中任取两本，作为两本一堆，有25C种取法，再后从余下三本取三本作为一堆，有33C种取法，故共有分法60332516CCC种．（2）由（1）知．分成三堆的方法有332516CCC种，而每种分组方法仅对应一种分配方法，故甲得一本，乙得二本，丙得三本的分法亦为60332516CCC种．（3）由（1）知，分成三堆的方法有332516CCC种，但每一种分组方法又有33P不同的分配方案，故一人得一本，一人得两本，一人得三本的分法有36033332516PCCC（种）．（4）3个人一个一个地来取书，甲从6本不同的书本中任取出2本的方法有26C种，甲不论用哪一种方法取得2本书后，已再从余下的4本书中取书有24C种方法，而甲、乙不论用哪一种方法各取2本书后，丙从余下的两本中取两本书，有22C种方法，所以一共有90222426CCC种方法．（5）把6本不同的书分成三堆，每推二本与把六本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人二本的区别在于，后者相当于把六本不同的书，平均