四川省重点中学高2006级数学能力题训练四

四川省重点中学高2006级数学能力题训练四（由四川教科院组织名校教师联合编写）1.直线143xy与椭圆221169xy相交于A、B两点，该椭圆上点P，使得△APB的面积等于3，这样的点P共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个2.已知曲线axy2与其关于点(1,1)对称的曲线有两个不同的交点A和B，如果过这两个交点的直线的倾斜角是45，则实数a的值是（）A．1B．23C．2D．33.方程22)1()1(yxyx所表示的曲线是（）A．双曲线B．抛物线C．椭圆D．不能确定4.从－3，－2，－1，1，2，3中任取三个不同的数作为椭圆方程022cbyax中的系数，则确定不同椭圆的个数为（）A．20B．18C．9D．165.如果平面的一条斜线和它在这个平面上的射影的方向向量分别是a=（1，0，1），b=（0，1，1），那么这条斜线与平面所成的角是（）A．90°B．60°C．45°D．30°6.四面体的棱长中，有两条为32及，其余全为1时，它的体积（）A．122B．123C．121D．以上全不正确7.已知铜的单晶体的外形是简单几何体，单晶铜有三角形和八边形两种晶面，如果铜的单晶体有24个顶点，每个顶点处有3条棱，那么单晶铜的三角形晶面和八边形晶面的数目分别是（）A．6，8B．8，6C．8，10D．10，88.如图一，在△ABC中，AB⊥AC、AD⊥BC，D是垂足，则BCBDAB2（射影定理）。类似有命题：三棱锥A－BCD(图二)中，AD⊥平面ABC，AO⊥平面BCD，O为垂足，且O在△BCD内，则BCDBCOABCSSS2，上述命题是（）A．真命题B．假命题C．增加“AB⊥AC”的条件才是真命题D．增加“三棱锥A－BCD是正三棱锥”ABCDABCDO图一图二的条件才是真命题9.下列各式中，若1＜k＜n,与Cnk不等的一个是（）A．11nkCn+1k+1B．knCn－1k－1C．knnCn－1kD．1nnkCn－1k+110.从10名女学生中选2名，40名男生中选3名，担任五种不同的职务，规定女生不担任其中某种职务，不同的分配方案有（）A．P102P403B．C102P31P44C103C．C152C403P55D．C102C40311.如果一个三位正整数形如“321aaa”满足2321aaaa且，则称这样的三位数为凸数（如120、363、374等），那么所有凸数个数为（）A．240B．204C．729D．92012.使得多项式1125410881234xxxx能被5整除的最小自然数为（）A．1B．2C．3D．413.已知两个正数x,y满足x＋y=4，则使不等式yx41≥m，恒成立的实数m的取值范围是14.已知ab，a·b=1则baba22的最小值是15.已知圆C的方程为,222ryx定点M(x0,y0),直线200:ryyxxl有如下两组论断:第Ⅰ组第Ⅱ组(a)点M在圆C内且M不为圆心(1)直线l与圆C相切(b)点M在圆C上(2)直线l与圆C相交(c)点M在圆C外(3)直线l与圆C相离由第Ⅰ组论断作为条件,第Ⅱ组论断作为结论,写出所有可能成立的命题.(将命题用序号写成形如qp的形式)16.过直线x2上一点M向圆xy51122作切线，则M到切点的最小距离为_____.17.设曲线cxbxaxy23213在点x处的切线斜率为xk，且01k,对一切实数x，不等式1212xxkx恒成立（0a）.（1）求1k的值；（2）求函数xk的表达式；（3）求证：ninnik1221.18.m解关于x的不等式xmxmx12＞0.19.如图9-3，已知：射线OA为y=kx(k0，x0)，射线OB为y=－kx(x0)，动点P(x，y)在∠AOx的内部，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，四边形ONPM的面积恰为k.（1）当k为定值时，动点P的纵坐标y是横坐标x的函数，求这个函数y=f(x)的解析式；（2）根据k的取值范围，确定y=f(x)的定义域.20.已知A、B、C是长轴长为4的椭圆上的三点，点A是长轴的一个顶点，BC过椭圆中心O，如图，且AC·BC=0，|BC|=2|AC|，（1）求椭圆的方程；（2）如果椭圆上两点P、Q使∠PCQ的平分线垂直AO，则是否存在实数λ,使PQ=λAB？请说明理由..21.已知一条曲线上的每个点到A（0,2）的距离减去它到x轴的距离差都是2.（1）求曲线的方程;（2）讨论直线A(x－4)+B(y－2)=0(A，B∈R)与曲线的交点个数.22．如图所示，已知圆MAyxC),0,1(,8)1(:22定点为圆上一动点，点P在AM上，点N在CM上，且满足NAMNPAPAM点,0,2轨迹为曲线E.（1）求曲线E的方程；（2）若过定点F（0，2）的直线交曲线E于不同的两点G、H（点G在点F、H之间），且满足FHFG，求的取值范围.高三数学能力训练4参考答案123456789101112BCABBABADBAC13.m≤9/414.2215.)3()(),1()(),2()(cba916.4317.⑴解：cbxaxxk2，1212xxkx,1112111k,11k……4分(2)解：01k0cba21bxxk11k1cba21caxcxax212,161,0441,0212acaccxax，又16142caac即41,161,161161caacac22141412141xxxxk…………8分(3)证明:2141xxk，原式222134124114…214n2224131214…211n5414313214…211nn5141413131214…22224212142111nnnnnnn18.解：原不等式可化为xmxmx12＞0。即xmxmx12＞0x（mx－1）＞0……3分当m＞0时，解得x＜0或x＞m1……6分当m＜0时，解得m1＜x＜0……9分当m=0时，解得x＜0……11分综上，当m＞0时，不等式的解集为{xx＜0或x＞m1}当m＜0时，不等式的解集为{xm1＜x＜0}当m=0时,不等式的解集为{xx＜0.}……12分19.（1）设M(a，ka)，N(b，-kb)，(a0，b0)。则|OM|=a21k，|ON|=b21k。由动点P在∠AOx的内部，得0ykx。∴|PM|=21||kykx=21kykx，|PN|=21||kykx=21kykx∴S四边形ONPM=S△ONP+S△OPM=21（|OM|·|PM|+|ON|·|PN|）=21[a(kx-y)+b(kx+y)]=21[k(a+b)x-(a-b)y]=k∴k(a+b)x-(a-b)y=2k①又由kPM=-k1=axkay，kPN=k1=bxkby，分别解得a=21kkyx，b=21kkyx，代入①式消a、b，并化简得x2-y2=k2+1。∵y0，∴y=122kx（2）由0ykx，得0122kxkx222222101xkkxkx　　②1)1(12222kxkkx(*)当k=1时，不等式②为02恒成立，∴(*)x2。当0k1时，由不等式②得x22211kk，x2411kk，∴(*)12kx2411kk。当k1时，由不等式②得x22211kk，且2211kk0，∴(*)x12k但垂足N必须在射线OB上，否则O、N、P、M四点不能组成四边形，所以还必须满足条件：yk1x，将它代入函数解析式，得122kxk1x解得12kx1124kkk(k1)，或x∈k（0k≤1）.综上：当k=1时，定义域为{x|x2}；当0k1时，定义域为{x|12kx2411kk};当k1时，定义域为{x|12kx1124kkk}.20.⑴以O为原点，OA所在的直线为x轴建立如图所示的直角坐标系则A（2，0），设所求椭圆的方程为：224byx=1(0b2),由椭圆的对称性知|OC|=|OB|,由AC·BC=0得AC⊥BC，∵|BC|=2|AC|，∴|OC|=|AC|，∴△AOC是等腰直角三角形，∴C的坐标为（1，1），∵C点在椭圆上∴22141b=1,∴b2=34,所求的椭圆方程为43422yx=1……………5分（2）由于∠PCQ的平分线垂直OA（即垂直于x轴），不妨设直线PC的斜率为k，则直线QC的斜率为-k，直线PC的方程为：y=k(x-1)+1,直线QC的方程为y=-k(x-1)+1,由0431)1(22yxxky得：(1+3k2)x2-6k(k-1)x+3k2-6k-1=0（*）……………8分∵点C（1，1）在椭圆上，∴x=1是方程（*）的一个根，则其另一根为2231163kkk,设P（xP,yP）,Q(xQ,yQ),xP=2231163kkk,同理xQ=2231163kkk,kPQ=3131163311632)3116331163(2)(22222222kkkkkkkkkkkkkkxxkxxkxxyyQPQPQPQP………10分而由对称性知B(-1,-1),又A（2，0）∴kAB=31xy∴kPQ=kAB，∴AB与PQ共线，且AB≠0,即存在实数λ，使PQ=λAB.……12分21.解：（1）设点M(x,y)是曲线上任意一点,则22)2(yx-|y|=2，整理22)2(yx=|y|+2，所求曲线的方程.C1：当y0时，x2=8y；C2：当y0时，x=0.……………5分（2）直线A(x-4)+B(y-2)=0过定点(4,2)且A、B不同时为零，（数形结合）当B=0时，A0，直线x=4与曲线有1个的交点；……………7分当B0时，令k=-BA，则y=k(x-4)+2，与x2=8y联列：x2-8kx+32k-16=0当=0时，k=1，即A=-B时，直线与C1和C2各一个交点；当k1时，BA-1时，直线与C1两个交点，和C2一个交点；当21k1时，-1BA-21时，直线与C1两个交点，和C2一个交点；当k21时，BA-21时，直线与C1和C2各一个交点.……………10分直线与曲线有1个的交点,当B=0时，A0；直线与曲线有2个的交点,A=-B和BA-21；直线与曲线有3个的交点,-1BA-21和BA-1.……………12分22.解：（1）.0,2AMNPAPAM∴NP为AM的垂直平分线，∴|NA|=|NM|.…………………………2分又.222||||,22||||ANCNNMCN∴动点N的轨迹是以点C（－1，0），A（1，0）为焦点的椭圆.且椭圆长轴长为,222a焦距2c=2..1,1,22bca……………5分∴曲线E的方程为.1222yx………………6分（2）当直线GH斜率存在时，设直线GH方程为,12,222yxkxy代入椭圆方程得.230.034)21(222kkxxk得由设2212212211213,214),,(),,(kxxkkxxyxHyxG则……………………8分)2,()2,(,2211yxyxFHFG又2122221222122121)1(.,)1(,xxxxxxxxxxxxx，2222