全国高考数学考试客观性试题逐题讲评

全国高考数学考试客观性试题逐题讲评一、选择题（1）设集合22,1,,MxyxyxRyR，2,0,,NxyxyxRyR，则集合MN中元素的个数为（）A.1B.2C.3D.4讲解：在同一坐标系中，作出单位圆221xy和抛物线2yx的图形，易知它们有两个交点，应选B.评注：也可通过解如下方程组求解：2221,0.xyxy（2）函数sin2xy的最小正周期是（）A.2B.C.2D.4讲解：作出函数sin2xy的图象，易知最小正周期是2，应选C.评注：函数sin2xy的最小正周期是函数sin2xy的一半.(3)设数列na是等差数列，且26,a86a,nS是数列na的前n项的和，则（）A.45SSB.45SSC.65SSD.65SS讲解：由题意得28520,aaa即50,a于是4555SSaS，应选B.评注：一般解法是：设等差数列na的公差是d，则有已知，得116,76,adad解出18,2.ad于是414620,Sad5151020,Sad从而45SS，应选B.(4)圆2240xyx在点1,3P处的切线方程是（）A.320xyB.340xyC.340xyD.320xy讲解：显然，点1,3P的坐标不适合方程A,C，从而应否定A,C;将圆的方程化为22222xy，圆心2,0到直线340xy的距离为2224113d，不是圆的半径2，故应选D.评注：一般解法为：设圆的切线方程是3(1)ykx，即30kxyk，则圆心2,0到切线30kxyk的距离为2232,1kkdk解出3.3k(5)函数212log1yx的定义域是（）A.2,11,2B.2,11,2C.2,11,2D.2,11,2讲解：取1.5x，有12log1.250，否定C,D;取2x，有0y，否定B.应选A.评注：一般解法为：由题意得212log10x，即21122log1log1x，等价于2011x.(6)设复数z的幅角的主值为23，虚部为3，则2z（）A.223iB.232iC.223iD.232i讲解：设复数2213cossin3322zriri,则有332r，2.r于是22224cossin433zi44cossin33i=223i.应选A.评注：也可用代数形式：22131344223.2222ziii(7)设双曲线的焦点在x轴上，两条渐近线为12yx，则双曲线的离心率e（）A.5B.5C.52D.54讲解：设双曲线的方程是22221xyab，其两条渐近线为byxa，于是12ba，即有2ab，有222244()abca，2254ac，即eca52.应选C.评注：双曲线22221xyab对于的两条渐近线为22220xyab，也就是byxa.(8)不等式113x的解集为（）A.0,2B.2,02,4C.4,0D.4,20,2讲解：取1x，适合不等式，否定C;取3x，适合不等式，否定A,B.应选D.评注：一种直接解法是：由原不等式得113x或113x，即02x或42.x(9)正三棱锥的底面边长为2，侧面均为直角三角形，则此三棱柱的体积为（）A.223B.2C.23D.423讲解：显然，侧面是等腰直角三角形，其直角边为2，于是三棱柱的体积为112222.323V应选C.评注：本题的模型是正方体截下的一个，教室的一个墙角.当中的体积计算需要转换角度思考问题.(10)在ABC中，3,13,4ABBCAC，则边AC上的高为（）A.322B.332C.32D.33讲解：由余弦定理22243131cos2432A，得3sin23hA，有h332.应选B.评注：请读者自己补上几何图形.(11)设函数21,1,41,1,xxfxxx则使得()1fx的自变量x的取值范围为（）A.,20,10B.,20,1C.,21,10D.2,01,10讲解：取12x，有21()1.512f成立，否定C,D；取2x，有(2)42131f成立，否定B.应选A.评注：分段函数常考常新.本题也可给出直接解法，图象解法.(12)将4名教师分配到3所中学任教，每所中学至少1名教师，则不同的分配方案共有（）A.12种B.24种C36种D.48种讲解：本题可以给出一种直接解法234336,CP应选C.评注：请读者用文字语言表述234336CP的实际意义.再想想：解法34336P是否正确？二、填空题（13）用平面截半径为R的球，如果球心到平面的距离为2R，那么截得小圆的面积与球的表面积的比值为______________.讲解：设截得小圆的半径是r，球的半径是R,画一个轴截面图形.在RtABD中，显然，30ABD，于是3cos30.2rR故截得小圆的面积与球的表面积的比值为222134416rrRR，应填3.16评注：题中的RtABD就是我们常用的三角板模型，它是高考的热门话题.（14）函数sin3cosyxx在区间0,2上的最小值为_____________.讲解：将函数式变形为2sin()6yx.由02x，得2663x.于是，函数的最小值为1sin.62应填1.2评注：如果画出函数的图象，就可看出最小值对应的点是函数图象的左端点.（15）已知函数()yfx是奇函数，当0x时，()31xfx.设()fx的反函数是()ygx，则(8)g________.讲解：易求得：当0x时，()31xfx.这样由318x，解得(8)2.xgRrR/2DABC应填2.评注：反函数的定义域是原函数的值域.（16）设P是曲线24(1)yx上的一个动点，则点P到点0,1的距离与点P到y轴的距离之和的最小值是______________.讲解：显然，y轴是抛物线24(1)yx的准线，而(2,0)F是抛物线的焦点，于是MPMF.如图，5.MPMQMFMQQF应填5.评注：如果联想到抛物线的定义，就容易找到解题的开窍点.yxPQMF