高中数学解题思想方法(配方法)

高中数学解题思想方法我们遇到一个新问题时，总想用熟悉的题型去“套”，这只是满足于解出来，只有对数学思想、数学方法理解透彻及融会贯通时，才能提出新看法、巧解法。高考试题十分重视对于数学思想方法的考查，特别是突出考查能力的试题，其解答过程都蕴含着重要的数学思想方法。我们要有意识地应用数学思想方法去分析问题解决问题，形成能力，提高数学素质，使自己具有数学头脑和眼光。高考试题主要从以下几个方面对数学思想方法进行考查：①常用数学方法：配方法、消去法、换元法、待定系数法、数学归纳法、坐标法、参数法等；②数学逻辑方法：分析法、综合法、反证法、归纳法、演绎法等；③数学思维方法：观察与分析、概括与抽象、分析与综合、特殊与一般、类比、归纳和演绎等；④常用数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化（化归）思想等。一、配方法配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成“完全平方”）的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简。何时配方，需要我们适当预测，并且需要“凑（拆）”而“配”。Ⅰ、再现性题组：1.在正项等比数列{an}中，a1a5+2a3a5+a3a7=25，则a3＋a5＝_______。2.方程x2＋y2－4kx－2y＋5k＝0表示圆的充要条件是_____。A.14k1B.k14或k1C.k∈RD.k＝14或k＝13.已知sin4α＋cos4α＝1，则sinα＋cosα的值为______。A.1B.－1C.1或－1D.04.函数y＝log12(－2x2＋5x＋3)的单调递增区间是_____。A.（－∞,54]B.[54,+∞)C.(－12,54]D.[54,3)5.已知方程x2+(a-2)x+a-1=0的两根x1、x2，则点P(x1,x2)在圆x2+y2=4上，则实数a＝_____。Ⅱ、示范性题组：例1.已知长方体的全面积为11，其12条棱的长度之和为24，则这个长方体的一条对角线长为_____。A.23B.14C.5D.6【分析】先转换为数学表达式：设长方体长宽高分别为x,y,z，则211424()()xyyzxzxyz,而欲求对角线长xyz222，将其配凑成两已知式的组合形式可得。【解】xyz222＝…例2.设方程x2＋kx＋2=0的两根为p、q，若(pq)2+(qp)2≤7成立，求k的取值范围。【解】由韦达定理得：p＋q＝－k，pq＝2,(pq)2+(qp)2＝pqpq442()＝()()pqpqpq2222222＝[()]()pqpqpqpq2222222＝()k22484≤7，解得k≤－10或k≥10。又∵p、q为方程两实根，∴Δ＝k2－8≥0∴k的取值范围是：－10≤k≤－22或者22≤k≤10【注】实系数一元二次方程问题，注意Δ，恰当运用韦达定理；由已知的不等式联想到配方，表示成p＋q与pq的组合式。例3.设非零复数a、b满足a2＋ab＋b2=0，求(aab)1998＋(bab)1998。【分析】对已知式可以联想：变形为(ab)2＋(ab)＋1＝0，则ab＝ω（ω为1的立方虚根）；或配方为(a＋b)2＝ab。则代入所求式即得。【解】【注】配方，简化表达式；巧用1的立方虚根，计算高次幂；活用ω的性质。【另解】解出ab＝…后，用三角形式完成后面的运算：Ⅲ、巩固性题组：1.函数y＝(x－a)2＋(x－b)2（a、b为常数）的最小值为_____。A.8B.()ab22C.ab222D.最小值不存在2.α、β是方程x2－2ax＋a＋6＝0的两实根，则(α-1)2+(β-1)2的最小值是_____。A.－494B.8C.18D.不存在3.已知x、y∈R，且满足x＋3y－1＝0，则函数t＝2x＋8y有_____。A.最大值22B.最大值22C.最小值22B.最小值224.椭圆x2－2ax＋3y2＋a2－6＝0的一个焦点在直线x＋y＋4＝0上，则a＝_____。A.2B.－6C.－2或－6D.2或65.化简：218sin＋228cos的结果是_____。A.2sin4B.2sin4－4cos4C.－2sin4D.4cos4－2sin46.设F1和F2为双曲线x24－y2＝1的两个焦点，点P在双曲线上且满足∠F1PF2＝90°，则△F1PF2的面积是_________。7.若x－1，则f(x)＝x2＋2x＋11x的最小值为___________。8.已知2〈βα〈34π，cos(α-β)＝1213，sin(α+β)＝－35，求sin2α的值。(92年高考题)9.设二次函数f(x)＝Ax2＋Bx＋C，给定m、n（mn）,且满足A2[(m+n)2+m2n2]＋2A[B(m+n)－Cmn]＋B2＋C2＝0。①解不等式f(x)0；②是否存在一个实数t，使当t∈(m+t,n-t)时，f(x)0？若不存在，说出理由；若存在，指出t的取值范围。10.设s1，t1，m∈R，x＝logst＋logts，y＝logs4t＋logt4s＋m(logs2t＋logt2s),①将y表示为x的函数y＝f(x)，并求出f(x)的定义域；②若关于x的方程f(x)＝0有且仅有一个实根，求m的取值范围。