高三数学专题—集合与函数

第一讲集合与函数高考风向标本讲的主要内容是：集合的有关概念和运算，含有绝对值的不等式及一元二次不等式的解法，逻辑关联词，四种命题，充要条件．映射的概念，函数的概念，函数的单调性，反函数的概念，分数指数幂的概念和性质，指数函数的图象和性质，对数的定义和运算性质，对数函数的图象与性质，函数的一些应用．典型题选讲例１在ABC中，“BA”是“BAsinsin”的什么条件？讲解在ABC中，角A、B的对边分别是,abR是ABC的外接圆的半径．一方面，因为AB，所以ab,即BRARsin2sin2，亦即BAsinsin，从而ABC中ABBAsinsin。另一方面，因为BAsinsin，所以BRARsin2sin2，即ba，得AB，从而ABC中，BAsinsinAB。故ABC中，“BA”是“BAsinsin”的充要条件．点评试问：在ABC中，“BA”是“22coscosAB”的什么条件？例２试构造一个函数(),fxxD，使得对一切xD有|()||()|fxfx恒成立，但是()fx既不是奇函数又不是偶函数，则()fx可以是.讲解()fx的图像部分关于原点对称，部分关于y轴对称，如2||1()||1xxfxxx．点评本题是一道开放题，你能给出其它的答案吗？请不妨一试．例３某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，…，一直分裂下去．（１）用列表表示，1个细胞分裂1、2、3、4、5、6、7、8次后，得到的细胞个数；（２）用图像表示1个细胞分裂的次数n(nN＋)与得到的细胞个数y之间的关系；（３）写出得到的细胞个数y与分裂次数n之间的关系式，试用计算器算算细胞分裂15次、20次得到的细胞个数．讲解（１）利用正整指数幂的运算法则，可以算出1个细胞分裂1、2、3、4、5、6、7、8次后，得到的细胞个数，列表如下分裂次数12345678细胞个数248163264128256（２）细胞个数y与分裂次数n之间的关系式是y＝2n，nN＋．利用计算器可以算得215＝32768，220＝1048576．故细胞分裂15次、20次得到的细胞个数分别是32768个和1048576个．点评细胞分裂是一种很有趣的数学问题，我们也可以思考下面的类似的问题：一种专门占据内存的计算机病毒，开机时占据内存2KB，然后每3分钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机后经过______分钟，该病毒占据64MB内存（1MB=102KB）.例４已知函数13)(xxf的反函数)(1xfy，)13(log)(9xxg（１）若)()(1xgxf，求x的取值范围D；（２）设函数)(21)()(1xfxgxH，当Dx时，求)(xH的值域．讲解∵13)(xxf，∴)1(log)(31xxf．（１）∵)()(1xgxf即)13(log)1(log93xx．∴)13(log)1(log929xx，∴2(1)31,10.xxx解之得10x，∴1,0Dx．（２）∵)(21)()(1xfxgxH)1(log21)13(log39xx)1(log)13(log99xx113log9xx．1,0x令123113xxxt，显然在[0，1]递增，则有21t．∴2log)(09xH，即)(xH的值域为}2log0{9yy．例５某厂生产一种仪器，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品．根据经验知道，该厂生产这种仪器，次品率P与日产量x（件）之间大体满足关系：),(32),1(961NxcxNxcxxP（其中c为小于96的正常数）注：次品率生产量次品数P，如0.1P表示每生产10件产品，约有1件为次品．其余为合格品．已知每生产一件合格的仪器可以盈利A元，但每生产一件次品将亏损2A元，故厂方希望定出合适的日产量．（1）试将生产这种仪器每天的盈利额T（元）表示为日产量x（件）的函数；（2）当日产量为多少时，可获得最大利润？讲解（1）当xc时，23P，所以，每天的盈利额120332ATxAx;当1xc时，196Px，所以，每日生产的合格仪器约有1196xx件，次品约有196xx件．故，每天的盈利额113196962296AxTxAxxAxxx.综上，日盈利额T（元）与日产量x（件）的函数关系为：3,12960,xxAxcTxxc（2）由（1）知，当xc时，每天的盈利额为0．当1xc时，3296xTxAx．令96xt，则09695ct．故39611441144147969797202222tTtAtAtAAttt．当且仅当144tt，即1288tx即时，等号成立．所以（i）当88c时，max1472TA（等号当且仅当88x时成立）．（ii）当188c时，由1xc得129695ct，易证函数144gttt在(12,)t上单调递增（证明过程略）．所以，()96gtgc．所以，2114411441441892979796022961922ccTtAcAAtcc，即2max14418921922ccTAc．（等号当且仅当xc时取得）综上，若8896c，则当日产量为88件时，可获得最大利润；若188c，则当日产量为c时，可获得最大利润．点评分段函数是历年高考的热门话题，常考常新，值得我们在复课时认真对待．例６设二次函数),()(2Rcbcbxxxf，已知不论α，β为何实数，恒有.0)cos2(0)(sinff和（1）求证：;1cb（2）求证：;3c（3）若函数)(sinf的最大值为8，求b，c的值．讲解（1）由),()(2Rcbcbxxxf产生b+c，只要消除差异x，这可令.1x.0)1(,0)(sin1sin1ff恒成立且.0)1(,0)cos2(3cos21ff恒成立且从而知.1.01.0)1(cbcbf即（2）由.039,0)3(,0)cos2(cbff知又因为.3.1ccb（3）,)21()21(sinsin)1(sin)(sin222cccccf当.8)](sin[,1sinmaxf时由.01,81cbcb解得.3,4cb点评注意：ba且baba,这是用不等式证明等式的有效方法，很是值得重视.例７设f(x)=lgnnanxxx)1(21,aR,nN且n2.若f(x)当x(-,1)有意义，求a的取值范围．讲解f(x)当x(-,1)有意义，当且仅当1＋2x＋…＋(n-1)x＋anx0对x(-,1)恒成立．即函数g(x)=xn)1(＋xn)2(＋…＋xnn)1(＋a0对于任意的x(-,1)恒成立．因为g(x)在(-,1)上是减函数，其最小值为g(1)=n1＋n2＋…＋nn1＋a=21(n－1)＋a，所以g(x)0对x(-,1)恒成立的充要条件是21n＋a0，即a21n．故所求实数a的范围为（21n，+）．点评构造函数是应用函数思想解题的基础，怎么构造，构造怎样的函数完全因题而定．请读者注意，恒成立问题在高考中多次出现，其解题方法，很值得探究．例８函数fx()是定义在［0，1］上的增函数，满足fxfx()()22且f()11，在每个区间(,]12121ii（i1，2……）上，yfx()的图象都是斜率为同一常数k的直线的一部分．（１）f()0及f()12，f()14的值，并归纳出fii()(,,)1212的表达式;（２）直线xi12，xi121，x轴及yfx()的图象围成的矩形的面积为ai（i1，2……），记Skaaann()lim()12，求Sk()的表达式，并写出其定义域和最小值．讲解（１）为了求f()0，只需在条件fxfx()()22中，令0x，即有ff()()020，得f()00．由ff()()1212及f()11，得ff()()1212112．同理，ff()()1412124．归纳得fiii()(,,)121212．（２）12121iix时,fxkxii()()121211akiiiiiii121212121212121111[()]()()(,,)1421221kii.故{}an是首项为1214()k，公比为14的等比数列,所以Skaaakknn()lim()()()1212141142314.Sk()的定义域为0k1，当k1时取得最小值12.点评本题是２００４年北京高考数学第１８题，将函数与数列综合在一起，体现了数学知识交汇性，是一道既知识、又考能力的活题．针对性演练１．合,16,9,4,1P，若Pa，Pb，则Pba，则运算可能是（）(A)加法(B)减法(C)除法(D)乘法２．已知集合{1,2,3}A，{1,0,1}B，则满足条件(3)(1)(2)fff的映射:fAB的个数是()（A）2（B）4（C）5（D）7３．某天清晨，小鹏同学生病了，体温上升，吃过药后感觉好多了，中午时他的体温基本正常，但是下午他的体温又开始上升，直到半夜才感觉身上不那么发烫了.下面大致能上反映出小鹏这一天（0时—24时）体温的变化情况的图是()(A)(B)(C)(D)时0612182437体温(℃)37体温(℃)时0612182437时06121824体温(℃)37时06121824体温(℃)４．定义两种运算：ab22ab，2()abab，则函数2()(2)2xfxx为（）（A）奇函数（B）偶函数（C）奇函数且为偶函数（D）非奇函数且非偶函数５．偶函数()log||afxxb在(,0)上单调递增，则(1)fa与(2)fb的大小关系是()（A）(1)(2)fafb（B）(1)(2)fafb（C）(1)(2)fafb（D）(1)(2)fafb６．已知函数,),(DxxfyRy，且正数C为常数．对于任意的Dx1，存在一个Dx2，使Cxfxf21，则称函数)(xfy在D上的均值为C.试依据上述定义，写出一个均值为９的函数的例子：________________.7.绿缘商店每月向工厂按出厂价每瓶3元购进一种饮料。根据以前的统计数据，若零售价定为每瓶4元，每月可销售400瓶；若每瓶售价每降低0.05元，则可多销售40瓶。请你给该商店设计一个方案：每月的进货量当月销售完，销售价应定为多少元和从工厂购进多少瓶时，才可获得最大的利润？８．已知)(xfy定义域为R，且对任意的x、Ry，恒有)()()(yfxfxyf，1x时，0)(xf．（１）求)1(f的值，并证明)()1(xfxf；（２）求证：在)(1xfy的定义域内恒有)()()(2111211xfxfxxf．９．已知定义域为[0，1]的函数f(x)同时满足：（1）对于任意x∈[0，1]，总有f(x)≥0；（2）f(1)=1（3）若01x，02x，121xx，则有)()()(2121xfxfxxf（Ⅰ）试求f(0)的值；（Ⅱ）试求函数f(x)的最大值；（Ⅲ）试证明：满足上述条