高三全国统一标准测试·数学(文科A卷)

全国统一标准测试数学（文科A卷）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分，考试用时120分钟.第Ⅰ卷(选择题共60分)参考公式：sincos=21［sin(+)+sin(－)］cossin=21［sin(+)－sin(－)］coscos=21［cos(+)+cos(－)］sinsin=－21［cos(+)－cos(－)］sin+sin=2sin2cos2sin－sin=2cos2sin2cos+cos=2cos2cos2cos－cos=－2sin2sin2S台侧=21（c′+c)l(c、c′分别表示上、下底面周长，l表示斜高或母线长）V台体=31（S′+SS+S）h(S′、S分别表示上、下底面积，h表示高）如果事件A、B互斥，那么P（A+B）=P（A）+P（B）如果事件A、B相互独立，那么P（A·B）=P（A）·P（B）如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率Pn(k)=Cknpk(1－p)n－k一、选择题（本大题共12小题；每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.对于函数f(x)=lgsinx(2＜x＜)，下列说法中正确的是A.f(x)是增函数,且f(x)0B.f(x)是增函数,且f(x)0C.f(x)是减函数,且f(x)0D.f(x)是减函数,且f(x)02.设复数z1=2－i,已知|z2|=|z1|，且arg221zz，则复数z2的值为A.1+2iB.1－2iC.－1+2iD.－1－2i3.某地区高中分三类，A类校共有学生4000人，B类校共有学生2000人，C类校共有学生3000人.现欲抽样分析某次考试的情况，若抽取900份试卷进行分析，则从A类校抽取的试卷份数应为A.450B.400C.300D.2004.给定两个向量a=（3，4），b=（2，1），若（a+xb）⊥(a－b)，则x等于A.－3B.23C.3D.－235.对于定义在实数集R上的函数f(x)，如果存在实数x0，使f(x0)=x0,那么x0叫做函数f(x)的一个不动点.已知函数f(x)=x2+2ax+1不存在不动点，那么a的取值范围是A.(－23,21)B.(－21,23)C.(－1,1)D.(－∞,－1)∪(1,+∞)6.直线y=x+5与曲线259||2yxx=1的交点的个数是A.0B.1C.2D.37.点P在曲线y=x3－x+7上移动，过P点的切线的倾斜角取值范围是A.［0，)B.(0,2)∪［43,)C.［0,2)∪(2,43]D.［0,2)∪［43,)8.在等比数列{an}中，已知对任意自然数n，a1+a2+…+an=2n－1，则a12+a22+…+an2等于A.(2n－1)2B.31(2n－1)2C.4n－1D.31(4n－1)9.将一张坐标纸折叠一次，使点（0，5）与点（4，3）重合，则与点（－4，2）重合的点是A.（4，－2）B.（4，－3）C.（3，23）D.（3，－1）10.若偶函数f(x)在区间［－1，0］上是减函数，、是锐角三角形的两个内角，且≠，则下列不等式中正确的是A.f(cos)＞f(cos)B.f(sin)＞f(cos)C.f(sin)＞f(sin)D.f(cos)＞f(sin)11.如下图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是AB、CC1的中点，则异面直线A1C与EF所成角的余弦值为A.33B.32C.31D.6112.甲、乙两人同时从A地出发沿同一路线走到B地，所用时间分别为t1、t2，甲有一半时间以速度m行走，另一半时间以速度n行走（m≠n）；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走.则下列结论成立的是A.t1t2B.t1=t2C.t1t2D.t1、t2的大小无法确定第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题（本大题共4小题；每小题4分，共16分.把答案填在题中的横线上）13.若f(x)是R上的减函数，且f(x)的图象经过点A（0，3）和B（3，－1），则不等式|f(x+1)－1|＜2的解集是____________.14.已知f(x)=2x3－6x2+m(m为常数）在［－2，2］上有最大值3，那么此函数在［－2，2］上的最小值为____________.15.设函数f(x)=0,10,01,1xxx，则方程x+1=(2x－1)f(x)的解为____________.16.如图所示，在A、B间有四个焊接点，若焊接点脱落，则可能导致电路不通.今发现A、B之间线路不通，则焊接点脱落的不同情况有_________种.三、解答题（本大题共6小题；共74分.解答过程应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分12分）已知f(x)=xxxx2cos2sin22)cos(sin22，（Ⅰ）求f(x)的定义域、值域；（Ⅱ）若f(x)=2,－4＜x＜43,求x的值.18.（本小题满分12分）在袋里装30个小球，其中彩球有：n个红色、5个蓝色、10个黄色，其余为白色.求：（Ⅰ）如果已经从中取定了5个黄球和3个蓝球，并将它们编上了不同的号码后排成一排，那么使蓝色小球互不相邻的排法有多少种？(Ⅱ)如果从袋里取出3个都是相同颜色彩球（无白色）的概率是40613，且n≥2，计算红球有几个？(Ⅲ)根据（Ⅱ）的结论，计算从袋中任取3个小球至少有一个是红球的概率.19.（本小题满分12分）已知数列1，3，6…的各项是由一个等比数列和一个等差数列的对应项相加而得到，其中等差数列的首项为0.（Ⅰ）求这个数列的前n项和Sn；（Ⅱ）设Tn=2222nnSnn，问是否存在正整数M，使得对一切正整数n，Tn≤M都成立.如存在，求出M的最小值;如不存在，说明理由.（Ⅲ）求nlimTn的值.20.（注意：在以下甲、乙两题中任选一题作答.如果两题都作答，只以甲题记分，本小题满分12分）（甲）如图,已知正四棱锥S—ABCD，底面的中心O为坐标原点，建立空间直角坐标系O—xyz，其中Ox//BC、Oy//AB，四棱锥的底面的边长为4，高为6，点M是高SO的中点，G是侧面△SBC的重心.求（Ⅰ）MG两点间的距离；（Ⅱ）异面直线MG与BS所成的角.（乙）如图，三棱锥P—ABC中，△ABC是正三角形，∠PCA=90°，D为PA的中点，二面角P—AC—B为120°，PC=2，AB=23.（Ⅰ）求证：AC⊥BD；（Ⅱ）求BD与底面ABC所成角的正弦值.21.(本小题满分12分)给定双曲线x2－22y=1，（Ⅰ）过点A（2，1）的直线l与所给双曲线交于P1、P2，求线段P1P2的中点P的轨迹方程；（Ⅱ）过点B（1，1）能否作出直线l′，使l′与所给双曲线交于两点Q1、Q2,且B是线段Q1Q2的中点？说明理由.22.（本小题满分14分）已知函数f(x)=x4－4x3+ax2－1在区间［0,1)上单调递增，在区间［1，2）上单调递减.（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若点A（x0,f(x0)）在函数f(x)的图象上，求证点A关于直线x=1的对称点B也在函数f(x)的图象上；（Ⅲ）是否存在实数b，使得函数g(x)=bx2－1的图象与函数f(x)的图象恰有3个交点.若存在，请求出实数b的值；若不存在，试说明理由.参考答案一、选择题1.D2.D（根据复数乘除法的几何意义）3.B4.A5.A（已知条件等价于x2+2ax+1=x无实根，由此易得答案）6.B（可用数形结合的方法，曲线259||2yxx=1实际上是椭圆25922yx=1在一、四象限的部分和双曲线－25922yx=1在二、三象限的部分）7.D（过P点的切线的倾斜角正切值的范围即是y′=3x2－1的值域［－1,+∞）,由此得答案）8.D9.A（所求点是（－4，2）关于（0，5）与点（4，3）的中垂线的对称点）10.B（由已知，+是钝角，则有90°－，而正弦函数在第一象限是增函数，所以sinsin(90°－)，即sincos.又偶函数f(x)在区间［－1，0］上是减函数，所以函数f(x)在区间［0，1］上是增函数，因此选B）11.B（设异面直线A1C与EF所成角为θ，正方体棱长为1，CFBCEBEFBCABAACA,11,得2631EFCAcosθ=1，所以选B）12.C（设A、B两地的路程为2s，则21t1m+21t1n=2s和nsms=t2成立，由此得mnnmstnmst)(421.由此易证t1t2）二、填空题13.{x|－1＜x＜2}14.－3715.x=0，2或－417116.13三、解答题17.解：（Ⅰ）f(x)=xxxx2cos2sin22)cos(sin22=xxxxxx2sin2sin21coscossin2sin2222分=2)2sin1(2sin1xx3分=x2sin11.4分由1+sin2x≠0，得sin2x≠－1，∴2x≠2k－2.∴x≠k－4(k∈Z).∴f(x)的定义域为{x|x∈R，且x≠k－4,k∈Z}.6分∵0＜1+sin2x≤2，∴x2sin11≥21.∴f(x)的值域为{y|y≥21}.8分(Ⅱ)由f(x)=2，即x2sin11=2，得sin2x=－21.9分∵－4＜x＜43,－2＜2x＜23,10分∴2x=－6或2x=67,∴x=－12或x=127.12分18.解：(Ⅰ)将5个黄球排成一排只有A55种排法，将3个蓝球放在5个黄球所形成的6个空上，有A36种放法.∴所求的排法为A55A36=5×4×3×2×6×5×4=14400（种）.4分(Ⅱ)取3个球的种数为C330=4060,设“3个球全红色”为事件A，“3个球全蓝色”为事件B，“3个球全黄色”为事件C.P（B）=406010CC33035，P（C）=40601204060C310.∵A、B、C为互斥事件，∴P（A+B+C）=P（A）+P（B）+P（C）,即4060120406010)(40613APP（A）=0红球的个数≤2.又∵n≥2，故n=2.8分(Ⅲ)记“3个球中至少有一个是红球”为事件D，则D为“3个球中没有红球”，P（D）=1－P（D）=1－14528CC330328或P（D）=14528CCCCC3301282222812.12分19.解：（Ⅰ）设数列1，3，6，…为{An}，An=an+bn，其中{an}为等比数列，{bn}为等差数列，q、d分别为数列{an}、数列{bn}的公比与公差，而b1=0，且.62,3,11211111dbqadbqaba解之，得d1=1，q=2，a1=1.因而an=2n－1，bn=n－1.4分∴Sn=(a1+a2+…+an)+(b1+b2+…+bn)=(1+2+…+2n－1)+［0+1+…+(n－1)］=2n－1+2)1(nn.6分（Ⅱ）Tn=212125nn≤25，因此存在满足条件的正整数M,其中M的最小值是3.9分（Ⅲ）nlimTn=nlim（212125nn）=25.12分20.（甲）解：由已知得S坐标为（0，0，6），B（2，2，0），C（－2，2，0）.M是SO的中点,M（0，0，3）,G是△SBC的重心，∴G（0，34，2）.4分（Ⅰ）MG=.35)23()34(02226分（Ⅱ）|MG|=（0，34，－1）,BS=（－2，－2，6）.设（MG，BS）=，则cos=||||BSMGBSMG=55111311235326.10分又∵∈(0°,90°),∴=arccos(551113)或=－arccos(－551113)即为MG与BS所成的角.12分（乙）解:（Ⅰ）取AC中点E，连DE、BE，则DE∥PC，PC⊥AC,∴DE⊥AC.2分又△