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全国统一标准测试数学(文科A卷)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共150分,考试用时120分钟.第Ⅰ卷(选择题共60分)参考公式:sincos=21[sin(+)+sin(-)]cossin=21[sin(+)-sin(-)]coscos=21[cos(+)+cos(-)]sinsin=-21[cos(+)-cos(-)]sin+sin=2sin2cos2sin-sin=2cos2sin2cos+cos=2cos2cos2cos-cos=-2sin2sin2S台侧=21(c′+c)l(c、c′分别表示上、下底面周长,l表示斜高或母线长)V台体=31(S′+SS+S)h(S′、S分别表示上、下底面积,h表示高)如果事件A、B互斥,那么P(A+B)=P(A)+P(B)如果事件A、B相互独立,那么P(A·B)=P(A)·P(B)如果事件A在一次试验中发生的概率是P,那么在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率Pn(k)=Cknpk(1-p)n-k一、选择题(本大题共12小题;每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.对于函数f(x)=lgsinx(2<x<),下列说法中正确的是A.f(x)是增函数,且f(x)0B.f(x)是增函数,且f(x)0C.f(x)是减函数,且f(x)0D.f(x)是减函数,且f(x)02.设复数z1=2-i,已知|z2|=|z1|,且arg221zz,则复数z2的值为A.1+2iB.1-2iC.-1+2iD.-1-2i3.某地区高中分三类,A类校共有学生4000人,B类校共有学生2000人,C类校共有学生3000人.现欲抽样分析某次考试的情况,若抽取900份试卷进行分析,则从A类校抽取的试卷份数应为A.450B.400C.300D.2004.给定两个向量a=(3,4),b=(2,1),若(a+xb)⊥(a-b),则x等于A.-3B.23C.3D.-235.对于定义在实数集R上的函数f(x),如果存在实数x0,使f(x0)=x0,那么x0叫做函数f(x)的一个不动点.已知函数f(x)=x2+2ax+1不存在不动点,那么a的取值范围是A.(-23,21)B.(-21,23)C.(-1,1)D.(-∞,-1)∪(1,+∞)6.直线y=x+5与曲线259||2yxx=1的交点的个数是A.0B.1C.2D.37.点P在曲线y=x3-x+7上移动,过P点的切线的倾斜角取值范围是A.[0,)B.(0,2)∪[43,)C.[0,2)∪(2,43]D.[0,2)∪[43,)8.在等比数列{an}中,已知对任意自然数n,a1+a2+…+an=2n-1,则a12+a22+…+an2等于A.(2n-1)2B.31(2n-1)2C.4n-1D.31(4n-1)9.将一张坐标纸折叠一次,使点(0,5)与点(4,3)重合,则与点(-4,2)重合的点是A.(4,-2)B.(4,-3)C.(3,23)D.(3,-1)10.若偶函数f(x)在区间[-1,0]上是减函数,、是锐角三角形的两个内角,且≠,则下列不等式中正确的是A.f(cos)>f(cos)B.f(sin)>f(cos)C.f(sin)>f(sin)D.f(cos)>f(sin)11.如下图,正方体ABCD—A1B1C1D1中,E、F分别是AB、CC1的中点,则异面直线A1C与EF所成角的余弦值为A.33B.32C.31D.6112.甲、乙两人同时从A地出发沿同一路线走到B地,所用时间分别为t1、t2,甲有一半时间以速度m行走,另一半时间以速度n行走(m≠n);乙有一半路程以速度m行走,另一半路程以速度n行走.则下列结论成立的是A.t1t2B.t1=t2C.t1t2D.t1、t2的大小无法确定第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4小题;每小题4分,共16分.把答案填在题中的横线上)13.若f(x)是R上的减函数,且f(x)的图象经过点A(0,3)和B(3,-1),则不等式|f(x+1)-1|<2的解集是____________.14.已知f(x)=2x3-6x2+m(m为常数)在[-2,2]上有最大值3,那么此函数在[-2,2]上的最小值为____________.15.设函数f(x)=0,10,01,1xxx,则方程x+1=(2x-1)f(x)的解为____________.16.如图所示,在A、B间有四个焊接点,若焊接点脱落,则可能导致电路不通.今发现A、B之间线路不通,则焊接点脱落的不同情况有_________种.三、解答题(本大题共6小题;共74分.解答过程应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分12分)已知f(x)=xxxx2cos2sin22)cos(sin22,(Ⅰ)求f(x)的定义域、值域;(Ⅱ)若f(x)=2,-4<x<43,求x的值.18.(本小题满分12分)在袋里装30个小球,其中彩球有:n个红色、5个蓝色、10个黄色,其余为白色.求:(Ⅰ)如果已经从中取定了5个黄球和3个蓝球,并将它们编上了不同的号码后排成一排,那么使蓝色小球互不相邻的排法有多少种?(Ⅱ)如果从袋里取出3个都是相同颜色彩球(无白色)的概率是40613,且n≥2,计算红球有几个?(Ⅲ)根据(Ⅱ)的结论,计算从袋中任取3个小球至少有一个是红球的概率.19.(本小题满分12分)已知数列1,3,6…的各项是由一个等比数列和一个等差数列的对应项相加而得到,其中等差数列的首项为0.(Ⅰ)求这个数列的前n项和Sn;(Ⅱ)设Tn=2222nnSnn,问是否存在正整数M,使得对一切正整数n,Tn≤M都成立.如存在,求出M的最小值;如不存在,说明理由.(Ⅲ)求nlimTn的值.20.(注意:在以下甲、乙两题中任选一题作答.如果两题都作答,只以甲题记分,本小题满分12分)(甲)如图,已知正四棱锥S—ABCD,底面的中心O为坐标原点,建立空间直角坐标系O—xyz,其中Ox//BC、Oy//AB,四棱锥的底面的边长为4,高为6,点M是高SO的中点,G是侧面△SBC的重心.求(Ⅰ)MG两点间的距离;(Ⅱ)异面直线MG与BS所成的角.(乙)如图,三棱锥P—ABC中,△ABC是正三角形,∠PCA=90°,D为PA的中点,二面角P—AC—B为120°,PC=2,AB=23.(Ⅰ)求证:AC⊥BD;(Ⅱ)求BD与底面ABC所成角的正弦值.21.(本小题满分12分)给定双曲线x2-22y=1,(Ⅰ)过点A(2,1)的直线l与所给双曲线交于P1、P2,求线段P1P2的中点P的轨迹方程;(Ⅱ)过点B(1,1)能否作出直线l′,使l′与所给双曲线交于两点Q1、Q2,且B是线段Q1Q2的中点?说明理由.22.(本小题满分14分)已知函数f(x)=x4-4x3+ax2-1在区间[0,1)上单调递增,在区间[1,2)上单调递减.(Ⅰ)求a的值;(Ⅱ)若点A(x0,f(x0))在函数f(x)的图象上,求证点A关于直线x=1的对称点B也在函数f(x)的图象上;(Ⅲ)是否存在实数b,使得函数g(x)=bx2-1的图象与函数f(x)的图象恰有3个交点.若存在,请求出实数b的值;若不存在,试说明理由.参考答案一、选择题1.D2.D(根据复数乘除法的几何意义)3.B4.A5.A(已知条件等价于x2+2ax+1=x无实根,由此易得答案)6.B(可用数形结合的方法,曲线259||2yxx=1实际上是椭圆25922yx=1在一、四象限的部分和双曲线-25922yx=1在二、三象限的部分)7.D(过P点的切线的倾斜角正切值的范围即是y′=3x2-1的值域[-1,+∞),由此得答案)8.D9.A(所求点是(-4,2)关于(0,5)与点(4,3)的中垂线的对称点)10.B(由已知,+是钝角,则有90°-,而正弦函数在第一象限是增函数,所以sinsin(90°-),即sincos.又偶函数f(x)在区间[-1,0]上是减函数,所以函数f(x)在区间[0,1]上是增函数,因此选B)11.B(设异面直线A1C与EF所成角为θ,正方体棱长为1,CFBCEBEFBCABAACA,11,得2631EFCAcosθ=1,所以选B)12.C(设A、B两地的路程为2s,则21t1m+21t1n=2s和nsms=t2成立,由此得mnnmstnmst)(421.由此易证t1t2)二、填空题13.{x|-1<x<2}14.-3715.x=0,2或-417116.13三、解答题17.解:(Ⅰ)f(x)=xxxx2cos2sin22)cos(sin22=xxxxxx2sin2sin21coscossin2sin2222分=2)2sin1(2sin1xx3分=x2sin11.4分由1+sin2x≠0,得sin2x≠-1,∴2x≠2k-2.∴x≠k-4(k∈Z).∴f(x)的定义域为{x|x∈R,且x≠k-4,k∈Z}.6分∵0<1+sin2x≤2,∴x2sin11≥21.∴f(x)的值域为{y|y≥21}.8分(Ⅱ)由f(x)=2,即x2sin11=2,得sin2x=-21.9分∵-4<x<43,-2<2x<23,10分∴2x=-6或2x=67,∴x=-12或x=127.12分18.解:(Ⅰ)将5个黄球排成一排只有A55种排法,将3个蓝球放在5个黄球所形成的6个空上,有A36种放法.∴所求的排法为A55A36=5×4×3×2×6×5×4=14400(种).4分(Ⅱ)取3个球的种数为C330=4060,设“3个球全红色”为事件A,“3个球全蓝色”为事件B,“3个球全黄色”为事件C.P(B)=406010CC33035,P(C)=40601204060C310.∵A、B、C为互斥事件,∴P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C),即4060120406010)(40613APP(A)=0红球的个数≤2.又∵n≥2,故n=2.8分(Ⅲ)记“3个球中至少有一个是红球”为事件D,则D为“3个球中没有红球”,P(D)=1-P(D)=1-14528CC330328或P(D)=14528CCCCC3301282222812.12分19.解:(Ⅰ)设数列1,3,6,…为{An},An=an+bn,其中{an}为等比数列,{bn}为等差数列,q、d分别为数列{an}、数列{bn}的公比与公差,而b1=0,且.62,3,11211111dbqadbqaba解之,得d1=1,q=2,a1=1.因而an=2n-1,bn=n-1.4分∴Sn=(a1+a2+…+an)+(b1+b2+…+bn)=(1+2+…+2n-1)+[0+1+…+(n-1)]=2n-1+2)1(nn.6分(Ⅱ)Tn=212125nn≤25,因此存在满足条件的正整数M,其中M的最小值是3.9分(Ⅲ)nlimTn=nlim(212125nn)=25.12分20.(甲)解:由已知得S坐标为(0,0,6),B(2,2,0),C(-2,2,0).M是SO的中点,M(0,0,3),G是△SBC的重心,∴G(0,34,2).4分(Ⅰ)MG=.35)23()34(02226分(Ⅱ)|MG|=(0,34,-1),BS=(-2,-2,6).设(MG,BS)=,则cos=||||BSMGBSMG=55111311235326.10分又∵∈(0°,90°),∴=arccos(551113)或=-arccos(-551113)即为MG与BS所成的角.12分(乙)解:(Ⅰ)取AC中点E,连DE、BE,则DE∥PC,PC⊥AC,∴DE⊥AC.2分又△
本文标题:高三全国统一标准测试·数学(文科A卷)
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