高三第二学期质量检查数学试卷(理科)

高三第二学期质量检查数学试卷（理科）本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），全卷满分150分，考试时间120分钟.参考公式：如果事件A、B互斥，那么P（A+B）=P（A）+P（B）如果事件A、B相互独立，那么P（A·B）=P（A）·P（B）如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率Pn(k)=CnkPk(1－P)n－k球的表面积公式：S=4πR2，其中R表示球的半径.球的体积公式：V=34πR3，其中R表示球的半径.第I卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集},01|{},10|{,xxxNxxxMRU或则（）A．M∪N=RB．M∩N=C．D．2．将函数y=sinx按向量a=（－4，3）平移后的函数的解析式为（）A．y=sin(x－4)+3B．y=sin(x－4)－3C．y=sin(x+4)+3D．y=sin(x+4)－33．设l、m、n表示三条直线，α、β、γ表示三个平面，则下列命题中不成立．．．的是（）A．若l⊥α,m⊥α,则l∥mB．若mβ，n是l在β内的射影，m⊥l，则m⊥nC．若mα，nα,m∥n，则n∥αD．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β4．如果数列,,,,,}{123121nnnaaaaaaaa满足是首项为1，公比为2的等比数列，那么na=（）A．2n+1－1B．2n－1C．2n－1D．2n+15．已知复数z满足|z|=1，则|z+i|的最大值是（）A．0B．1C．2D．36．0x5是不等式|x－2|4成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．有A、B两种类型的车床各一台，现有甲、乙、丙三名工人，其中甲、乙都会操作两种车床，丙只会操作A种车床，现从这三名工人中选2人分别去操作以上车床，则不同的选派方法有（）A．6种B．5种C．4种D．3种8．直线xsinθ+ycosθ=2+sinθ与圆(x－1)2+y2=4的位置关系是（）A．相离B．相切C．相交D．以上都有可能9．已知x、y满足约束条件yxzxyxyx3,102012则的最小值为（）A．7B．35C．－5D．510．如图，∠ACB=90°，平面ABC外有一点P，PC=4cm，点P到角的两边AC、BC的距离都等于23cm，那么PC与平面ABC所成角的大小为（）A．30°B．45°C．60°D．75°11．过抛物线y2=4x的焦点的直线交抛物线于A、B两点，O为坐标原点，则OBOA的值是（）A．12B．－12C．3D．－312．设函数f(x)在定义域内可导，y=f(x)的图象如右图所示，则导函数y=f′(x)的图象可能为（）ξ0123P0.1ab0.1第Ⅱ卷（非选择题；共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中的横线上.13．一离散型随机变量ξ的概率分布为：且Eξ=1.5，则a－b=.14．正方体的全面积是24cm2,它的顶点都在一个球面上，这个球的表面积是cm2.15．已知P是椭圆1422yx上的一点，F1、F2是椭圆的两个焦点，且∠F1PF2=60°，则△F1PF2的面积是.16．设nnxanNn)1(,3*,是若且展开式中含x2项的系数，则)111(lim43nnaaa=.三、解答题：本大题6个小题，共74分.解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（本小题满分12分）已知函数),1,2(),2cos,1(),0(|1|)(bamRmxmxf设向量且)()(,)4,0(),1,sin21(),1,sin4(dcfbafdc与比较时当的大小.18．（本小题满分12分）已知，如图四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PG⊥平面ABCD，垂足为G，G在AD上，且AG=31GD，BG⊥GC，GB=GC=2，E是BC的中点，四面体P—BCG的体积为38.（Ⅰ）求异面直线GE与PC所成的角；（Ⅱ）求点D到平面PBG的距离；（Ⅲ）若F点是棱PC上一点，且DF⊥GC，求FCPF的值.19．（本小题满分12分）冰箱中放有甲、乙两种饮料各5瓶，每次饮用时从中任意取1瓶甲种或乙种饮料，取用甲种或乙种饮料的概率相等.（Ⅰ）求甲种饮料饮用完毕而乙种饮料还剩下3瓶的概率；（Ⅱ）求甲种饮料被饮用瓶数比乙种饮料被饮用瓶数至少多4瓶的概率.20．（本小题满分12分）已知数列{an}中，a2=a+2(a为常数)；Sn是{an}的前n项和，且Sn是nan与na的等差中项.（Ⅰ）求a1,a3;（Ⅱ）猜想an的表达式，并用数学归纳法加以证明；（Ⅲ）求证以)1,(nSann为坐标的点Pn(n=1,2,…)都落在同一直线上.21．（本小题满分12分）设双曲线C1的方程为)0,0(12222babyax，A、B为其左、右两个顶点，P是双曲线C1上的任意一点，引QB⊥PB，QA⊥PA，AQ与BQ交于点Q.（Ⅰ）求Q点的轨迹方程;（Ⅱ）设（I）中所求轨迹为C2，C1、C2的离心率分别为e1、e2，当21e时，e2的取值范围.22．（本小题满分14分）已知二次函数f(x)=ax2+(a+1)x－a,方程f(x)=0两实根的差的绝对值等于2.（Ⅰ）求实数a的值.（Ⅱ）是否存在实数p、q，使得函数F(x)=pf[f(x)]+qf(x),在区间（－∞，－3）内是增函数，在区间（－3，0）内是减函数？若存在，求p、q所要满足的条件；若不存在，说明理由.第二学期高三质量检查数学试卷（理科）参考答案及评分标准一、选择题1．B2．C3．D4．B5．C6．A7．C8．B9．C10．B11．D12．D二、填空题13．0；14．12π；15．3316．1.三、解答题17．解法一：21)()(),1()(,1,09)()(),1()(,1,0611,02cos2)2,0(2),4,0(42cos21sin22cos2)1,sin21(),1,sin4(),1,2(),2cos,1(:21)()(,02cos2,001)()(,02cos2,002cos),2,0(2),4,0(82cos2)sin(cos2)()(cos2|2cos1|)(42cos21sin22cos2)1,sin21(),1,sin4(),1,2(),2cos,1(22222dcfbafmmxxfxmdcfbafmmxxfxmdcbadcdcbadcbadcbadcfbafmmdcfbafmmmmdcfbafmmbafdcbadcba上递减在时则当若上递增在时则当若且解法二即时当即时当于是有18．解法一：（I）由已知38213131PGGCBGPGSVBCGBGCP∴PG=4…………2′如图所示，以G点为原点建立空间直角坐标系o—xyz，则B（2，0，0），C（0，2，0），P（0，0，4）故E（1，1，0）10102022||||,cos3)4,2,0(),0,1,1(PCGEPCGEPCGEPCGE∴异面直线GE与PC所成的角为arccos1010……………………4′（II）平面PBG的单位法向量)0,1,0(0n6)0,23,23(45,223||43||GDCGDBCGD∴点D到平面PBG的距离为23||0nGD……………………8′（III）设F（0，y,z）230)23(2)0,2,0()0,23,23(0,01)0,2,0(),23,23()0,23,23(),,0(yyyGCDFGCDFGCzyzyODOFDF则在平面PGC内过F点作FM⊥GC，M为垂足，则21,23MCGM3MCGMFCPF……………………………………………………………………12′解法二：（I）由已知38213131PGGCBGPGSVBCGBGCP∴PG=4…………2′在平面ABCD内，过C点作CH//EG交AD于H，连结PH，则∠PCH（或其补角）就是异面直线GE与PC所成的角.………………3′在△PCH中，18,20,2PHPCCH由余弦定理得，cos∠PCH=1010∴异面直线GE与PC所成的角为arccos1010……………………4′（II）∵PG⊥平面ABCD，PG平面PBG∴平面PBG⊥平面ABCD在平面ABCD内，过D作DK⊥BG，交BG延长线于K，则DK⊥平面PBG∴DK的长就是点D到平面PBG的距离…………………………6′223434322BCADGDBC在△DKG，DK=DGsin45°=23∴点D到平面PBG的距离为23……………………………………8′（III）在平面ABCD内，过D作DM⊥GC，M为垂足，连结MF，又因为DF⊥GC∴GC⊥平面MFD，∴GC⊥FM由平面PGC⊥平面ABCD，∴FM⊥平面ABCD∴FM//PG由GM⊥MD得：GM=GD·cos45°=23…………………………10′332123FCPFGCDFMCGMFCPF可得由…………12′19．解：（I）由题意知，甲种已饮用5瓶，乙种已饮用2瓶。记“饮用一次，饮用的是甲种饮料”为事件A，则P=P(A)=21.题（I）即求7次独立重复试验中事件A发生5次的概率为：12821)21()1()5(72725577CPPCP…………………………6′（II）有且仅有3种情形满足要求：甲被饮用5瓶，乙被饮用1瓶；甲被饮用5瓶，乙没有被饮用；甲被饮用4瓶，乙没有被饮用.……………………………………………………………………8′所求概率为：P6(5)+P5(5)+P4(4)………………………………………9′=C65P5(1－P)+C55P5+C44P4=163…………………………………………………………11′答：甲饮料饮用完毕而乙饮料还剩3瓶的概率为12821，甲饮料被饮用瓶数比乙饮料被饮用瓶数至少多4瓶的概率为163.……………………………………12′20．解：解：（I）由已知得：naananaSnnn22………………1′34),(3)2(2)(3)(2,,3,2,,1333332132131111aaaaaaaaaaaaaaaSnaaaaaSn时当时当（II）)1(2,4,2,321naaaaaaaan猜想………4′证明：（i）当n=1时，左边=a1=a,右边=a+2(1－1)=a,∴当n=1时，等式成立当n=2时，左边=a2=a+2,右边=a+2(2－1)=a+2∴当n=2时，等式成立.……………………………………………………5′（ii）假设n=k(k∈N*，k≥2)时，等式成立，即ak=a+2(k－1),则当n=k+1时]1)1[(21)1(2)1(1)]1(2[1,)1(2,11,2,)1()()1)((262)1(211111111kakkkakkakakkakaakaakkakakaakkaakaaakaakaaSSakkkkkkkkkkkkkk得代入将∴当n=k+1时，等式也成立.由（i）（ii）可知，对任何正整数n，等