2007级高三数学模拟试题

2007级高三数学模拟试题（时间：120分钟满分：150分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。请把所选项前的字母填在题后的括号内。1、设集合P＝{x|x＝k3＋16，k∈Z}，Q＝{x|x＝k6＋13，k∈Z}，则（）A.p＝QB.P≠QC.P≠QD.P∩Q＝Φ2、已知集合222|xxxA，22|xxxB，p：Ax，q：Bx，则p是q成立的（）A充分非必要条件B必要非充分条件C充分必要条件D非充分非必要条件3、如果向量a→和b→满足|a→|＝1，|b→|＝2，且a→⊥(a→－b→)，那么a→和b→的夹角大小为（）A.30ºB.45ºC.75ºD.135º4、已知M(2，－3)，N(－3，－2)，直线l过点A(1，1)且与线段MN相交，则直线l的斜率k的取值范围是（）A.k≥34或k≤－4B.－4≤k≤34C.34≤k≤4D.－34≤k≤45、已知等差数列{an}中，Sn是它的前n项和，若S16＞0，且S17＜0，则当Sn最大时，n的值为（）A.16B.9C.8D.106、函数lg||xyx的图象大致是（）xOyxyOxyOxOyA．B．C．D．7、已知圆22:1Cxy，点A（－2，0）及点B（2，a），从A点观察B点，要使视线不被圆C挡住，则a的取值范围是（）（A）（－∞，－1）∪（－1，+∞）（B）（－∞，－2）∪（2，+∞）（C）（－∞，433）∪（433，+∞）（D）（－∞，－4）∪（4，+∞）8、已知向量a（cos2，sin2），b（cos3，sin3），a与b的夹角为o60，则直线021sincosyx与圆21)sin()cos(22yx的位置关系是（）（A）相切（B）相交（C）相离（D）随，的值而定9、某种电热水器的水箱盛满水是200升，加热到一定温度可浴用．浴用时，已知每分钟放水34升，在放水的同时注水，t分钟注水22t升，当水箱内水量达到最小值时，放水自动停止．现假定每人洗浴用水65升，则该热水器一次至多可供（）（A）3人洗澡（B）4人洗澡（C）5人洗澡（D）6人洗澡10、设函数1)(22xxnxxxf（xR，且21nx，xN*），)(xf的最小值为na，最大值为nb，记)1)(1(nnnbac，则数列}{nc（）（A）是公差不为0的等差数列（B）是公比不为1的等比数列（C）是常数列（D）不是等差数列，也不是等比数列二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分11、不等式12xxx22的解集为；12、已知1||a，2||b，且（ba）⊥（a2b），a与b的夹角为o60，则；13、已知实数x、y满足,0y,0x,1xy,7y2x3则y4x3u的最大值是；14、在等比数列}a{n中,24aaa,3aaa876543,则11109aaa的值为；15、为了保证信息安全传输，有一种称为秘密密钥密码系统（ivatePrKeyemCryptosyst），其加密、解密原理如下图：明文密文密文明文现在加密密钥为2logxya，如上所示，明文“6”通过加密后得到密文“3”，再发送，接受方通过解密密钥解密得到明文“6”，问：若接受方接到密文为“4”，则解密后得明文为；16、对任意实数x、y，定义运算cxybyaxyx，其中a、b、c为常实数，等号右边的运算是通常意义的加、乘运算．现已知1*2=3，2*3=4，且有一个非零实数m，使得对任意实数x，都有x*m=x，则m=________．三、解答题：本大题共6小题，共76分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17、（12分）已知)xcos),x4sin(2(a,)xsin32),x4(cos(b,记ba)x(f.(1)求)x(f的周期及最小值;(2)若)x(f按m平移得到x2sin2y,求向量m.18、（13分）解关于).0(11)1(2axaxxax的不等式19、（13分）已知函数.0x,x4xx,0x,x4xx)x(f22(1)求证:函数)x(f是偶函数;(2)判断函数)x(f分别在区间]2,0(、),2[上的单调性,并加以证明;(3)若4|x|1,4|x|121,求证:1|)x(f)x(f|21.20、（12分）在工厂生产中，若机器更新过早，则生产潜力未能充分发挥而造成浪费；若更新过迟，老机器生产效率低，维修与损耗费用大，也会造成浪费.因此，需要确定机器使用的最佳年限（即机器使用多少年平均费用最小）某工厂用7万元购买了一台新机器，运输安装费2千元，每年投保、动力消耗固定的费用为2千元；每年的保养、维修、更换易损件的费用逐年增加，第一年为2千元，第二年为3千元，第三年为4千元，……，即每年增加1千元，问这台机器的最佳使用年限是多少年？并求出年平均费用的最小值.（12分）21、（12分）设圆1C的方程为2224)23()2(mmyx，直线l的方程为2mxy．（1）求1C关于l对称的圆2C的方程；（2）当m变化且0m时，求证：2C的圆心在一条定直线上，并求2C所表示的一系列圆的公切线方程．22、（14分）已知数列{an}满足a1＝2，对于任意的n∈N，都有an＞0，且(n＋1)a2n＋anan＋1－na21n＝0，又知数列{bn}:b1＝2n－1＋1(1)求数列{an}的通项an以及它的前n项和Sn；(2)求数列{bn}的前n项和Tn；(3)猜想Sn和Tn的大小关系，并说明理由.2007级高三数学模拟试题答案：6D7C8C9B10C11[1，2]12、3113、1114、19215、1416、417．（本小题满分12分）解:(1)xcosxsin32)x4cos()x4sin(2)x(fba…………(2分)＝)6x2sin(2…………(6分)∴)x(f的周期为π,最小值为－2.…………(8分)(2)若)x(f按向量m平移得到,x2sin2y则向量m)0,12k()0k(…………(12分)18、（13分）解关于).0(11)1(2axaxxax的不等式。解：01111)1(22axxxxaxxa01251251axxx时即当25102511aa，2512511xxa或；时即当2512511aa，2511251xax或；时即当2512511aa，251x。所以，时当2510a，不等式的解集是2512511|xxax或；时当251a，不等式的解集是2511251|xaxx或；时当251a，不等式的解集是251|xx。19解:(1)当0x时,0x,则)x(4)x()x()x(f,x4xx)x(f22x4xx2∴)x(f)x(f………(2分)当0x时,0x,则)x(4)x()x()x(f,x4xx)x(f22x4xx2,∴)x(f)x(f综上所述,对于0x,都有)x(f)x(f,∴函数)x(f是偶函数.………(4分)(2)当0x时,,1x4xx4xx)x(f2设0xx12,则)4xx(xxxx)x(f)x(f21211212………(6分)当2xx12时,0)x(f)x(f12;当0xx212时,0)x(f)x(f12,∴函数)x(f在]2,0(上是减函数,函数)x(f在),2[上是增函数.………(8分)(3)由(2)知,当4x1时,6)x(f5,………(9分)又由(1)知,函数)x(f是偶函数,∴当4|x|1时,6)x(f5,………(10分)∴若4|x|11,4|x|12,则6)x(f51,6)x(f52,………(11分)∴1)x(f)x(f121,即1|)x(f)x(f|21.………(12分)20解：设使用n年为最佳年限，则每年的平均费用]1.0)1(2.0(4.03.02.0[2.02.071nnny)05.035.02.7(12nnn35.005.02.7nn35.005.02.72nn55.135.02.1（万元）。当且仅当nn05.02.7，即14405.02.72n，即12n时取等号。21、解：（1）圆C1的圆心为C1（-2，3m+2）设C1关于直线l对称点为C2（a，b）则2222231223mabmamb　　　　　解得：112mbma∴圆C2的方程为2224)1()12(mmymx（2）由112mbma消去m得a-2b+1=0即圆C2的圆心在定直线x-2y+1=0上。设直线y=kx+b与圆系中的所有圆都相切，则mkbmmk21)1()12(2即0)1()1)(12(2)34(22bkmbkkmk∵直线y=kx+b与圆系中的所有圆都相切，所以上述方程对所有的m值都成立，所以有：　　　　　　　　　0)1(0)1)(12(20342bkbkkk解之得：4743bk所以2C所表示的一系列圆的公切线方程为：4743xy22解：（Ⅰ）∵0)1(),(02112nnnnnnaaaanNna∴0)())(1(121naaaannnnn。∴.1,1)1(2)12(1)1(2)1(4111nnnnnnnaann∴0na，∴11nnaann。即nnaann11。∴122332211aaaaaaaaaannnnnnnnnnnnn122332211。∴naan1，∴又21a，∴nan2。∴)321(221naaaSnnnnnn22)1(2。（Ⅱ）∵121nnb，∴nbbbbTnnn)2222(1210321nn12)12(20120n。（Ⅲ）12)()12(22nnnnSTnnnn当1n时，01122111ST，∴11ST；当2n时，011222222ST，∴22ST；当3n时，021322333ST，∴33ST；当4n时，011422444ST，∴44ST；当5n时，061522555ST，∴55ST；当6n时，0271622666ST，∴66ST。猜想：当5n时，nnST。即0122nn。亦即122nn。下面用数学归纳法证明：1当5n时，前面已验证成立；2假设)5(kkn时，122kk成立，那么当)5(1kkn时，2)1(22222221kkkkk252kk222kk1)1(2k。∴当)5(1kkn时，1)1(221kk也成立。由以上1、2可知，当5n时，有nnST；当1n时，11ST；当52n时，nnST。