H01--2005年普通高等学校招生全国统一考试数学及答案(北京卷.文)

2005年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（文史类）本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，第I卷1至2页，第II卷3至9页，共150分。考试时间120分钟。考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。第I卷（选择题共40分）注意事项：1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。不能答在试卷上。一、本大题共8小题．每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.（1）设集合M={x|x1，P={x|x21}，则下列关系中正确的是（A）M＝P（B）PÜM（C）MÜP（D）MPR（2）为了得到函数321xy的图象，只需把函数2xy上所有点（A）向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度（B）向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度（C）向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度（D）向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度（3）“m=21”是“直线(m+2)x+3my+1=0与直线(m－2)x+(m+2)y－3=0相互垂直”的（A）充分必要条件（B）充分而不必要条件（C）必要而不充分条件（D）既不充分也不必要条件（4）若||1,||2,abcab，且ca，则向量a与b的夹角为（A）30°（B）60°（C）120°（D）150°（5）从原点向圆x2＋y2－12y＋27=0作两条切线，则这两条切线的夹角的大小为（A）6（B）3（C）2（D）32（6）对任意的锐角α，β，下列不等关系中正确的是（A）sin(α+β)sinα+sinβ（B）sin(α+β)cosα+cosβ（C）cos(α+β)sinα＋sinβ（D）cos(α+β)cosα＋cosβ（7）在正四面体P－ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论中不成立．．．的是（A）BC//平面PDF（B）DF⊥平面PAE（C）平面PDF⊥平面ABC（D）平面PAE⊥平面ABC（8）五个工程队承建某项工程的五个不同的子项目，每个工程队承建1项，其中甲工程队不能承建1号子项目，则不同的承建方案共有（A）1444CC种（B）1444CA种（C）44C种（D）44A种二、填空题：本大题共6小题；每小题5分，共30分。把答案填在题中横线上。（9）抛物线y2=4x的准线方程是；焦点坐标是．（10）61()xx的展开式中的常数项是（用数字作答）（11）函数1()12fxxx的定义域为.（12）在△ABC中，AC=3，∠A=45°，∠C=75°，则BC的长为．（13）对于函数f(x)定义域中任意的x1，x2（x1≠x2），有如下结论：①f(x1＋x2)=f(x1)·f(x2)；②f(x1·x2)=f(x1)+f(x2)；③1212()()fxfxxx0；④1212()()()22xxfxfxf.当f(x)=lgx时，上述结论中正确结论的序号是.（14）已知n次多项式1011()nnnnnPxaxaxaxa,如果在一种算法中，计算0kx（k＝2，3，4，…，n）的值需要k－1次乘法，计算30()Px的值共需要9次运算（6次乘法，3次加法），那么计算100()Px的值共需要次运算．下面给出一种减少运算次数的算法：0011(),()()kkkPxaPxxPxa（k＝0，1，2，…，n－1）．利用该算法，计算30()Px的值共需要6次运算，计算100()Px的值共需要次运算．三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（15）（本小题共12分）已知tan2=2，求（I）tan()4的值；（II）6sincos3sin2cos的值．（16）（本小题共14分）如图,在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AA1＝4，点D是AB的中点，（I）求证：AC⊥BC1；（II）求证：AC1//平面CDB1；（III）求异面直线AC1与B1C所成角的余弦值．（17）数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，113nnaS，n=1，2，3，……，求（I）a2，a3，a4的值及数列{an}的通项公式；（II）2462naaaa的值.（18）（本小题共13分）甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为21，乙每次击中目标的概率32，（I）甲恰好击中目标的2次的概率；（II）乙至少击中目标2次的概率；（III）求乙恰好比甲多击中目标2次的概率．（19）（本小题共14分）已知函数f(x)=－x3＋3x2＋9x＋a,（I）求f(x)的单调递减区间；（II）若f(x)在区间[－2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．（20）（本小题共14分）如图，直线l1：y＝kx（k0）与直线l2：y＝－kx之间的阴影区域（不含边界）记为W，其左半部分记为W1，右半部分记为W2．（I）分别用不等式组表示W1和W2；（II）若区域W中的动点P(x，y)到l1，l2的距离之积等于d2，求点P的轨迹C的方程；（III）设不过原点O的直线l与（II）中的曲线C相交于M1，M2两点，且与l1，l2分别交于M3，M4两点．求证△OM1M2的重心与△OM3M4的重心重合．2005年普通高等学校招生全国统一考试数学（文史类）（北京卷）参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）（1）C（2）A（3）B（4）C（5）B（6）D（7）C（8）B二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）（9）x=－1；(1,0)（10）－20（11）[－1,2)∪(2,+∞)（12）2（13）②③（14）65；20三、解答题（本大题共6小题，共80分）（15）（共12分）解：（I）∵tan2=2,∴22tan2242tan1431tan2;所以tantantan14tan()41tan1tantan4=41134713；（II）由(I),tanα=－34,所以6sincos3sin2cos=6tan13tan2=46()173463()23.（16）（共14分）（I）直三棱柱ABC－A1B1C1，底面三边长AC=3，BC=4AB=5，∴AC⊥BC，且BC1在平面ABC内的射影为BC，∴AC⊥BC1；（II）设CB1与C1B的交点为E，连结DE，∵D是AB的中点，E是BC1的中点，∴DE//AC1，∵DE平面CDB1，AC1平面CDB1，∴AC1//平面CDB1；（III）∵DE//AC1，∴∠CED为AC1与B1C所成的角，在△CED中，ED=21AC1=25，CD=21AB=25，CE=21CB1=22，∴822cos552222CED，∴异面直线AC1与B1C所成角的余弦值225.（17）（共13分）解：（I）由a1=1，113nnaS，n=1，2，3，……，得211111333aSa，3212114()339aSaa，431231116()3327aSaaa，由1111()33nnnnnaaSSa（n≥2），得143nnaa（n≥2），又a2=31，所以an=214()33n(n≥2),∴数列{an}的通项公式为21114()233nnnan≥；（II）由（I）可知242,,,naaa是首项为31，公比为24()3项数为n的等比数列，∴2462naaaa=22241()1343[()1]43731()3nn.（18）（共13分）解：（I）甲恰好击中目标的2次的概率为23313()28C（II）乙至少击中目标2次的概率为22333321220()()()33327CC；（III）设乙恰好比甲多击中目标2次为事件A，乙恰击中目标2次且甲恰击中目标0次为事件B1，乙恰击中目标3次且甲恰击中目标1次为事件B2，则A＝B1＋B2，B1，B2为互斥事件．2203331312333321121()()()()()()()33232PAPBPBCCCC=1111896.所以，乙恰好比甲多击中目标2次的概率为16.（19）（共14分）解：（I）f’(x)＝－3x2＋6x＋9．令f‘(x)0，解得x－1或x3，所以函数f(x)的单调递减区间为（－∞，－1），（3，＋∞）．（II）因为f(－2)＝8＋12－18＋a=2＋a，f(2)＝－8＋12＋18＋a＝22＋a，所以f(2)f(－2)．因为在（－1，3）上f‘(x)0，所以f(x)在[－1,2]上单调递增，又由于f(x)在[－2，－1]上单调递减，因此f(2)和f(－1)分别是f(x)在区间[－2，2]上的最大值和最小值，于是有22＋a＝20，解得a＝－2．故f(x)=－x3＋3x2＋9x－2，因此f(－1)＝1＋3－9－2＝－7，即函数f(x)在区间[－2，2]上的最小值为－7．（20）（共14分）解：（I）W1={(x,y)|kxy－kx,x0}，W2={(x,y)|－kxykx,x0}，（II）直线l1：kx－y＝0，直线l2：kx＋y＝0，由题意得222||||11kxykxydkk,即22222||1kxydk，由P(x,y)∈W，知k2x2－y20，所以222221kxydk，即22222(1)0kxykd,所以动点P的轨迹C的方程为22222(1)0kxykd；（III）当直线l与x轴垂直时，可设直线l的方程为x＝a（a≠0）．由于直线l，曲线C关于x轴对称，且l1与l2关于x轴对称，于是M1M2，M3M4的中点坐标都为（a，0），所以△OM1M2，△OM3M4的重心坐标都为（32a，0），即它们的重心重合，当直线l1与x轴不垂直时，设直线l的方程为y=mx+n（n≠0）．由22222(1)0kxykdymxn，得2222222()20kmxmnxnkdd由直线l与曲线C有两个不同交点，可知k2－m2≠0且△=2222222(2)4()()mnkmnkdd0设M1，M2的坐标分别为(x1,y1)，(x2,y2)，则12222mnxxkm,1212()2yymxxn,设M3，M4的坐标分别为(x3,y3)，(x4,y4)，由及ykxykxymxnymxn得34,nnxxkmkm从而3412222mnxxxxkm，所以y3+y4=m(x3+x4)+2n＝m(x1+x2)+2n＝y1+y2,于是△OM1M2的重心与△OM3M4的重心也重合．