步步高第一章-易错题目辨析练——集合与常用逻辑用语

易错题目辨析练——集合与常用逻辑用语数学北（理）第一章集合与常用逻辑用语A组专项基础训练12345678910A组专项基础训练123456789101．已知集合P＝{y＝x2＋1}，Q＝{y|y＝x2＋1}，R＝{x|y＝x2＋1}，M＝{(x，y)|y＝x2＋1}，N＝{x|x≥1}，则()A．P＝MB．Q＝RC．R＝MD．Q＝ND解析集合P是用列举法表示的，只含有一个元素，即函数y＝x2＋1.集合Q，R，N中的元素全是数，即这三个集合都是数集，集合Q＝{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}，集合R是一切实数．集合M的元素是函数y＝x2＋1图象上所有的点．故选D.A组专项基础训练123456789102．命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是()A．不存在x∈R，x3－x2＋1≤0B．存在x∈R，x3－x2＋1≤0C．存在x∈R，x3－x2＋10D．对任意的x∈R，x3－x2＋10解析由已知得，对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0，是全称命题．C它的否定是特称命题，“任意的”的否定是“存在”，“≤0”的否定是“0”，故选C.A组专项基础训练123456789103．“2a2b”是“log2alog2b”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析若2a2b，只能得到ab，但不能确定a，b的正负性，当0ab时，log2a，log2b均无意义，更不能比较其大小，从而未必有“log2alog2b”；B若log2alog2b，则可得ab0，从而有2a2b成立．综上，“2a2b”是“log2alog2b”的必要不充分条件．A组专项基础训练123456789104．已知集合A＝{x|x2－mx＋1＝0}，若A∩R＝∅，则实数m的取值范围为()A．m4B．m4C．0m4D．0≤m4解析∵A∩R＝∅，则A＝∅，即等价于方程x2－mx＋1＝0无实数解，即Δ＝m－40，即m4，选A.注意m0时也表示A＝∅.AA组专项基础训练123456789105．定义集合运算：A⊙B＝{z|z＝xy(x＋y)，x∈A，y∈B}，设集合A＝{1,2}，B＝{3,4}，则集合A⊙B所有元素之积为()A．4500B．342000C．345600D．135600解析依题意，x，y的取值应为x＝1，y＝3；x＝1，y＝4；x＝2，y＝3；x＝2，y＝4.从而A⊙B＝{12,20,30,48}．故所有元素之积为12×20×30×48＝345600.CA组专项基础训练123456789106．设集合M＝{y|y＝2－x，x0}，N＝{a|a＝b－1}，则M∩N＝________.解析∵y＝2－x，x0，∴M＝{y|y1}，∴集合M代表所有大于1的实数；由于N＝{a|a＝b－1}，∴a＝b－1≥0，∴N＝{a|a≥0}，∴集合N代表所有大于或等于0的实数，∴M∩N代表所有大于1的实数，即M∩N＝{x|x1}．{x|x1}A组专项基础训练123456789107．设集合A、B是全集U的两个子集，则“A∪B＝B”是“∁UA⊇∁UB”的________条件．解析由Venn图知∁UA⊇∁UB⇔A⊆B，而A∪B＝B⇔A⊆B.充要A组专项基础训练123456789108．设A，B为两个集合，给出下列三个命题：①AB是A∩B≠A的充要条件；②AB是A⊇B的必要条件；③AB是“存在x∈A，使得x∉B”的充要条件．其中真命题是________．(写出所有真命题的序号)解析因为A⊆B⇔A∩B＝A，A⊆B⇔A∪B＝B，又原命题与它的逆否命题是等价的，所以①是真命题；对于②，由于A⊇B包含了A＝B的情形，而此时A⊆B成立，故②是假命题；对于③，它的正确性不言自明．①③A组专项基础训练123456789109．已知集合A＝{x，xy，lg(xy)}，B＝{0，|x|，y}，若A＝B，求x，y的值．解由A＝B知需分多种情况进行讨论，由lg(xy)有意义，则xy0.又0∈B＝A，则必有lg(xy)＝0，即xy＝1.此时，A＝B，即{0,1，x}＝{0，|x|，y}．∴x＝|x|，xy＝1，y＝1，或x＝y，xy＝1，|x|＝1，解得x＝y＝1或x＝y＝－1.9．已知集合A＝{x，xy，lg(xy)}，B＝{0，|x|，y}，若A＝B，求x，y的值．A组专项基础训练当x＝y＝1时，A＝B＝{0,1,1}与集合元素的互异性矛盾，应舍去；当x＝y＝－1时，12345678910A＝B＝{0，－1,1}满足题意，故x＝y＝－1.10．已知p：x2－8x－20≤0，q：x2－2x＋1－m2≤0(m0)，且綈p是綈q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．A组专项基础训练12345678910解由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10.由x2－2x＋1－m2≤0(m0)，得1－m≤x≤1＋m.∵綈p是綈q的必要不充分条件，∴q是p是必要不充分条件，即p是q的充分不必要条件，即p⇒q且qp，∴{x|－2≤x≤10}是{x|1－m≤x≤1＋m，m0}的真子集，10．已知p：x2－8x－20≤0，q：x2－2x＋1－m2≤0(m0)，且綈p是綈q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．A组专项基础训练∴m0，1－m－2，1＋m≥10，或m0，1－m≤－2，1＋m10.即m≥9或m9.∴m≥9.∴实数m的取值范围为m≥9.12345678910B组专项能力提升23451B组专项能力提升234511．“a＝1”是“函数f(x)＝|x－a|在区间[1，＋∞)上为增函数”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析若“a＝1”，则函数f(x)＝|x－a|＝|x－1|在区间[1，＋∞)上为增函数；A而若f(x)＝|x－a|在区间[1，＋∞)上为增函数，则0≤a≤1，所以“a＝1”是“函数f(x)＝|x－a|在区间[1，＋∞)上为增函数”的充分不必要条件，选A.B组专项能力提升234512．下列命题的否定中真命题的个数是()①p：当Δ0时，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a，b，c∈R)无实根；②q：存在一个整数b，使函数f(x)＝x2＋bx＋1在[0，＋∞)上是单调函数；③r：存在x∈R，使x2＋x＋1≥0不成立．A．0B．1C．2D．3解析由于命题p是真命题，∴命题①的否定是假命题；命题q是真命题，∴命题②的否定是假命题；命题r是假命题，∴命题③的否定是真命题．故只有一个是正确的，故选B.BB组专项能力提升234513．已知集合M＝{x|x＝a2－3a＋2，a∈R}，N＝{x|y＝log2(x2＋2x－3)}，则M∩N＝________.解析∵a2－3a＋2＝a－322－14≥－14，∴M＝x|x≥－14；由x2＋2x－30，即(x－1)(x＋3)0，解得x1或x－3，故N＝{x|x1或x－3}．∴M∩N＝{x|x1}．{x|x1}B组专项能力提升234514．若x∈A，则1x∈A，就称A是伙伴关系集合，集合M＝－1，0，13，12，1，2，3，4的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为________．解析子集只有1个元素的有{－1}，{1}共2个；子集有2个元素的有{－1,1}，{13，3}，{12，2}，共3个；子集有3个元素的有{－1，13，3}，{－1，12，2}，{1，13，3}，{1，12，2}，共4个；4．若x∈A，则1x∈A，就称A是伙伴关系集合，集合M＝－1，0，13，12，1，2，3，4的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为________．B组专项能力提升23451子集有4个元素的有{－1,1，13，3}，{－1,1，12，2}，{2，12，13，3}，共3个；子集有5个元素的有{－1,2，12，13，3}，{1,2，12，13，3}，共2个；子集有6个元素的有{－1,1,2，12，13，3}，共有1个，共15个．15B组专项能力提升234515．已知命题p：函数f(x)＝lgax2－x＋116a的定义域为R；命题q：不等式2x＋11＋ax对一切正实数x均成立．如果命题p或q为真，p且q为假，求实数a的取值范围．解命题p为真命题等价于ax2－x＋116a0对任意实数x均成立．当a＝0时，－x0，其解集不是R，∴a≠0.于是有a0，1－14a20，解得a2，故命题p为真命题等价于a2.5．已知命题p：函数f(x)＝lgax2－x＋116a的定义域为R；命题q：不等式2x＋11＋ax对一切正实数x均成立．如果命题p或q为真，p且q为假，求实数a的取值范围．B组专项能力提升命题q为真命题等价于a2x＋1－1x＝2xx2x＋1＋1＝22x＋1＋1对一切实数x均成立．23451由于x0，∴2x＋11，2x＋1＋12，∴22x＋1＋11，从而命题q为真命题等价于a≥1.根据题意知，命题p、q有且只有一个为真命题，当p真q假时实数a不存在；当p假q真时，实数a的取值范围是1≤a≤2.