乘法公式(提高)知识讲解

乘法公式（提高）【要点梳理】要点一、平方差公式平方差公式：22()()ababab两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.要点诠释：在这里，ba,既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型：（1）位置变化：如()()abba利用加法交换律可以转化为公式的标准型（2）系数变化：如(35)(35)xyxy（3）指数变化：如3232()()mnmn（4）符号变化：如()()abab（5）增项变化：如()()mnpmnp（6）增因式变化：如2244()()()()abababab要点二、完全平方公式完全平方公式：2222abaabb2222)(bababa两数和(差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形：2222ababab22abab224ababab要点三、添括号法则添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.要点诠释：添括号与去括号是互逆的，符号的变化也是一致的，可以用去括号法则检查添括号是否正确.要点四、补充公式2()()()xpxqxpqxpq；2233()()abaabbab；33223()33abaababb；2222()222abcabcabacbc.【典型例题】类型一、平方差公式的应用1、计算(2＋1)(221)(421)(821)(1621)(3221)＋1．【思路点拨】本题直接计算比较复杂，但观察可以发现2＋1与2－1，221与221，421与421等能够构成平方差，只需在前面添上因式（2－1），即可利用平方差公式逐步计算.【答案与解析】解：原式＝(2－1)(2＋1)(221)(421)(821)(1621)(3221)＋1＝(221)(221)(421)(821)(1621)(3221)＋1＝642－1＋1＝642．【总结升华】对于式子较为复杂的数的计算求值问题，不妨先仔细观察，看是否有规律，然后去解决，会事半功倍，提高解题能力．举一反三：【变式1】计算：(1)2(3)(9)(3)xxx(2)(a＋b)(a－b)(22ab)(44ab)【答案】解：(1)原式＝[(x＋3)(x－3)](29x)＝(29x)(29x)＝481x．(2)原式＝[(a＋b)(a－b)](22ab)(44ab)＝[(22ab)(22ab)](44ab)＝(44ab)(44ab)＝88ab．【变式2】（1）填空：（a﹣b）（a+b）=；（a﹣b）（a2+ab+b2）=；（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）=．（2）猜想：（a﹣b）（an﹣1+an﹣2b+…+abn﹣2+bn﹣1）=（其中n为正整数，且n≥2）．（3）利用（2）猜想的结论计算：29﹣28+27﹣…+23﹣22+2．【答案】解：（1）（a﹣b）（a+b）=a2﹣b2；（a﹣b）（a2+ab+b2）=a3+a2b+ab2﹣a2b﹣ab2﹣b3=a3﹣b3；（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）=a4+a3b+a2b2+ab3﹣a3b﹣a2b2﹣ab3﹣b4=a4﹣b4；故答案为：a2﹣b2，a3﹣b3，a4﹣b4；（2）由（1）的规律可得：原式=an﹣bn，故答案为：an﹣bn；（3）29﹣28+27﹣…+23﹣22+2=（2﹣1）（28+26+24+22+2）=342．2、新实验中学校园正在进行绿地改造，原有一正方形绿地，现将它每边都增加3米，面积则增加了63平方米，问原绿地的边长为多少？原绿地的面积又为多少？【答案与解析】解：设原绿地的边长为x米，则新绿地的边长为x+3米，根据题意得，（x+3）2﹣x2=63，由平方差公式得，（x+3+x）（x+3﹣x）=63，解得，x=9；∴原绿地的面积为：9×9=81（平方米）；答：原绿地的边长为9米，原绿地的面积为81平方米．【总结升华】本题主要考查了平方差公式的应用，两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差；（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2，熟练应用平方差公式可简化计算．举一反三：【变式】解不等式组：(3)(3)(2)1,(25)(25)4(1).xxxxxxxx【答案】解：(3)(3)(2)1,(25)(25)4(1).xxxxxxxx①②由①得22921xxx，210x，5x．由②得2225(2)44xxx，2225444xxx，425x，6.25x．∴不等式组的解集为6.25x．类型二、完全平方公式的应用3、运用乘法公式计算：（1）2(23)ab；（2）(23)(23)abcabc．【思路点拨】（1）是一个三项式的平方，不能直接运用完全平方公式，可以用加法结合律将23ab化成(23)ab，看成a与(23)b和的平方再应用公式；（2）是两个三项式相乘，其中a与a完全相同，2b，3c与2b，3c分别互为相反数，与平方差公式特征一致，可适当添加括号，使完全相同部分作为“一项”，互为相反数的部分括在一起作为“另一项”．【答案与解析】解：（1）原式222[(23)]2(23)(23)abaabb22464129aababb22446129ababab．（2）原式22222[(23)][(23)](23)4129abcabcabcabbcc．【总结升华】配成公式中的“a”“b”的形式再进行计算.举一反三：【变式】运用乘法公式计算：(1)abcabc；(2)2112xyyx；(3)2xyz；(4)231123abab．【答案】解：(1)abcabc＝[a－(b－c)][a＋(b－c)]＝222222abcabbcc＝2222abbcc．(2)2112xyyx＝[2x＋(y－1)][2x－(y－1)]＝222221421xyxyy＝22421xyy．(3)22222xyzxyzxyxyzz＝222222xxyyxzyzz．(4)231123abab＝2231ab＝－22[(23)2(23)1]abab＋－＋＋＝－22(2)2233461aabbab＝224129461aabbab－－－＋＋－4、已知△ABC的三边长a、b、c满足2220abcabbcac，试判断△ABC的形状．【思路点拨】通过对式子变化，化为平方和等于零的形式，从而求出三边长的关系．【答案与解析】解：∵2220abcabbcac，∴2222222220abcabbcac，即222222(2)(2)(2)0aabbbbccaacc．即222()()()0abbcac．∴0ab，0bc，0ac，即abc，∴△ABC为等边三角形．【总结升华】式子2220abcabbcac体现了三角形三边长关系，从形式上看与完全平方式相仿，但差着2ab中的2倍，故想到等式两边同时扩大2倍，从而得到结论．举一反三：【变式】多项式222225xxyyy的最小值是____________.【答案】4；提示：2222222514xxyyyxyy，所以最小值为4.