第8章模糊模式识别-西安电子科技大学

第8章模糊模式识别第8章模糊模式识别8.1模糊集合8.2模糊关系8.3模糊模式识别的基本思想8.4模糊聚类分析习题第8章模糊模式识别8.1模糊集合8.1.1模糊集合也称模糊子集,是由其隶属函数来定义的。定义8.1给定论域U,如果对任意的u∈U,都确定了一个数,表示u属于的程度,则称为论域U上的一个模糊子集;]1,0[)(~uAA~A~第8章模糊模式识别():[0,1]AuU(8-1)为的隶属函数;称为u对的隶属度。隶属函数是模糊性的一种度量,表示元素u具有性质的程度,或u属于的程度。【例8.1】取论域U是实数集R,模糊子集表示“远大于1的实数”,其隶属函数可以选择为(如图8-1所示)A~A~A~()Au()Au()Au1101()1(1)1Auuuu第8章模糊模式识别图8-1例8.1中隶属函数的示意图第8章模糊模式识别【例8.2】以年龄作论域,取U=［0,200］,模糊子集表示“年老”,表示“年轻”,它们的隶属函数可以选择为(如图8-2所示)O~Y~2002552512501)(12~uuuuY第8章模糊模式识别2005055015000)(12~uuuuO若U为有限集合或可数集合,则模糊子集A~()iAiiuAu(8-2)第8章模糊模式识别若Ｕ为无限不可数集，则可表示为：A~()AUuAu(8-3)其中，“”与“”并不是求和与积分,而是表示模糊子集中各个元素与隶属度的对应关系。UA~第8章模糊模式识别图8-2例8.2中隶属函数的示意图第8章模糊模式识别当的值域为{0,1}时,退化为一个普通子集的特征函数,便退化成一个普通子集,因此,普通子集是模糊子集的特殊形态。若把论域U上全部模糊子集所组成的集合记作F(U),则有,其中P(U)是U的幂集。当时,称为真模糊子集。此时,至少存在一个元素u0,使。()Au()AuA~)()(UPUF()\()AFUPUA~}1,0{)(0~uA第8章模糊模式识别如果存在至少一个元素u0∈U,使得,则称为正规模糊子集(Normal),否则称为非正规模糊子集。如果对任意的u1,u2∈U,λ∈［0,1］,则称为凸模糊子集(Convex)。假设论域U为实数域R,如果既是正规模糊子集,又是凸模糊子集,则称为模糊数(FuzzyNumber)。A~A~0()1Au1212((1))min((),())AAAuuuu第8章模糊模式识别8.1.2隶属函数的确定需要对描述的概念进行充分的了解,经过人脑的加工和某种心理过程,采用一定的数学方法来表达。确定隶属函数的方法有许多,如模糊统计法、模糊分布、专家打分法、推理法和对比排序法等。这里主要介绍模糊统计法与模糊分布。第8章模糊模式识别1.模糊统计法在某些场合下,隶属度可用模糊统计的方法来确定。模糊统计试验有四个要素:(1)论域U,例如年龄的集合;(2)U中的一个元素u0,例如50岁;(3)U中一个边界可变的普通集合A*,例如“年老”,A*对应一个模糊集及其相应的模糊概念a;(4)条件s,它对应按概念a所进行的划分过程的全部主、客观因素,制约着A*边界的改变,例如不同试验者对“年老”的理解不一样。A~第8章模糊模式识别模糊性产生的根本原因就是,条件s对按概念a所作的划分引起A*的变异,导致u0对A*的隶属关系不确定,即A*可能覆盖了u0,也可能不覆盖u0。例如,有的试验者认为50岁是“年老”,但有的试验者认为不是。模糊统计试验要求在每一次试验下,对u0是否属于A*作一个确切的判断。经过n次试验以后,可计算出u0对的隶属频率:A~第8章模糊模式识别u0对的隶属频率=A~*0uAn的次数(8-4)一般地,随着n的增大,隶属频率表现出稳定性。u0对A~*00()limAnuAun的次数(8-5)得到统计结果后,可选用某种分布函数进行拟合,适当调整参数就可以得到隶属函数的数学表达式。第8章模糊模式识别2.在许多实际应用中,一般以实数集R作为论域。实数集R上模糊集合的隶属函数称为模糊分布,记为F分布。在实际应用中,可根据具体问题的特点选择相应的F分布。也可以通过统计,给出隶属度的大致曲线,将它与F分布比较,选择相似的一种,再根据实验确定符合实际的参数。这里给出常用的几种F分布。第8章模糊模式识别1)(1)偏小型(见图8-3(a)):axaxxA01)(~(2)偏大型(见图8-3(b)):axaxxA10)(~第8章模糊模式识别（3）中间型（图8-3（c））xbbxaaxxA010)(~第8章模糊模式识别图8-3(a)偏小型;(b)偏大型;(c)中间型第8章模糊模式识别2)(1)偏小型(见图8-4(a)):xbbxaabxbaxxA01)(~第8章模糊模式识别(2)偏大型(见图8-4(b))：xbbxaabaxaxxA10)(~第8章模糊模式识别(3)中间型(见图8-4(c)):dxdxccdxdcxbbxaabaxaxxA010)(~第8章模糊模式识别图8-4梯形分布(a)偏小型；(b)偏大型；(c)中间型第8章模糊模式识别3）抛物形分布（1）偏小型（图8-5（a））xbbxaabxbaxxkA01)(~第8章模糊模式识别（2）偏大型（图8-5（b））xbbxaabaxaxxkA10)(~第8章模糊模式识别（3）中间型（图8-5（c））dxdxccdxdcxbbxaabaxaxxkkA010)(~第8章模糊模式识别图8-5抛物形分布(a)偏小型；(b)偏大型；(c)中间型第8章模糊模式识别4）正态分布（1）偏小型（图8-6（a））210()xaAxaxexa第8章模糊模式识别（2）偏大型（图8-6（b））axeaxxaxA210)(~（3）中间型（图8-6(c)）xexaxA2)(~第8章模糊模式识别图8-6正态分布(a)偏小型；(b)偏大型；(c)中间型第8章模糊模式识别5）柯西分布（1）偏小型（图8-7(a))1()1(0,0)1()Axaxxaxa第8章模糊模式识别（2）偏大型（图8-7(b))0()1(0,0)1()Axaxxaxa（3）中间型（图8-7(c)）1()(0,)1()Axxa为正偶数第8章模糊模式识别图8-7柯西分布(a)偏小型；(b)偏大型；(c)中间型第8章模糊模式识别6）岭形分布（1）偏小型（图8-8(a))11212212111()sin2220Axaaaxxaxaaaax第8章模糊模式识别（2）偏大型（图8-8(b))11212212011()sin2221Axaaaxxaxaaaax第8章模糊模式识别（3）中间型（图8-8(c)）212212111121221011sin222()111sin2220Axaaaxaxaaaxaxaaaxaxaaa2ax第8章模糊模式识别图8-8岭形分布(a)偏小型；(b)偏大型；(c)中间型第8章模糊模式识别8.1.3模糊子集的运算1.两个模糊子集之间的运算是通过对两个隶属度作逐点的运算来实现的。(1)相等:设和为论域U上的两个模糊子集,若,有,则称和相等,即ABBAuU()()BAuu(8-6)()()BAABuuuU第8章模糊模式识别(2)包含：设和为论域U上的两个模糊子集，若，有，则包含，即ABuUA()()BAuuB()()BAABuu(8-7)(3)空集：设为论域Ｕ上的模糊子集，若，有，则称为空集，记为，即AuU()0AuA()0AAuuU(8-8)第8章模糊模式识别(4)补集：设和为论域Ｕ上的两个模糊子集，若，有AAuU()1()AAuu(8-9)uU则称为的补集。AA(5)全集：设为论域U上的模糊子集，若，有，则称为全集，记为，即AAuU()1Au()1AAuuU(8-10)第8章模糊模式识别(6)并集：设，，都为论域Ｕ上的模糊子集，若，有，则称为与的并集，即ABCCABuU()Cumax(),()BAuu()max(),()BCACABuuuuU(8-11)(7)交集：设，，都为论域U上的模糊子集，若，有，则称为与的交集，即ABCuU()Cumin(),()BAuuCAB()min(),()BCACABuuuuU(8-12)第8章模糊模式识别2.一般地,除互补律以外,在普通集合中成立的各种基本性质对于模糊集合也都成立。模糊子集运算的基本性质如下:(1)自反律:AA(8-13)（2）反对称律,ABBAAB(8-14)第8章模糊模式识别(8-16)（3）传递律,ABBCAC(8-15)（4）幂等律,AAAAAA（5）交换律,ABBAABBA(8-17)第8章模糊模式识别(8-18)（6）结合律()(),()()ABCABCABCABC（7）吸收律(),()ABAAABAA(8-19)（8）分配律：()()(),()()()ABCABACABCABAC(8-20)第8章模糊模式识别(8-21)（9）双重否定律AA~~（10）对偶律（德•摩根定律）BABABABA~~)~~(,~~)~~(____________________(8-22)（11）定常律AAA~~,~；AAA~,~~(8-23)第8章模糊模式识别（12）一般地，互补律不成立,AAAA(8-24)3.模糊集合与普通集合的相互转化截集概念和分解定理是普通集合与模糊集合之间的联系纽带,可以把模糊集合论的问题转化为普通集合论的问题。与之对应的是,扩张原则把普通集合论的方法扩展到模糊集合论中去。扩张原则是Zedah于1975年提出的,可作为公理来使用,但实质上是一个定义。第8章模糊模式识别定义8.2对于给定的模糊集合,对任意λ∈［0,1］,称普通集合A{|,()}AAxxUx(8-2５)为的λ截集。Aλ是的隶属度达到或超过λ的元素的集合。不难证明,截集Aλ满足如下三个性质:AAABABABAB(01)AA(8-26)(8-27)(8-28)第8章模糊模式识别此外,容易验证,模糊数的λ截集为实数轴的一个闭区间,即Aλ=［aλ,bλ］。定义8.3设,称A1为的核;称为的支集;称Supp\A1为的边界。若模糊子集为正规模糊集,则的核是非空的,反之亦然。A()AFUSuppA{|()0}AxUxAAAA第8章模糊模式识别定理8.1（分解定理）设为论域U上的一个模糊子集，Aλ是的λ截集,λ∈［0,1］,则AAA]1,0[~AA(8-29)其中,模糊子集λAλ称为λ与Aλ的“乘积”,AxAxxA0)((8-30)第8章模糊模式识别8.2模糊关系8.2.1设U、V是两个论域,记},|),{(VyUxyxVU(