第35讲-方案设计题

第35讲方案设计题方案设计型问题是指根据问题所提供的信息，运用学过的技能和方法，进行设计和操作，然后通过分析、计算、证明等，确定出最佳方案的一类数学问题．解题时还要注重综合运用转化、数形结合、方程、函数及分类讨论等数学思想．第35讲┃方案设计题┃考向互动探究┃探究一图形方案设计例1[2012·山西]实践与操作，如图35－1①是以正方形两顶点为圆心，边长为半径，画两段相等的圆弧而成的轴对称图形，图②是以图①为基本图案经过图形变换拼成的一个中心对称图形．图35－1(1)请你仿照图①，用两段相等圆弧(小于或等于半圆)，在图③中重新设计一个不同的轴对称图形；(2)以你在图③中所画的图形为基本图案，经过图形变换在图④中拼成一个中心对称图形．第35讲┃方案设计题【例题分层探究】(1)图(1)对你设计轴对称图形起了怎样的作用？_________________________________________________(2)设计轴对称图形的关键是什么？_________________________________________________(3)图(2)对你设计中心对称图形起了怎样的作用？_________________________________________________(4)运用图形变换设计中心对称图形的关键是什么？_________________________________________________第35讲┃方案设计题(1)根据抛物线开口向上，可知a0，由抛物线与y轴交于负半轴可知c0，由对称轴x＝－b2a＝－10，可知b0，故abc0.(2)根据对称轴x＝－b2a＝－1可知b＝2a，所以2a－b＝0.(3)根据二次函数的对称性可知，抛物线与x轴的另一个交点为(1，0)，且当x－1时，函数值y随x的增大而增大，故当x＝2时，y＝4a＋2b＋c0.(4)利用二次函数的对称性，(－5，y1)关于对称轴x＝－1的对称点为(3，y)，当x－1时，函数值y随x的增大而增大，由523，得y1y2.第35讲┃方案设计题【解题方法点析】利用轴对称、中心对称和旋转设计图案，首先要确定“基本图形”，再找出“对称轴或对称中心”，然后根据题目要求设计出合理图案．此类题目一般不止一种答案，做题时需全面思考．第35讲┃方案设计题解：此题为开放性试题，答案不唯一，只要符合要求即可．第35讲┃方案设计题探究二测量方案设计例2一天，某校数学课外活动小组的同学们，带着皮尺去测量某河道因挖沙形成的“圆锥形坑”的深度，来评估这些深坑对河道的影响．如图35－2是同学们选择(确保测量过程中无安全隐患)的测量对象，测量方案如下：①先测量出沙坑坑沿圆周的周长约为34.54米；②甲同学直立于沙坑坑沿圆周所在平面上，经过适当调整自己所处的位置，当他位于点B时，恰好他的视线经过沙坑坑沿圆周上的一点A看到坑底S(甲同学的视线起点C与点A，S三点共线)．经测量：AB＝1.2米，BC＝1.6米.根据以上测量数据，求“圆锥形坑”的深度(圆锥的高)．(π取3.14，结果精确到0.1米)第35讲┃方案设计题【例题分层探究】(1)测量圆周的周长有什么目的？(2)甲同学的视线起点C与点A、点S三点共线，这样做的目的是什么？如何求“圆锥形坑”的深度呢？第35讲┃方案设计题(1)根据圆周的周长，可求圆的半径，为求“圆锥形坑”的深度作准备．(2)构造相似三角形，利用相似三角形的对应边成比例，可求“圆锥形坑”的深度．【解题方法点析】这类测量方案题目常测量关于长度的问题，求边长常用的方法有：①利用相似三角形对应边成比例；②利用直角三角形中的三角函数或勾股定理；③利用全等三角形对应边相等．第35讲┃方案设计题解：取圆锥底面圆心O，连接OS，OA，则∠O＝∠ABC＝90°，OS∥BC，∴∠ACB＝∠ASO，∴△SOA∽△CBA，∴OSBC＝OABA，∴OS＝OA·BCBA.∵OA＝34.542π≈5.5，BC＝1.6，AB＝1.2，∴OS＝5.5×1.61.2≈7.3，∴“圆锥形坑”的深度约为7.3米．第35讲┃方案设计题探究三最优方案设计例3[2013·南充]某商场购进一种每件价格为100元的新商品，经商场试销发现：销售单价x(元/件)与每天销售量y(件)之间满足如图35－3所示的关系．(1)求出y与x之间的函数关系式；(2)写出每天的利润W与销售单价x之间的函数关系式；若你是商场负责人，会将售价定为多少，来保证每天获得的利润最大，最大利润是多少？第35讲┃方案设计题【例题分层探究】(1)根据函数图象，此函数是什么函数？利用什么方法求y与x之间的函数关系式？(2)如何表示每件新商品的利润？每天的利润W与销售单价x之间的函数关系式如何表示？(3)根据(2)的函数关系式，如何确定售价，且保证利润最大？第35讲┃方案设计题第35讲┃方案设计题(1)从函数图象可看出，此函数是一次函数，且(130，50)和(150，30)都在图象上，故利用待定系数法可求一次函数关系式．(2)每件新商品的进货价为100元，售价为x元，故每件新商品的利润为(x－100)元，故每天的利润W＝(x－100)y＝(x－100)(－x＋180)．(3)由于W＝－(x－140)2＋1600，二次函数图象开口向下，有最大值，故当x＝140时，有最大利润1600元．【解题方法点析】这类经济方案设计题一般都是利用一次函数、二次函数或不等式解决问题．对于决策性问题，要注意利用分类讨论法，选择最佳方案．第35讲┃方案设计题第35讲┃方案设计题解：(1)由函数图象知y是x的一次函数，设y＝kx＋b(k≠0)，∵点(130，50)，(150，30)在y＝kx＋b的图象上，∴50＝130k＋b，30＝150k＋b，解得k＝－1，b＝180.∴y与x之间的函数关系式为y＝－x＋180.(2)由题知W＝(x－100)y＝(x－100)(－x＋180)＝－x2＋280x－18000＝－(x－140)2＋1600.所以每天的利润W与销售单价x之间的函数关系式为W＝－(x－140)2＋1600(或W＝－x2＋280x－18000)．∴若我是商场负责人，会将售价定为140元/件，可以保证每天获得的利润最大，最大利润是1600元．┃考题实战演练┃1．一名同学想用正方形和圆设计一个图案，要求整个图案关于正方形的某条对角线对称，那么下列图案中不符合要求的是()第35讲┃方案设计题D第35讲┃方案设计题[解析]选项A中，图象关于对角线所在的直线对称，两条对角线所在的直线都是其对称轴，故符合要求；选项B中，图象关于对角线所在的直线对称，两条对角线所在的直线都是其对称轴，故符合要求；选项C中，图象关于对角线所在的直线对称，有一条对称轴，故符合要求；选项D中，图象关于对角线所在的直线不对称，故不符合要求；故选D.2．小明中午放学回家自己煮面条吃，有下面几道工序：①洗锅盛水需2分钟；②洗菜需3分钟；③准备面条及佐料需2分钟；④用锅把水烧开需7分钟；⑤用烧开的水煮面条和菜需3分钟．以上各工序除④外，一次只能进行一道工序，小明要将面条煮好，最少用()A．9分钟B．10分钟C．12分钟D．17分钟第35讲┃方案设计题C第35讲┃方案设计题[解析]第一步，洗锅盛水花2分钟；第二步，用锅把水烧开7分钟，同时洗菜3分钟，准备面条及佐料2分钟，总计7分钟；第三步，用烧开的水煮面条和菜要3分钟．总计共用2＋7＋3＝12(分钟)．故选C.3．请在下列三个2×2的方格中，各画出一个三角形，要求所画三角形是图中三角形经过轴对称变换后得到的图形，且所画的三角形顶点与方格中的小正方形的顶点重合，并将所画三角形涂上阴影．(注：所画的三个图形不能重复)第35讲┃方案设计题第35讲┃方案设计题解：如图所示．4．[2013·广安]雅安芦山发生7.0级地震后，某校师生准备了一些等腰直角三角形纸片，从每张纸片中剪出一个半圆制作玩具，寄给灾区的小朋友．已知如图35－6，是腰长为4的等腰直角三角形ABC，要求剪出的半圆的直径在△ABC的边上，且半圆的弧与△ABC的其他两边相切，请作出所有不同方案的示意图，并求出相应半圆的半径(结果保留根号)．第35讲┃方案设计题第35讲┃方案设计题[解析]分直径在直角边AC，BC上和在斜边AB上三种情况分别求出半圆的半径，然后作出图形即可．第35讲┃方案设计题解：根据勾股定理，斜边AB＝42＋42＝42.①如图(1)、图(2)，直径在直角边BC或AC上时，∵半圆的弧与△ABC的其他两边相切，∴r4＝4－r42，解得r＝42－4.②如图(3)，直径在斜边AB上时，∵半圆的弧与△ABC的其他两边相切，∴4－r4＝r4，解得r＝2.作出图形如图所示：5．[2013·潍坊]为了改善市民的生活环境，我市在某河滨空地处修建一个如图35－7所示的休闲文化广场，在Rt△ABC内修建矩形水池DEFG，使顶点D，E在斜边AB上，F，G分别在直角边BC，AC上；又分别以AB，BC，AC为直径作半圆，它们交出两弯新月(图中阴影部分)，两弯新月部分栽植花草，其余空地铺设地砖．其中AB＝243米，∠BAC＝60°.设EF＝x米，DE＝y米．(1)求y与x之间的函数解析式；(2)当x为何值时，矩形DEFG的面积最大？最大面积是多少？(3)求两弯新月(图中阴影部分)的面积，并求当x为何值时，矩形DEFG的面积等于两弯新月面积的13？第35讲┃方案设计题第35讲┃方案设计题解：(1)在直角三角形ABC中，由题意可得AC＝123米，BC＝36米，∠ABC＝30°，∴AD＝DGtan60°＝x3＝33x，BE＝EFtan30°＝3x.又AD＋DE＋BE＝AB，∴y＝243－433x(0＜x＜18)．(2)S矩形DEFG＝xy＝x243－433x＝－433(x－9)2＋1083，∴当x＝9时，矩形DEFG的面积最大，最大面积是1083平方米．第35讲┃方案设计题(3)记AC为直径的半圆、BC为直径的半圆、AB为直径的半圆面积分别为S1、S2、S3，两弯新月面积为S，则S1＝18πAC2，S2＝18πBC2，S3＝18πAB2.由AC2＋BC2＝AB2，可知S1＋S2＝S3，S1＋S2－S＝S3－S△ABC，∴S＝S△ABC，∴S＝12×123×36＝2163(平方米)．由－433(x－9)2＋1083＝13×2163，解得x＝9±33，均符合题意，∴当x＝9±33时，矩形DEFG的面积等于两弯新月面积的13.6．[2013·遂宁]四川省第十二届运动会将于2014年8月18日在我市隆重开幕，根据大会组委会安排，某校接受了开幕式大型团体操表演任务．为此，学校需要采购一批演出服装，A，B两家制衣公司都愿成为这批服装的供应商．经了解：两家公司生产的这款演出服装的质量和单价都相同，即男装每套120元，女装每套100元．经洽谈协商：A公司给出的优惠条件是，全部服装按单价打七折，但校方需承担2200元的运费；B公司的优惠条件是男女装均按每套100元打八折，公司承担运费．另外根据大会组委会要求，参加演出的女生人数应是男生人数的2倍少100人，如果设参加演出的男生有x人．(1)分别写出学校购买A，B两公司服装所付的总费用y1(元)和y2(元)与参演男生人数x之间的函数关系式；(2)问：该学校购买哪家制衣公司的服装比较合算？请说明理由．第35讲┃方案设计题第35讲┃方案设计题[解析](1)根据总费用＝男生的人数×男生每套的价格＋女生的人数×女生每套的价格＋运算就可以分别表示出y1(元)和y2(元)与男生人数x之间的函数关系式；(2)根据条件可以知道购买服装的费用受x的变化而变化，分情况讨论，当y1y2时，当y1＝y2时，当y1y2时，求出x的范围就可以求出结论．第35讲┃方案设计题解：(1)总费用y1(元)和y2(元)与参演男生人数x之间的函数关系式分别是：y1＝0.7[120x＋100(2x－100)]＋2200＝224x－4800，y2＝0.8[100