《怎样走最近》同步练习及答案2

《怎样走最近》同步练习1.如下图，正四棱柱的底面边长为5cm，侧棱长为8cm，一只蚂蚁欲从正四棱柱底面上的A点沿棱柱侧面到点C’处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是多少？思路分析：解这类题的思路是“空间图形平面化”，把空间两点的距离转化为平面上两点间的距离，利用“两点之间线段最短”进行计算。解：如图1，设蚂蚁爬行的路径是AEC’（在面ADD’A’上爬行是一样的）。将四棱柱剪开铺平，使矩形AA’B’B与BB’C’C相连，连接AC’，使E点在AC’上。（如图2）)(412810')('2222cmCCBCABAC。所以这只蚂蚁爬行的最短路径长为cm412。2.如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC三个顶点的坐标分别为A(－6，0)，B(6，0)，C(0，34)，延长AC到点D，使CD＝21AC，过D点作DE∥AB交BC的延长线于点E．（1）求D点的坐标；（2）作C点关于直线DE的对称点F，分别连结DF、EF，若过B点的直线ykxb将四边形CDFE分成周长相等的两个四边形，确定此直线的解析式；（3）设G为y轴上一点，点P从直线y＝kx＋b与y轴的交点出发，先沿y轴到达G点，再沿GA到达A点，若P点在y轴上运动的速度是它在直线GA上运动速度的2倍，试确定G点的位置，使P点按照上述要求到达A点所用的时间最短．（要求：简述确定G点位置的方法，但不要求证明）思路分析：第(1)问，利用相似三角形的知识即可解决；第(2)问是平行四边形对角线交点的任意一条直线都可将它的周长和面积平分的问题，所以连结点B、M11AByxOCED即可；第(3)问，首先是利用路程、时间与速度的关系将P点转化为相同的速度，然后根据“化折为直：的思路，利用“点到直线的距离，垂线段最短”转化为求线段和最短问题。解：(1)∵A(－6，0)，C(0，43)，∴OA＝6，OC＝43．设DE与y轴交于点M．由DE∥AB可得△DMC∽△AOC．又ACCD21，21CACDCOCMOAMD．∴CM＝23，MD＝3．同理可得EM＝3．∴OM＝63．∴D点的坐标为(3，63)．(2)由(1)可得点M的坐标为(0，63)．由DE∥AB，EM＝MD，可得y轴所在直线是线段ED的垂直平分线．∴点C关于直线DE的对称点F在y轴上．∴ED与CF互相垂直平分．∴CD＝DF＝FE＝EC．∴四边形CDFE为菱形，且点M为其对称中心．作直线BM．设BM与CD、EF分别交于点S、点T．可证△FTM≌△CSM．∴FT＝CS．∵FE＝CD，∴TE＝SD．∵EC＝DF，∴TE＋EC＋CS＋ST＝SD＋DF＋FT＋TS．∴直线BM将四边形CDFE分成周长相等的两个四边形．由点B(6，0)，点M(0，63)在直线y＝kx＋b上，可得直线BM的解析式为y＝－3x＋63．(3)确定G点位置的方法：过A点作AH⊥BM于点H，则AH与y轴的交点为所求的G点．由OB＝6，OM＝63，可得∠OBM＝60°．∴∠BAH＝30°．在Rt△OAG中，OG＝AO·tan∠BAH＝23．∴G点的坐标为(0，23)．(或G点的位置为线段OC的中点)3.如图，已知点A(-4，8)和点B(2，n)在抛物线2yax上．4x22A8-2O-2-4y6BCD-44(1)求a的值及点B关于x轴对称点P的坐标，并在x轴上找一点Q，使得AQ+QB最短，求出点Q的坐标；(2)平移抛物线2yax，记平移后点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，点C(-2，0)和点D(-4，0)是x轴上的两个定点．①当抛物线向左平移到某个位置时，A′C+CB′最短，求此时抛物线的函数解析式；②当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形A′B′CD的周长最短？若存在，求出此时抛物线的函数解析式；若不存在，请说明理由．思路分析：本题的思路是“化折为直”，(1)是直接利用“两点之间线段最短”，而(2)则是先平移后再利用“两点之间线段最短”解决问题。解：(1)将点A(-4，8)的坐标代入2yax，解得12a．将点B(2，n)的坐标代入212yx，求得点B的坐标为(2，2)，则点B关于x轴对称点P的坐标为(2，-2)．直线AP的解析式是5433yx．令y=0，得45x．即所求点Q的坐标是(45，0)．(2)①解法1：CQ=︱-2-45︱=145，故将抛物线212yx向左平移145个单位时，A′C+CB′最短，此时抛物线的函数解析式为2114()25yx．解法2：设将抛物线212yx向左平移m个单位，则平移后A′，B′的坐标分别为A′(-4-m，8)和B′(2-m，2)，点A′关于x轴对称点的坐标为A′′(-4-m，-8)．直线A′′B′的解析式为554333yxm．要使A′C+CB′最短，点C应在直线A′′B′上，将点C(-2，0)代入直线A′′B′的解析式，解得145m．故将抛物线212yx向左平移145个单位时A′C+CB′最短，此时抛物线的函数解析式为2114()25yx．②左右平移抛物线212yx，因为线段A′B′和CD的长是定值，所以要使四边形A′B′CD的周长最短，只要使A′D+CB′最短；(1)4x22A8-2O-2-4y6BCD-44QP(2)①4x22A′8-2O-2-4y6B′CD-44A′′(第24题(2)②)4x22A′8-2O-2-4y6B′CD-44A′′B′′第一种情况：如果将抛物线向右平移，显然有A′D+CB′AD+CB，因此不存在某个位置，使四边形A′B′CD的周长最短．第二种情况：设抛物线向左平移了b个单位，则点A′和点B′的坐标分别为A′(-4-b，8)和B′(2-b，2)．因为CD=2，因此将点B′向左平移2个单位得B′′(-b，2)，要使A′D+CB′最短，只要使A′D+DB′′最短．点A′关于x轴对称点的坐标为A′′(-4-b，-8)，直线A′′B′′的解析式为55222yxb．要使A′D+DB′′最短，点D应在直线A′′B′′上，将点D(-4，0)代入直线A′′B′′的解析式，解得165b．故将抛物线向左平移时，存在某个位置，使四边形A′B′CD的周长最短，此时抛物线的函数解析式为2116()25yx【精选习题】1.如下图所示，圆柱形玻璃容器高18cm，底面周长为60cm，在外侧距下底1cm的点S处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处1cm的点F处有一苍蝇，则求蜘蛛捕获苍蝇充饥所走的最短路线的长度为__________________2.如下图，在圆柱形的桶外，有一只蚂蚁要从桶外的A点爬到桶内的B点去寻找食物，已知A点沿母线到桶口C点的距离是12厘米，B点沿母线到桶口D点的距离是8厘米，而C、D两点之间的（桶口）弧长是15厘米．那么蚂蚁爬行的是最短路程长是____________________3.如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm，3cm和1cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物.请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短路程是_____________4.如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C1处（三条棱长如图所示），则最短路程是_____________5.如图，有一圆锥形粮堆，其主视图是边长为6m的正三角形ABC，粮堆母线AC的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，此时小猫正在B处，它要沿圆锥侧面到达P处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是__________m。（结果不取近似值）ABA1B1DCD1C1214ABA1B1DCD1C12146.如图，菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE＋PB的最小值是__________。7.如图，在△ABC中，点A、B、C的坐标分别为（x，0）、（0，1）和（3，2），则当△ABC的周长最小时，x的值为_______。8.如图所示，正方形ABCD的面积为12，ABE△是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PDPE的和最小，则这个最小值为__________________9.已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，BC=DC=5，点P在BC上移动，则当PA+PD取最小值时，△APD中边AP上的高为_____________10.如图，在锐角△ABC中，AB＝42，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是____．11.如图,C为线段BD上一动点,分别过点B、D作AB⊥BD,ED⊥BD,连接AC、EC.已知AB=5,DE=1,BD=8,设CD=x.(1)用含x的代数式表示AC＋CE的长；(2)请问点C满足什么条件时,AC＋CE的值最小?(3)根据(2)中的规律和结论,请构图求出代数式9)12(422xx的最小值.12.已知：抛物线的对称轴为x=-1，它与x轴交于AB，两点，与y轴交于点C，其中30A，、02C，．（1）求这条抛物线的函数表达式．（2）已知在对称轴上存在一点P，使得PBC△的周长最小．请求出点P的坐标．（3）若点D是线段OC上的一个动点（不与点O、点C重合）．过点D作DEPC∥交x轴于点E．连接PD、PE．设CD的长为m，PDE△的面积为S．求S与m之间的函数关系式．试说明S是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．ADEPBCACxyBOEDCBAyOxPDB(40)A，(02)C，13.如图，已知抛物线y=x2+bx+c经过点（1，-5）和（-2，4）（1）求这条抛物线的解析式．（2）设此抛物线与直线yx相交于点A，B（点B在点A的右侧），平行于y轴的直线051xmm与抛物线交于点M，与直线yx交于点N，交x轴于点P，求线段MN的长（用含m的代数式表示）．（3）在条件（2）的情况下，连接OM、BM，是否存在m的值，使△BOM的面积S最大？若存在，请求出m的值，若不存在，请说明理由．14.如图，在矩形OABC中，已知A、C两点的坐标分别为(40)(02)AC，、，，D为OA的中点．设点P是AOC平分线上的一个动点（不与点O重合）．（1）试证明：无论点P运动到何处，PC总与PD相等；（2）当点P运动到与点B的距离最小时，试确定过OPD、、三点的抛物线的解析式；（3）设点E是（2）中所确定抛物线的顶点，当点P运动到何处时，PDE△的周长最小？求出此时点P的坐标和PDE△的周长；（4）设点N是矩形OABC的对称中心，是否存在点P，使90CPN°？若存在，请直接写出点P的坐标．xOPNMBAyy=xx=m15.如图，已知平面直角坐标系，A，B两点的坐标分别为A（2，－3），B（4，－1）。（1）若P（p，0）是x轴上的一个动点，则当p＝________时，△PAB的周长最短；（2）若C（a，0），D（3a，0）是x轴上的两个动点，则当a＝________时，四边形ABDC的周长最短；（3）设M，N分别为x轴和y轴上的动点，请问：是否存在这样的点M（m，0），N（0，n），使四边形ABMN的周长最短？若存在，请写出m和n的值；若不存在，请说明理由。最短路线问题参考答案：1.34；2.25cm；3.13cm；4.5；5.53;6.3;7.1;8.232;ABxyO（1）ABxyO（2）ABxyO（3）9.17178;10.4;11.(1)125)8(22xx;(2)当A、C、E三点共线时,AC+CE的值最小;(3)13.12.即9)12(422xx的最小值为13.（1）y＝32x2＋34x－2;（2）点P的坐标为（－1，－34）;（3）S＝－43m2＋23m，当m＝1时，S最大＝43.13.（1）y＝x2-2x－4，（2）MN=-m2+3m+4;（3）当m＝1.5时，S最大＝225.14.(1)略；(2)y＝x2-2x；(3)P（32