2014-2015年八年级下数学期末专题复习和训练几何计算题

八年级数学下册期末专题复习和训练：几何计算题、证明题赵化中学郑宗平一、题型特点：四边形（五种常见的）、三角形的中位线、矩形的推论穿插其中，……二、常见新型题型：动点、折纸、开放（条件、结论开放）、探索性（数量关系、位置关系），……三、图形搭建：三角形中搭建四边形、四边形中搭建三角形、组合图形，……下面我根据图形搭建结构特征进行分类，列举一部分和本期几何部分（主要是平行四边形）的计算题、证明题，让我们共同来探究、解析.一、以平行四边形搭建起来的图形例1.ABCD中，AB=4cm，AD=7cm,∠ABC的平分线交AD于E,交CO的延长线于F,求DF的长？分析：本题要求的DF长的途径有两条：其一.DFCFCD；其二.DFDEADAE.采取第一途径可以少一些环节，根据平行四边形的性质和角的平分线的定义可以比较容易得出BCF是等腰三角形，即CFCB；由于平行四边形的对边相等可以得出:,CDAB4cmCBAD7cm.故DF743cm例2.△ABC、△ADE都是正三角形，CD=BF.（1）、求证：△ACD≌△CBF（2）、当D运动至BC边上的何处时，四边形CDEF为平行四边形，且∠DEF=30°,并证明你的结论.分析：⑴.证明△ACD≌△CBF已经有了CD=BF，而△ABC、△ADE都是正三角形又可以给我们提供,CACBACDCBF60条件，根据“SAS”判定方法可以证得△ACD≌△CBF.⑵.根据⑴问的△ACD≌△CBF得出ADCF,又△ADE是正三角形的DECF,所以CFDE;要使四边形CDEF为平行四边形可以证CFDE.若四边形CDEF为平行四边形，则FCDDEF30；当EDB30时，就有FCDEDB,此时就能证得CFDE.由正△ADE可以得出ADE60，则ADB603090,ADBC;由于等腰三角形具有“三线合一”的特征，所以当D运动至BC边上中点时，四边形CDEF为平行四边形.练习：1.如图,在□ABCD中，AE⊥BC,AF⊥CD,∠EAF=60°，则∠B=（）；2.□ABCD的周长为60ｃｍ，对角线AC、BD交于点O,△AOB的周长比△BOC的周长多10ｃｍ，则AD=（），DC=()；3.□ABCD中，∠ABC的平分线BE交AD于E点，若∠ABE=25°CD=5cm,BC=7cm,那么∠ABE=（），∠BED=（），AE=（）.4.已知□ABCD，BE=AB,BF=BD.求证：CD=CM5.△ABC是正三角形，AE=BD,DF∥CE,EF∥CD.求证:△AGF≌△EAC6.以△ABC的三边在BC的同侧做等边△EBC、等边△FBA、等边△DAC.⑴.判断四边形FADE的形状？⑵.当∠BAC为多少度时，四边形FADE为矩形？⑶.当∠BAC为多少度时，四边形FADE不存在？7.有一块如图的玻璃，不小心把DEF部分打碎，现在只测得AB=60cm,BC=80cm，∠A=120°，∠B=60°，∠C=150°，你能根据测得的数据计算AD的长？二、以矩形搭建起来的图形例1.D为□ABCD外一点，∠APC=∠BPD=90°.求证:□ABCD为矩形分析：判定矩形的方法主要有三种.但在已知了四边形ABCD是平行四边形的情况下，要判定ABCD是矩形的途径有两条：其一、找一内角是直角；其二、找出对角线相等，即找出ACBD.由于本题的另一主要条件是∠APC=∠BPD=90°，要根据题中条件和图形位置转换成四边形的内角为90°比较困难，所以本题我们先想办法找出对角线相等，即找出ACBD.MCDFBAEGFEABCDFEDBCADFEBCAOCBDPAFEABCDFEDACB我们发现本题在APCRt和BPDRt的两斜边的交点O恰好是平行四边形对角线的交点，根据平行四边形对角线互相平分可知：O同时是ACBD、的中点；所以自然联想到连结PO这条两直角三角形公共的中线（见图）.根据以上条件，在APCRt和BPDRt中就有：AC2POBD2PO,故ACBD,由对角线相等的平行四边形是矩形，可判定ABCD是矩形.例2.矩形ABCD中，AB=3，AD=4，PE⊥AC，PF⊥BD，⑴.求PE+PF的值？⑵.若点P是AD上的一动点（不与AD、重合），还是作PE⊥AC，PF⊥BD，则PE+PF的值是否会发生变化？为什么？分析：求线段的和或差我们会联想到证明中的“截长补短”法，但本题不具备这方面的条件.本题从面积入手可以破题：如图连结PO,只要我们能求出APO和DPO的面积之和问题便可以获得解决.略解：⑴.∵四边形ABCD是矩形∴BAD90,,11OAACODBD22,ACBD∴1OAODBD2在ABDRt中，AB=3，AD=4；并且根据勾股定理有：222BDABAD，即222BD34，又BD0，所以.=BD5∴.==11OAODBD52522∵,11AOPOAPEDOPODPF22SS，且ABCD11AOD34344SS矩形(过程略)∴++=11AOPDOPOAPEODPFAOD22SSS,即..1125PE25PF322∴12PEPF5.⑵.不会发生变化.这是因为AODAOPPOD、、的面积以及作为底边的OAOD、不会发生变化.练习：1.矩形ABCD中，AF=DE.求证：BE=CF2.矩形ABCD中，BE⊥AC，CF⊥BD.求证：BE=CF3.矩形ABCD中，DF平分∠ADC,∠BDF=15°.求∠DOC与∠COF的度数？4、矩形ABCD中，CE∥BD，则△ACE为等腰三角形吗？为什么？5.如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，将△ABE沿AE折叠，使点B落在AC上的点B′处，又将△CEF沿EF折叠，使点C落在EB′与AD的交点C′处．则BC：AB的值为多少？三、以菱形搭建起来的图形例1.△ABC中，∠BAC=90°，BD平分∠ABC，AH⊥BC于H交BD于E,DF⊥BC于F,求证：四边形AEFD是菱形分析：判定菱形方法主要有三种，三种方法都可以使本题获得解决.下面我们选择“四边都相等的四边形是菱形”这一途径来分析.可以先根据角平分线的性质得出ADFD,进而容易证明ABD≌AFD,所以BABF;再证明ABE≌AFE可以得到EAEF（也可以利用等腰三角形的“三线合一”）；利用等角的余角相等可以推出ADEAED,所以EADA,于是AEEFFDDA,故四边形AEFD是菱形.例2.（2012中考·自贡）如图所示，在菱形ABCD中，,AB4BAD120，AEF为正三角形，点EF、分别在菱形的边BCCD、上滑动，且EF、不与BCD、、重合．⑴.证明不论EF、在BCCD、D上如何滑动，总有BECF?⑵.当点EF、在BCCD、上滑动时，探讨四边形AECF的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值.分析：⑴.先求证ABAC，进而求证ABCACD、为等边三角形，得=BAC60ACAB，进而求证ABE≌ACF，即可求得BECF⑵.根据ABE≌ACF可得ABEACFSS;根据S四边形AECF=AECSACFS=AECSBAES=ABCS即可解得.ABCDPEFOEFODBCAEFDBCAODCBAECABHDEFFC'B'EDBCA⑴.证明：连接AC，如下图所示.∵四边形ABCD为菱形，BAD120∴,1EAC602EAC60∴12∵BAD120∴ABC60∴ABC和ACD都为等边三角形∴=460ACAB，∴在ABE和ACF中，12ABACABC3∴ABE≌ACFASA∴BECF⑵.解：四边形AECF的面积不变.理由：由⑴得ABE≌ACF，则ABEACFSS.故S四边形AECF=AECSACFS=AECSBAES=ABCS是定值.作AHBC于H点，则BH2来源:学科网]S四边形ABCD＝SABC=2211BCAHBCABBH4322练习：1.已知ABCD，添加下列一个条件：①.AC⊥BD；②.∠BAD=90°；③.AB=BC；④.AC=BD.其中能使ABCD是菱形的为（）A．①③B．②③C．④D.①②③2.菱形ABCD中，E为AB上的一点，CE交BD于F.求证：⑴.△ABF≌△CBF；⑵.∠BEC=∠DAF.3.菱形的对角线的比是2：3，周长为1304cm，求菱形的面积？4.如图，平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与ADACBC、、分别交于点EOF、、求证：四边形AFCE是菱形.5.如图，菱形ABCD中，∠B=60°，AB=2，点E、F分别是AB、AD上的动点，且满足BE=AF，接连EF、EC、CF．求证：△EFC是等边三角形6.9、Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，DE垂直平分BC，且AF=CE.求证：四边形ACEF为菱形四、以正方形搭建起来的图形例1.正方形ABCD中，△DCE是等边三角形.⑴.求∠AED的度数？⑵.若OF=1，求AB的长？分析：⑴.根据正方形和等边三角形的性质综合可以得出,DADEADE9060150,所以得出：DAEDEA,所以11AEDDAE180150301522.⑵.根据正方形的性质综合可以得出ACBD,在AOFRt中，,FAO451530OF1所以AF2OF2,根据勾股定理可以求出22OA213,所以ACBD23.根据勾股定理或者面积公式可以得出：211ABACBD2323622.又.AB0AB6.例2、正方形ABCD的面积为64，DE=2,P为AC上的一动点；求PD+PE的最小值？分析:在一条直线同侧的两点，到直线某点的距离之和最小，按如图所示作E的对称点'E（根据正方形的对称性，对称点'E恰好落在边BC上）连结'DE交AC于点'P,根据轴对称的性质''''''DEDPEPDPEP,此时和是最小的.根据正方形ABCD的面积为64可求得边长DC8,所以CECDDE826。所以'CE6根据正方形的性质和勾股定理可以求得：''2222DECDEC8610;即PD+PE的最小值为10.练习:1.正方形ABCD中，∠DAF=25°，如图所示则∠BEC=().BADCFEEFODBCAEDABCFFOEDABCABCDPE'E'PBCAFED321EHCABDF2.在△ABC中，∠B=∠C，D为BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC,垂足分别为E、F.⑴.求证:△BOE≌△CDF⑵.当△ABC是直角三角形时，四边形AEDF是正方形？3.如图，边长为3的正方形ABCD绕点按顺时针方向旋转30°后得到的正方形EFCG交AD于点H,S四边形HFCD=（）.4.正方形ABCD中，其面积为1，△PDC为正三角形，求△PBD的面积？5.E为边长为1的正方形ABCD的对角线上的一点，且BE=BC,P为CE上的一动点，PQ⊥BC，PR⊥BE，求PQ+PR的值？6.正方形AEFG绕着正方形ABCD点A向外（逆时针）旋转一定角度，连结BEGD、（见图）.⑴.求证：BEGD⑵.如果改成正方形AEFG绕着正方形ABCD点A向内（顺时针）旋转一定角度，连结BEGD、.那么BEGD这个结论还成立吗？请画出示意图，并说明理由.五、以梯形搭建起来的图形例1.Rt△ABC中，ED、分别为斜边AB和直角边AC上的中点，DF∥EC，求证：四边形EBFD为等腰梯形.分析：本题求证四边形EBFD为等腰梯形，就需要有且只有一组对比平行而另一组对边相等但不平行.根据ED、分别为斜边AB和直角边AC上的中点可以推出DEBC即DEBF所以四边形EBFD为梯形；又DF∥EC，所以四边形EBFD为平行四边形,所以ECDF；在ACBRt中，E分别为斜边AB上的中点，所以1CEAB21BEAB2,所以CEBE;又ECDF，所以EBDF,故：四边形EBFD为等腰梯形.2、如图在等