北京市丰台区2017届九年级上期末数学试卷含答案解析

2016-2017学年北京市丰台区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本题共30分，每小题3分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．如图，点D，E分别在△ABC的AB，AC边上，且DE∥BC，如果AD：AB=2：3，那么DE：BC等于（）A．3：2B．2：5C．2：3D．3：52．如果⊙O的半径为7cm，圆心O到直线l的距离为d，且d=5cm，那么⊙O和直线l的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．不确定3．如果两个相似多边形的面积比为4：9，那么它们的周长比为（）A．4：9B．2：3C．：D．16：814．把二次函数y=x2﹣2x+4化为y=a（x﹣h）2+k的形式，下列变形正确的是（）A．y=（x+1）2+3B．y=（x﹣2）2+3C．y=（x﹣1）2+5D．y=（x﹣1）2+35．如果某个斜坡的坡度是1：，那么这个斜坡的坡角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°6．如图，AB是⊙O的直径，C，D两点在⊙O上，如果∠C=40°，那么∠ABD的度数为（）A．40°B．50°C．70°D．80°7．如果A（2，y1），B（3，y2）两点都在反比例函数y=的图象上，那么y1与y2的大小关系是（）A．y1＜y2B．y1＞y2C．y1=y2D．y1≥y28．如图，AB为半圆O的直径，弦AD，BC相交于点P，如果CD=3，AB=4，那么S△PDC：S△PBA等于（）A．16：9B．3：4C．4：3D．9：169．如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF来测量操场旗杆AB的高度，他们通过调整测量位置，使斜边DF与地面保持平行，并使边DE与旗杆顶点A在同一直线上，已知DE=0.5米，EF=0.25米，目测点D到地面的距离DG=1.5米，到旗杆的水平距离DC=20米，则旗杆的高度为（）A．10米B．（10+1.5）米C．11.5米D．10米10．如图，在菱形ABCD中，AB=3，∠BAD=120°，点E从点B出发，沿BC和CD边移动，作EF⊥直线AB于点F，设点E移动的路程为x，△DEF的面积为y，则y关于x的函数图象为（）A．B．C．D．二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．二次函数y=2（x﹣1）2﹣5的最小值是．12．已知，则=．13．已知一扇形的面积是24π，圆心角是60°，则这个扇形的半径是．14．请写出一个符合以下两个条件的反比例函数的表达式：．①图象位于第二、四象限；②如果过图象上任意一点A作AB⊥x轴于点B，作AC⊥y轴于点C，那么得到的矩形ABOC的面积小于6．15．如图，将半径为3cm的圆形纸片折叠后，劣弧中点C恰好与圆心O距离1cm，则折痕AB的长为cm．16．太阳能光伏发电是一种清洁、安全、便利、高效的新兴能源，因而逐渐被推广使用．如图是太阳能电池板支撑架的截面图，其中的粗线表示支撑角钢，太阳能电池板与支撑角钢AB的长度相同，支撑角钢EF长为cm，AB的倾斜角为30°，BE=CA=50cm，支撑角钢CD，EF与底座地基台面接触点分别为D，F，CD垂直于地面，FE⊥AB于点E．两个底座地基高度相同（即点D，F到地面的垂直距离相同），均为30cm，点A到地面的垂直距离为50cm，则支撑角钢CD的长度是cm，AB的长度是cm．三、解答题（本题共35分，每小题5分）17．计算：6tan30°+cos245°﹣sin60°．18．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=，BC=12，求AB的长．19．已知二次函数y=﹣x2+x+c的图象与x轴只有一个交点．（1）求这个二次函数的表达式及顶点坐标；（2）当x取何值时，y随x的增大而减小．20．如图，已知AE平分∠BAC，=．（1）求证：∠E=∠C；（2）若AB=9，AD=5，DC=3，求BE的长．21．如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y=的图象与一次函数y=﹣x+1的图象的一个交点为A（﹣1，m）．（1）求这个反比例函数的表达式；（2）如果一次函数y=﹣x+1的图象与x轴交于点B（n，0），请确定当x＜n时，对应的反比例函数y=的值的范围．22．已知：如图，AB为⊙O的直径，PA、PC是⊙O的切线，A、C为切点，∠BAC=30°．（1）求∠P的大小；（2）若AB=6，求PA的长．23．已知：△ABC．（1）求作：△ABC的外接圆，请保留作图痕迹；（2）至少写出两条作图的依据．四、解答题（本题共22分，第24至25题，每小题5分，第26至27题，每小题5分）24．青青书店购进了一批单价为20元的中华传统文化丛书．在销售的过程中发现，这种图书每天的销售数量y（本）与销售单价x（元）满足一次函数关系：y=﹣3x+108（20＜x＜36）．如果销售这种图书每天的利润为p（元），那么销售单价定为多少元时，每天获得的利润最大？最大利润是多少？25．如图，将一个Rt△BPE与正方形ABCD叠放在一起，并使其直角顶点P落在线段CD上（不与C，D两点重合），斜边的一部分与线段AB重合．（1）图中与Rt△BCP相似的三角形共有个，分别是；（2）请选择第（1）问答案中的任意一个三角形，完成该三角形与△BCP相似的证明．26．有这样一个问题：探究函数y=的图象与性质．小美根据学习函数的经验，对函数y=的图象与性质进行了探究．下面是小美的探究过程，请补充完整：（1）函数y=的自变量x的取值范围是；（2）下表是y与x的几组对应值．x﹣2﹣﹣1﹣1234…y0﹣﹣1﹣m…求m的值；（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象；（4）结合函数的图象，写出该函数的一条性质：．27．如图，以△ABC的边AB为直径作⊙O，与BC交于点D，点E是弧BD的中点，连接AE交BC于点F，∠ACB=2∠BAE．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若sinB=，BD=5，求BF的长．五、解答题（本题共15分，第28题7分，第29题8分）28．已知抛物线G1：y=a（x﹣h）2+2的对称轴为x=﹣1，且经过原点．（1）求抛物线G1的表达式；（2）将抛物线G1先沿x轴翻折，再向左平移1个单位后，与x轴分别交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于C点，求A点的坐标；（3）记抛物线在点A，C之间的部分为图象G2（包含A，C两点），如果直线m：y=kx﹣2与图象G2只有一个公共点，请结合函数图象，求直线m与抛物线G2的对称轴交点的纵坐标t的值或范围．29．如图，对于平面直角坐标系xOy中的点P和线段AB，给出如下定义：如果线段AB上存在两个点M，N，使得∠MPN=30°，那么称点P为线段AB的伴随点．（1）已知点A（﹣1，0），B（1，0）及D（1，﹣1），E（，﹣），F（0，2+），①在点D，E，F中，线段AB的伴随点是；②作直线AF，若直线AF上的点P（m，n）是线段AB的伴随点，求m的取值范围；（2）平面内有一个腰长为1的等腰直角三角形，若该三角形边上的任意一点都是某条线段a的伴随点，请直接写出这条线段a的长度的范围．2016-2017学年北京市丰台区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共30分，每小题3分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．如图，点D，E分别在△ABC的AB，AC边上，且DE∥BC，如果AD：AB=2：3，那么DE：BC等于（）A．3：2B．2：5C．2：3D．3：5【考点】平行线分线段成比例．【分析】由平行线分线段成比例定理即可得出结果．【解答】解：∵DE∥BC，∴DE：BC=AD：AB=2：3；故选：C．2．如果⊙O的半径为7cm，圆心O到直线l的距离为d，且d=5cm，那么⊙O和直线l的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．不确定【考点】直线与圆的位置关系．【分析】根据直线和圆的位置关系的内容判断即可．【解答】解：∵⊙O的半径为7cm，圆心O到直线l的距离为d，且d=5cm，∴5＜7，∴直线l与⊙O的位置关系是相交，故选A．3．如果两个相似多边形的面积比为4：9，那么它们的周长比为（）A．4：9B．2：3C．：D．16：81【考点】相似多边形的性质．【分析】直接根据相似多边形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方进行解答即可．【解答】解：∵两个相似多边形面积的比为4：9，∴两个相似多边形周长的比等于2：3，∴这两个相似多边形周长的比是2：3．故选：B．4．把二次函数y=x2﹣2x+4化为y=a（x﹣h）2+k的形式，下列变形正确的是（）A．y=（x+1）2+3B．y=（x﹣2）2+3C．y=（x﹣1）2+5D．y=（x﹣1）2+3【考点】二次函数的三种形式．【分析】利用配方法整理即可得解．【解答】解：y=x2﹣2x+4，=x2﹣2x+1+3，=（x﹣1）2+3．故选D．5．如果某个斜坡的坡度是1：，那么这个斜坡的坡角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【分析】根据坡角的正切=坡度，列式可得结果．【解答】解：设这个斜坡的坡角为α，由题意得：tanα=1：=，∴α=30°；故选A．6．如图，AB是⊙O的直径，C，D两点在⊙O上，如果∠C=40°，那么∠ABD的度数为（）A．40°B．50°C．70°D．80°【考点】圆周角定理．【分析】由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，求得∠DAB的度数．由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角求得∠ADB的度数，进而即可求得∠ABD的度数．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵∠C=40°，∴∠DAB=∠C=40°，∴∠ABD=90°﹣∠DAB=50°．故选B．7．如果A（2，y1），B（3，y2）两点都在反比例函数y=的图象上，那么y1与y2的大小关系是（）A．y1＜y2B．y1＞y2C．y1=y2D．y1≥y2【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．【分析】直接把点A（2，y1），B（3，y2）两点代入反比例函数y=的解析式，求出y1与y2的值，再比较其大小即可．【解答】解：∵A（2，y1），B（3，y2）两点都在反比例函数y=的图象上，∴y1=，y2=．∵＞，∴y1＞y2．故选B．8．如图，AB为半圆O的直径，弦AD，BC相交于点P，如果CD=3，AB=4，那么S△PDC：S△PBA等于（）A．16：9B．3：4C．4：3D．9：16【考点】相似三角形的判定与性质；圆周角定理．【分析】根据图形可得∠DCP=∠BAP，∠CPD=∠APB，进而得出△ABP∽△CDP，根据相似三角形的性质可得，S△PDC：S△PBA=（）2，最后根据CD=3，AB=4进行计算即可．【解答】解：∵∠DCP=∠BAP，∠CPD=∠APB，∴△ABP∽△CDP，∴S△PDC：S△PBA=（）2=（）2=，故选：D．9．如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF来测量操场旗杆AB的高度，他们通过调整测量位置，使斜边DF与地面保持平行，并使边DE与旗杆顶点A在同一直线上，已知DE=0.5米，EF=0.25米，目测点D到地面的距离DG=1.5米，到旗杆的水平距离DC=20米，则旗杆的高度为（）A．10米B．（10+1.5）米C．11.5米D．10米【考点】相似三角形的应用．【分析】确定出△DEF和△DAC相似，根据相似三角形对应边成比例求出AC，再根据旗杆的高度=AC+BC计算即可得解．【解答】解：∵∠FDE=∠ADC=30°，∠DEF=∠DCA=90°，∴△DEF∽△DAC，∴=，即=，解得AC=10，∵DF与地面保持平行，目测点D到地面的距离DG=1.5米，∴BC=DG=1.5米，∴旗杆的高度=AC+BC=10+1.5=11.5米．故选C．10．如图，在菱形ABCD中，AB=3，∠BAD=120°，点E从点B出发，沿BC和CD边移动，作EF⊥直线AB于点F，设点E移动的路程为x，△DEF的面积为y，则y关于x的函数图象为（）A．B．C．D．【考点】动点问题的函数图象．【分析】分两种情形求出y与x的关系即可判断．