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2016-2017学年江西省赣州市九年级(上)期中数学试卷一、选择题1.关于x的一元二次方程(a﹣1)x2+x+a2﹣1=0的一个根是0,则a的值是()A.﹣1B.1C.1或﹣1D.﹣1或02.已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x2﹣6x+8=0的根,则该三角形的周长为()A.8B.10C.8或10D.123.如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象,其对称轴为x=1,下列结论:①abc>0;②2a+b=0;③4a+2b+c<0;④若(﹣),()是抛物线上两点,则y1<y2其中结论正确的是()A.①②B.②③C.②④D.①③④4.图(1)是一个横断面为抛物线形状的拱桥,当水面在l时,拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2m,水面宽4m.如图(2)建立平面直角坐标系,则抛物线的关系式是()A.y=﹣2x2B.y=2x2C.y=﹣x2D.y=x25.下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是()A.B.C.D.6.已知如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于E,CD=6,AE=1,则⊙O的直径为()A.6B.8C.10D.12二、填空题7.关于x的一元二次方程x2+(2a﹣1)x+5﹣a=ax+1的一次项系数为4,则常数项为:.8.已知m是关于x的方程x2﹣2x﹣3=0的一个根,则2m2﹣4m=.9.抛物线y=2x2+3x﹣1向右平移2个单位,再向上平移3个单位,得到新的抛物线解析式是.10.如图,已知A,B两点的坐标分别为(2,0),(0,10),M是△AOB外接圆⊙C上的一点,且∠AOM=30°,则点M的坐标为.11.如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC=,将△ABC绕点A逆时针旋转60°,得到△ADE,连接BE,则BE的长是.12.自主学习,请阅读下列解题过程.解一元二次不等式:x2﹣5x>0.解:设x2﹣5x=0,解得:x1=0,x2=5,则抛物线y=x2﹣5x与x轴的交点坐标为(0,0)和(5,0).画出二次函数y=x2﹣5x的大致图象(如图所示),由图象可知:当x<0,或x>5时函数图象位于x轴上方,此时y>0,即x2﹣5x>0,所以,一元二次不等式x2﹣5x>0的解集为:x<0或x>5.通过对上述解题过程的学习,按其解题的思路和方法解答下列问题:(1)上述解题过程中,渗透了下列数学思想中的和.(只填序号)①转化思想②分类讨论思想③数形结合思想(2)一元二次不等式x2﹣5x<0的解集为.(3)用类似的方法写出一元二次不等式的解集:x2﹣2x﹣3>0..三、计算题13.解方程:(1)x2﹣2x﹣2=0;(2)(x﹣2)2﹣3(x﹣2)=0.14.先化简,再求值:(﹣)÷,其中,a是方程x2+3x+1=0的根.15.如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点E,点M在⊙O上,MD恰好经过圆心O,连接MB.(1)若CD=16,BE=4,求⊙O的直径;(2)若∠M=∠D,求∠D的度数.16.已知关于x的方程x2+ax+a﹣2=0(1)若该方程的一个根为1,求a的值及该方程的另一根;(2)求证:不论a取何实数,该方程都有两个不相等的实数根.四、作图题17.如图,在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,给出了格点△ABC(顶点是网格线的交点)和点A1.画出△ABC关于点A1的中心对称图形.五、解答题18.已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1=0有两个实数根x1,x2.(1)求m的取值范围;(2)当x12+x22=6x1x2时,求m的值.19.某文具店购进一批纪念册,每本进价为20元,出于营销考虑,要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于28元,在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y(本)与每本纪念册的售价x(元)之间满足一次函数关系:当销售单价为22元时,销售量为36本;当销售单价为24元时,销售量为32本.(1)请直接写出y与x的函数关系式;(2)当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时,每本纪念册的销售单价是多少元?(3)设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为w元,将该纪念册销售单价定为多少元时,才能使文具店销售该纪念册所获利润最大?最大利润是多少?20.如图,抛物线y=﹣x2+bx+c交x轴于点A(﹣3,0)和点B,交y轴于点C(0,3).(1)求抛物线的函数表达式;(2)若点P在抛物线上,且S△AOP=4SBOC,求点P的坐标;(3)如图b,设点Q是线段AC上的一动点,作DQ⊥x轴,交抛物线于点D,求线段DQ长度的最大值.21.把边长分别为4和6的矩形ABCO如图放在平面直角坐标系中,将它绕点C顺时针旋转a角,旋转后的矩形记为矩形EDCF.在旋转过程中,(1)如图①,当点E在射线CB上时,E点坐标为;(2)当△CBD是等边三角形时,旋转角a的度数是(a为锐角时);(3)如图②,设EF与BC交于点G,当EG=CG时,求点G的坐标;(4)如图③,当旋转角a=90°时,请判断矩形EDCF的对称中心H是否在以C为顶点,且经过点A的抛物线上.六、解答题22.(1)如图①,在正方形ABCD中,△AEF的顶点E,F分别在BC,CD边上,高AG与正方形的边长相等,求∠EAF的度数.(2)如图②,在Rt△ABD中,∠BAD=90°,AB=AD,点M,N是BD边上的任意两点,且∠MAN=45°,将△ABM绕点A逆时针旋转90°至△ADH位置,连接NH,试判断MN,ND,DH之间的数量关系,并说明理由.(3)在图①中,连接BD分别交AE,AF于点M,N,若EG=4,GF=6,BM=3,求AG,MN的长.23.如图1,已知一次函数y=x+3的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点,抛物线y=﹣x2+bx+c过A、B两点,且与x轴交于另一点C.(1)求b、c的值;(2)如图1,点D为AC的中点,点E在线段BD上,且BE=2ED,连接CE并延长交抛物线于点M,求点M的坐标;(3)将直线AB绕点A按逆时针方向旋转15°后交y轴于点G,连接CG,如图2,P为△ACG内一点,连接PA、PC、PG,分别以AP、AG为边,在他们的左侧作等边△APR,等边△AGQ,连接QR①求证:PG=RQ;②求PA+PC+PG的最小值,并求出当PA+PC+PG取得最小值时点P的坐标.六、附加题24.如图1,在正方形ABCD中,点E、F分别在边BC、CD上,且BE=DF,点P是AF的中点,点Q是直线AC与EF的交点,连接PQ、PD.(1)求证:AC垂直平分EF;(2)试判断△PDQ的形状,并加以证明;(3)如图2,若将△CEF绕着点C旋转180°,其余条件不变,则(2)中的结论还成立吗?若成立,请加以证明;若不成立,请说明理由.25.如图,在△ABC中,AB=AC=13厘米,BC=10厘米,AD⊥BC于点D,动点P从点A出发以每秒1厘米的速度在线段AD上向终点D运动.设动点运动时间为t秒.(1)求AD的长;(2)当△PDC的面积为15平方厘米时,求t的值;(3)动点M从点C出发以每秒2厘米的速度在射线CB上运动.点M与点P同时出发,且当点P运动到终点D时,点M也停止运动.是否存在t,使得S△PMD=S△ABC?若存在,请求出t的值;若不存在,请说明理由.2016-2017学年江西省赣州市九年级(上)期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题1.关于x的一元二次方程(a﹣1)x2+x+a2﹣1=0的一个根是0,则a的值是()A.﹣1B.1C.1或﹣1D.﹣1或0【考点】一元二次方程的解.【分析】将x=0代入关于x的一元二次方程(a﹣1)x2+x+a2﹣1=0即可求得a的值.注意,二次项系数a﹣1≠0.【解答】解:∵关于x的一元二次方程(a﹣1)x2+x+a2﹣1=0的一个根是0,∴(a﹣1)×0+0+a2﹣1=0,且a﹣1≠0,解得a=﹣1;故选A.【点评】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义.一元二次方程的根就是一元二次方程的解,就是能够使方程左右两边相等的未知数的值.即用这个数代替未知数所得式子仍然成立.2.已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x2﹣6x+8=0的根,则该三角形的周长为()A.8B.10C.8或10D.12【考点】解一元二次方程-因式分解法;三角形三边关系;等腰三角形的性质.【分析】用因式分解法可以求出方程的两个根分别是4和2,根据等腰三角形的三边关系,腰应该是4,底是2,然后可以求出三角形的周长.【解答】解:x2﹣6x+8=0(x﹣4)(x﹣2)=0∴x1=4,x2=2,由三角形的三边关系可得:腰长是4,底边是2,所以周长是:4+4+2=10.故选:B.【点评】本题考查的是用因式分解法解一元二次方程,用十字相乘法因式分解求出方程的两个根,然后根据三角形的三边关系求出三角形的周长.3.如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象,其对称轴为x=1,下列结论:①abc>0;②2a+b=0;③4a+2b+c<0;④若(﹣),()是抛物线上两点,则y1<y2其中结论正确的是()A.①②B.②③C.②④D.①③④【考点】二次函数图象与系数的关系.【专题】数形结合.【分析】由抛物线开口方向得到a<0,有对称轴方程得到b=﹣2a>0,由∵抛物线与y轴的交点位置得到c>0,则可对①进行判断;由b=﹣2a可对②进行判断;利用抛物线的对称性可得到抛物线与x轴的另一个交点为(3,0),则可判断当x=2时,y>0,于是可对③进行判断;通过比较点(﹣)与点()到对称轴的距离可对④进行判断.【解答】解:∵抛物线开口向下,∴a<0,∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=1,∴b=﹣2a>0,∵抛物线与y轴的交点在x轴上方,∴c>0,∴abc<0,所以①错误;∵b=﹣2a,∴2a+b=0,所以②正确;∵抛物线与x轴的一个交点为(﹣1,0),抛物线的对称轴为直线x=1,∴抛物线与x轴的另一个交点为(3,0),∴当x=2时,y>0,∴4a+2b+c>0,所以③错误;∵点(﹣)到对称轴的距离比点()对称轴的距离远,∴y1<y2,所以④正确.故选C.【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系:对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小,当a>0时,抛物线向上开口;当a<0时,抛物线向下开口;一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置:当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左;当a与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右;常数项c决定抛物线与y轴交点:抛物线与y轴交于(0,c);抛物线与x轴交点个数由△决定:△=b2﹣4ac>0时,抛物线与x轴有2个交点;△=b2﹣4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点;△=b2﹣4ac<0时,抛物线与x轴没有交点.4.图(1)是一个横断面为抛物线形状的拱桥,当水面在l时,拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2m,水面宽4m.如图(2)建立平面直角坐标系,则抛物线的关系式是()A.y=﹣2x2B.y=2x2C.y=﹣x2D.y=x2【考点】根据实际问题列二次函数关系式.【专题】压轴题.【分析】由图中可以看出,所求抛物线的顶点在原点,对称轴为y轴,可设此函数解析式为:y=ax2,利用待定系数法求解.【解答】解:设此函数解析式为:y=ax2,a≠0;那么(2,﹣2)应在此函数解析式上.则﹣2=4a即得a=﹣,那么y=﹣x2.故选:C.【点评】根据题意得到函数解析式的表示方法是解决本题的关键,关键在于找到在此函数解析式上的点.5.下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是()A.B.C.D.【考点】中心对称图形;轴对称图形.【分析】根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形,以及轴对称图形的定义即可判断出.【解答】解:A、该图形既是轴对称图形又是中心对称图形,故本选项正确;B、该图形是轴对称图形,但不是中心对称图形,故本选项错误;C、该图形是中心对称图形,但不是轴对称图形,故本选项错误;D、该图形既不是中心对称图形,也不是轴对称图形,故本选项错误;故选:A.【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义,根据定义得出图形形状是解决问题的关键.6.已知如图
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