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河南省洛阳市孟津县2016届九年级上学期期末数学试卷一、选择题(共8小题,每小题3分,满分24分)1.以下关于x的方程一定是一元二次方程的是()A.ax2+bx+c=0B.2(x﹣1)2=2x2+2C.(k+1)x2+3x=2D.(k2+1)x2﹣2x+1=02.若a<1,化简﹣1=()A.a﹣2B.2﹣aC.aD.﹣a3.如图,在△ABC中两条中线BE、CD相交于点O,记△DOE的面积为S1,△COB的面积为S2,则S1:S2=()A.1:4B.2:3C.1:3D.1:24.用配方法解方程x2﹣4x+1=0时,配方后所得的方程是()A.(x﹣2)2=1B.(x﹣2)2=﹣1C.(x﹣2)2=3D.(x+2)2=35.“服务他人,提升自我”,七一学校积极开展志愿者服务活动,来自初三的5名同学(3男两女)成立了“交通秩序维护”小分队,若从该小分队中任选两名同学进行交通秩序维护,则恰好是一男一女的概率是()A.B.C.D.6.如图,关于∠α与∠β的同一种三角函数值,有三个结论:①tanα>tanβ,②sinα>sinβ,③cosα>cosβ.正确的结论为()A.①②B.②③C.①③D.①②③7.轮船从B处以每小时50海里的速度沿南偏东30°方向匀速航行,在B处观测灯塔A位于南偏东75°方向上,轮船航行半小时到达C处,在C处观测灯塔A位于北偏东60°方向上,则C处与灯塔A的距离是()海里.A.25B.25C.50D.258.如图,在直角三角形ABC中(∠C=90°),放置边长分别为3,4,x的三个正方形,则x的值为()A.5B.6C.7D.12二、填空题(共7小题,每小题3分,满分21分)9.如果关于x的方程3x2﹣mx+3=0有两个相等的实数根,那么m的值为.10.已知,则x3y+xy3=.11.如图,在顶角为30°的等腰三角形ABC中,AB=AC,若过点C作CD⊥AB于点D,则∠BCD=15°.根据图形计算tan15°=.12.已知y=++3,则=.13.如图,将45°的∠AOB按下面的方式放置在一把刻度尺上:顶点O与尺下沿的端点重合,OA与尺下沿重合,OB与尺上沿的交点B在尺上的读数恰为2cm.若按相同的方式将37°的∠AOC放置在该刻度尺上,则OC与尺上沿的交点C在尺上的读数约为cm.(结果精确到0.1cm,参考数据:sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75)14.在一个不透明的布袋中,红色、黑色、白色的玻璃球共有40个,除颜色其他外完全相同,小李通过多次摸球试验后发现其中摸到红色、黑色球的频率分别为15%和45%,则口袋中白色球的数目很可能是.15.如图,在平面直角坐标系中,A、B两点分别在x轴和y轴上,OA=1,OB=,连接AB,过AB中点C1分别作x轴和y轴的垂线,垂足分别是点A1、B1,连接A1B1,再过A1B1中点C2作x轴和y轴的垂线,照此规律依次作下去,则点Cn的坐标为.三、解答题(共8小题,满分55分)16.计算:6tan230°﹣2sin60°﹣2cos45°.17.关于x的一元二次方程(x﹣2)(x﹣3)=m有两个不相等的实数根x1,x2,求m的取值范围;若x1,x2满足等式x1x2﹣x1﹣x2+1=0,求m的值.18.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=60°,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,a+b=3+,请你根据此条件,求斜边c的长.19.小明为班上联欢会设计一个摸扑克牌获奖游戏,先将梅花2、3、4、5和红心2、3、4、5分别洗匀,并分开将正面朝下放在桌子上,游戏者在4张梅花牌中随机抽1张,再在4张红心牌中随机抽1张,规定:当再次所抽出的牌面上数字之积为奇数时,他就可获奖.(1)利用树状图或列表方法表示游戏所有可能出现的结果;(2)游戏者获奖的概率是多少?20.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,BC的垂直平分线交BC于点E,交CA的延长线于D,交AB于点F,求证:AE2=EF•ED.21.如图,一楼房AB后有一假山,其坡度为i=1:,山坡坡面上E点处有一休息亭,测得假山坡脚C与楼房水平距离BC=25米,与亭子距离CE=20米,小丽从楼房顶测得E点的俯角为45°,求楼房AB的高.(注:坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比)22.如图,已知矩形ABCD的边长AB=2,BC=3,点P是AD上一动点(点P异于A、D两点),Q是BC上任意一点,连结AQ、DQ,过P作PE∥DQ交AQ于E,作PF∥AQ交DQ于F.(1)填空:△APE∽△,△DPF∽△.(2)设AP的长为x,△APE的面积为y1,△DPF的面积为y2,分别求出y2和y1关于x的函数关系式;(3)在边AD上是否存在这样的点P,使△PEF的面积为?若存在求出x的值;若不存在请说明理由.23.阅读下面材料:小明遇到下面一个问题:如图1所示,AD是△ABC的角平分线,AB=m,AC=n,求的值.小明发现,分别过B,C作直线AD的垂线,垂足分别为E,F.通过推理计算,可以解决问题(如图2).请回答,=.参考小明思考问题的方法,解决问题:如图3,四边形ABCD中,AB=2,BC=6,∠ABC=60°,BD平分∠ABC,CD⊥BD.AC与BD相交于点O.(1)=.(2)tan∠DCO=.河南省洛阳市孟津县2016届九年级上学期期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题(共8小题,每小题3分,满分24分)1.以下关于x的方程一定是一元二次方程的是()A.ax2+bx+c=0B.2(x﹣1)2=2x2+2C.(k+1)x2+3x=2D.(k2+1)x2﹣2x+1=0【考点】一元二次方程的定义.【分析】本题根据一元二次方程的定义解答.一元二次方程必须满足四个条件:(1)未知数的最高次数是2;(2)二次项系数不为0;(3)是整式方程;(4)含有一个未知数.由这四个条件对四个选项进行验证,满足这四个条件者为正确答案.【解答】解:A、错误,当a=0时,是一元一次方程;B、错误,是一元一次方程;C、错误,当k=﹣1时,是一元一次方程;D、正确,符合一元二次方程的定义.故选D.【点评】本题考查了一元二次方程的概念,判断一个方程是否是一元二次方程,首先要看是否是整式方程,然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2.2.若a<1,化简﹣1=()A.a﹣2B.2﹣aC.aD.﹣a【考点】二次根式的性质与化简.【专题】计算题.【分析】根据公式=|a|可知:﹣1=|a﹣1|﹣1,由于a<1,所以a﹣1<0,再去绝对值,化简.【解答】解:﹣1=|a﹣1|﹣1,∵a<1,∴a﹣1<0,∴原式=|a﹣1|﹣1=(1﹣a)﹣1=﹣a,故选:D.【点评】本题主要考查二次根式的化简,难度中等偏难.3.如图,在△ABC中两条中线BE、CD相交于点O,记△DOE的面积为S1,△COB的面积为S2,则S1:S2=()A.1:4B.2:3C.1:3D.1:2【考点】相似三角形的判定与性质;三角形的重心.【分析】根据三角形的中位线得出DE∥BC,DE=BC,根据平行线的性质得出相似,根据相似三角形的性质求出即可.【解答】解:∵BE和CD是△ABC的中线,∴DE=BC,DE∥BC,∴=,△DOE∽△COB,∴=()2=()2=,故选:A.【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定,三角形的中位线的应用,注意:相似三角形的面积比等于相似比的平方,三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半.4.用配方法解方程x2﹣4x+1=0时,配方后所得的方程是()A.(x﹣2)2=1B.(x﹣2)2=﹣1C.(x﹣2)2=3D.(x+2)2=3【考点】解一元二次方程-配方法.【分析】此题考查了配方法解一元二次方程,“配方”一步.【解答】解:x2﹣4x+1=0移项得,x2﹣4x=﹣1,两边加4得,x2﹣4x+4=﹣1+4,即:(x﹣2)2=3.故选C.【点评】此题最重要的一步是在等式两边同时加上一次项系数一半的平方.5.“服务他人,提升自我”,七一学校积极开展志愿者服务活动,来自初三的5名同学(3男两女)成立了“交通秩序维护”小分队,若从该小分队中任选两名同学进行交通秩序维护,则恰好是一男一女的概率是()A.B.C.D.【考点】列表法与树状图法.【专题】压轴题;图表型.【分析】画出树状图,然后根据概率公式列式计算即可得解.【解答】解:根据题意画出树状图如下:一共有20种情况,恰好是一男一女的有12种情况,所以,P(恰好是一男一女)==.故选:D.【点评】本题考查了列表法与树状图法,用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.6.如图,关于∠α与∠β的同一种三角函数值,有三个结论:①tanα>tanβ,②sinα>sinβ,③cosα>cosβ.正确的结论为()A.①②B.②③C.①③D.①②③【考点】锐角三角函数的增减性.【分析】首先根据图形可得:∠α>∠β,然后根据各锐角函数的增减性,即可求得答案.【解答】解:根据图形得:∠α>∠β,∴tanα>tanβ,sinα>sinβ,cosα<cosβ.∴①②正确.故选A.【点评】此题考查了锐角函数的增减性与三角形外角的性质.注意当角度在0°~90°间变化时,①正弦值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小);②余弦值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大);③正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小).7.轮船从B处以每小时50海里的速度沿南偏东30°方向匀速航行,在B处观测灯塔A位于南偏东75°方向上,轮船航行半小时到达C处,在C处观测灯塔A位于北偏东60°方向上,则C处与灯塔A的距离是()海里.A.25B.25C.50D.25【考点】等腰直角三角形;方向角.【专题】计算题.【分析】根据题中所给信息,求出∠BCA=90°,再求出∠CBA=45°,从而得到△ABC为等腰直角三角形,然后根据解直角三角形的知识解答.【解答】解:根据题意,∠1=∠2=30°,∵∠ACD=60°,∴∠ACB=30°+60°=90°,∴∠CBA=75°﹣30°=45°,∴△ABC为等腰直角三角形,∵BC=50×0.5=25,∴AC=BC=25(海里).故选D.【点评】本题考查了等腰直角三角形和方位角,根据方位角求出三角形各角的度数是解题的关键.8.如图,在直角三角形ABC中(∠C=90°),放置边长分别为3,4,x的三个正方形,则x的值为()A.5B.6C.7D.12【考点】相似三角形的判定与性质;正方形的性质.【专题】压轴题.【分析】根据已知条件可以推出△CEF∽△OME∽△PFN然后把它们的直角边用含x的表达式表示出来,利用对应边的比相等,即可推出x的值.【解答】解:∵在Rt△ABC中(∠C=90°),放置边长分别3,4,x的三个正方形,∴△CEF∽△OME∽△PFN,∴OE:PN=OM:PF,∵EF=x,MO=3,PN=4,∴OE=x﹣3,PF=x﹣4,∴(x﹣3):4=3:(x﹣4),∴(x﹣3)(x﹣4)=12,即x2﹣4x﹣3x+12=12,∴x=0(不符合题意,舍去),x=7.故选C.【点评】本题主要考查相似三角形的判定和性质、正方形的性质,解题的关键在于找到相似三角形,用x的表达式表示出对应边.二、填空题(共7小题,每小题3分,满分21分)9.如果关于x的方程3x2﹣mx+3=0有两个相等的实数根,那么m的值为±6.【考点】根的判别式.【分析】若一元二次方程有两等根,则根的判别式△=b2﹣4ac=0,建立关于m的方程,求出m的取值.【解答】解:∵方程3x2﹣mx+3=0有两个相等的实数根,∴△=m2﹣4×3×3=0,解得m=±6,故答案为±6.【点评】考查了根的判别式,总结:一元二次方程根的情况与判别式△的关系:(1)△>0⇔方程有两个不相等的实数根;(2)△=0⇔方程有两个相等的实数根;(3)△<0⇔方程没有实数根.10.已知,则x3y+xy3=10.【考点】二次根式的化简求值.【专题】计算题.【分析】由已知得x+y=2,xy=1,把x3y+xy3分解因式再代入计算.【解答】解:∵,∴x+y=2,xy=1,
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